高中数学《奔驰定理+向量与三角形四心问题》习题集【公式编辑器完美编辑版】

一、奔驰定理
1.已知O 是ABC 内的一点,,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S , 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.
推论：若O 是ABC 内的一点，且0xOA yOB zOC ++=，则
::::BOC COA AOB S S S x y z =.
考点一 由系数比推面积比
【典型例题1】
1.设点O 在ABC 的内部,且有0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=, 记,,AOB BOC AOC 的面积分别为,,AOB BOC AOC S S S .
若1x y z === 则::AOB BOC AOC S S S =__________.
若2,3,4x y z === 则::AOB BOC AOC S
S S =__________.
答案：1:1:1,,,4:2:3 【对点演练1】
1.已知O 是ABC 内的一点,且220OA OB OC ++=,ABC 和OBC 的面积分别为
ABC S 和OBC S ,则:=OBC ABC S S __________. 答案：15
考点二 由面积比推系数比 【典型例题2】
1.已知O 是ABC 内的一点,满足::=4:3:2AOB BOC COA S
S S , 设=+AO AB AC λμ, 则实数λ和μ的值分别是__________. 答案：2
4==99
λμ，
【对点演练2】
1.已知O 是ABC 内的一点,:6:1ABC OBC S S =,若30OA OB OC λ++=, 则λ=
__________.
答案：2
二、三角形四心
内心:三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：三角形的内心到三边距离相等。

外心：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆圆心。

性质：三角形的外心到三个顶点距离相等。

重心：三角形三条中线的交点。

性质：三角形的重心是三条中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

垂心：三角形的三条高所在直线的交点。

性质：三角形的垂心分每条高线的两部分乘积相等。

2.O 是ABC 的外心⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
考点三 外心问题
结论：O 是ABC 的外心⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
【典型例题3】
1.若P 为ABC 的外心,且0PA PB PC λ++=,=120C ∠︒,则实数=λ__________. 答案：-1
【对点演练3】
1.设ABC 的外接圆圆心P 满足2()5
AP AB AC =+,则cos =BAC ∠__________. 答案：
14 考点四 内心问题
结论：点O 是ABC 的内心⇔0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=.
【典型例题4】
1.在ABC 中，4,3,2,AB AC BC ===O 为ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则
36λμ+=__________.
答案：3
【对点演练4】
1.设I 为ABC 的内心，且3450IA IB IC ++=，则角C 的大小为__________. 答案：2
π 考点五 垂心问题
结论：点O 是ABC （非直角三角形）的垂心⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
【典型例题5】
1.已知O 是ABC 的垂心，满足230OA OB OC ++=，则A ∠=__________. 答案：4
π 【对点演练5】
1.设H 是ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠=__________.
答案：6
- 考点六 重心问题
结论：点O 是ABC 的重心⇔0OA OB OC ++=
【典型例题6】
1.在ABC 中，已知G 是重心，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5640350aGA bGB cGC ++=，则B ∠=__________. 答案：3
π 【对点演练6】
1.设G 是ABC 的重心，且7sin 3sin 37sin 0GA A GB B GC C ++=，则B ∠=__________.
答案：
3π 2.在ABC 中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上满足2AP PM =，则
()PA PB PC ⋅+=__________. 答案：49
- 【巩固提升】
1.已知O 是平面上的一定点,,,A B C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),(0,)2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ+=++∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）
.A 重心 .B 外心 .C 内心 .D 垂心 答案：B 2.已知O 是ABC 所在平面上一定点，动点P 满足1
1
(),[0,)OP OA AB AC AB AC λλ=++∈+∞，则P 点的轨迹为__________.
答案：BAC ∠的角平分线
3.已知O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足(
),(0,)sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定经过ABC 的
（,,,,） .A 重心 .B 外心 .C 内心 .D 垂心
答案：A
4.已知P 是ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的（,,,,）
.A 重心 .B 外心 .C 内心 .D 垂心
答案：D
5.已知12(,0),(,0)(0)F c F c c ->是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点 点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点 点G 是12PF F 的外心 若存在实数λ 使得120GF GF GP λ++= 则当12PF F 的面积为8时 a 的最小值为__________.
答案：4
6.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为34
，M 是椭圆上一点，12,F F 是椭圆的左、右焦点，C 为12MF F 的内切圆圆心，若12330
mCF CF CM ++=，则m =__________. 答案：1
7.设O 是正ABC 的中心，若CO AB AC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ
=__________. 答案：12
-。