甘肃省兰州市东方中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学理试题含答案

32
4
A 4
B ， 2
B 为钝角，
则 ABC 一定是钝角三角形，故选：C．
10．下列四个正方体图形中， A、B 为正方体的两个顶点， M、N、P 分别为其所在棱的中
11
点，能得出 AB / / 平面 MNP 的图形的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．①③④
D．②④
【答案】B
【解析】解：在①中，由正方体性质得到平面 MNP 与 AB 所在平面平行， AB 平面 MNP ，故①成立；
若
p
/
/
q
，则角
C
的大小为
．
16．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的体积
为．
三．解答题（共 9 小题） 17．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一
个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在 圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体 积比．
故选：B．
11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则 a 的取值范围是（ ）
A．（8，10） B． (2 2 10) C． (2 2,10) D． ( 10,8)
【答案】B 【解析】解：ABC 三边长分别为1、3、a ， 又ABC 为锐角三角形，
当 3 为最大边时 3 a ，设 3 所对的角为 ， 则根据余弦定理得： cos a2 1 32 0 ，
5． ABC 的三边长分别为 AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6 ，则 ABBC 的值为（
）
A． 19
B．14
C．﹣18
D．﹣19
6．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， E，F 分别是 DD1，BD1 中点，则直线 AD1 与 EF 所成角的余
1
弦值是（ A． 1
2 ．
） B． 6
3
C． 3 2
【答案】C
【解析】解：已知 ABC 中， A＝60, a＝
6,b＝4
，那么由正弦定理可得
sin
6 60
4， sin B
解得 sinB＝ 2＞1 ，故 B 不存在，故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
A．直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l / /
B．若直线 a 在平面 外，则 a / /
C．若直线 a b＝ ，直线 b ，则 a / /
A． 2sin﹣2cos 2
B． sin﹣ 3cos 3
C． 3sin﹣ 3cos 1
D． 2sin﹣cos 1
二．填空题（共 5 小题） 13．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ．
3
14． ABC 为钝角三角形；且 C 为钝角，则 a2 b2 与 c2 的大小关系为 ．
15．ABC 三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c ，设向量 p a c,b , q b a, c a ，
D．若直线 a / /b，b ，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线
【答案】D
【解析】解：直线 l 虽与平面 内的无数条直线平行，但 l 有可能在平面 内，
l 不一定平行于 ，从而排除 A． 直线 a 在平面 外，包括两种情况： a ，或 a 与 相交，
a 和 不一定平行，从而排除 B． 直线 a b＝，b ，则只能说 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面 内，
2
3
3
3
9．ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ， B＝2A ， a＝1，b 4 ，则 ABC 一定是
3
（）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
10．下列四个正方体图形中， A、B 为正方体的两个顶点， M、N、P 分别为其所在棱的中
点，能得出 AB / / 平面 MNP 的图形的序号是（ ）
a 不一定平行于 ，从而排除 C． a / /b，b ，那么 a ，或 a / / ， a 与平面 内的无数条直线平行．
故选：D．
8
5． ABC 的三边长分别为 AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6 ，则 ABBC 的值为（
）
A． 19
B．14
C．﹣18
D．﹣19
【答案】D
【解析】解：由题意，
甘肃省兰州市 2020-2021-1 学期东方中学高二年级期中考试试题 数 学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120
分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
2a
12
a 0, a2 8 0 ， 解得 2 2 a 3 ； 当 a 为最大边时 a＞3 ，设 a 所对的角为 ， 则根据余弦定理得： cos 1 9 a 2 0 ，，
D． 6 2
7．已知 ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，且
c c
b a
sin
sin A C sin
B
，则
B＝（
）
A． B． C． D． 3
6
4
3
4
8．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱的长都为1，则二面角 A﹣CD﹣B 的
余弦值是（ ）
A． 1 B． 1 C． 3 D． 2
A．有 一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
4．下列说法正确的是（ ）
A．直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l / /
B．若直线 a 在平面 外，则 a / /
C．若直线 a b＝ ，直线 b ，则 a / /
D．若直线 a / /b，b ，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线
EF 1（三角形 ACD 的中位线），BE 3（正三角形 BCD 的高）BF 2（等腰 RtABC ，
2
2
2
F 是斜边中点）cos BEF EF 2 BE2 BF 2
131 4 4 2
3 故选：C．
2 BE EF
2 3 1 3
22
9．ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ， B＝2A ， a＝1，b 4 ，则 ABC 一定是
余弦值是（ ）
A． 1 B． 1
2
3
【答案】C
C． 3 D． 2
3
3
【解析】解：由已知可得 AD DC
又由其余各棱长都为1得正三角形 BCD ，取 CD 得中点 E ，连 BE ，则 BE CD
10
在平面 ADC 中，过 E 作 AD 的平行线交 AC 于点 F ，则 BEF 为二面角 A﹣CD﹣B 的平面角
AD1 | EF |
4 6． 8 3 3
∴直线 AD1 与 EF 所成角的余弦值是
6 ．故选：B． 3
9
7．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 c b sin A ，则 B＝（ ） c a sin C sin B
A． B． C． D． 3
6
4
3
4
【答案】C
【解析】解：已知等式利用正弦定理化简得： c b a ，即 c2 b2 ac a2 ， ca cb
a2 c2 b2 ac ，
cos B a2 c2 b2 1
2ac
2，
B 为三角形的内角， B ．故选：C．
3 8．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱的长都为1，则二面角 A﹣CD﹣B 的
A． 60
B．120
C. 30
D． 60 或120
【答案】B 【解析】解：如图，空间两个角 ， 的两边对应平行，这两个角相等或互 60。，
＝60 或120 ．
7
故选：D．
．
3． ABC 中， A＝60, a＝ 6,b＝4 ，那么满足条件的 ABC （ ）
A．有 一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
21．如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F，P，Q 分别是 BC，C1D1，AD1，BD 的中点． （1）求证： PQ / / 平面 DCC1D1 ； （2）求 PQ 的长； （3）求证： EF / / 平面 BB1D1 D．
22．已知函数 f x 3 sin2x 1 (cos2 x sin 2 x) 1
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】B 【解析】解：已知 c＝2acosB ，
则： sinC＝2sinAcosB ，
整理得： sin A B＝2sinAcosB ， 则： sin A-B＝0 ，
所以： A＝B ．
故选：B．
2．空间两个角 ， 的两边分别对应平行，且 ＝60 ，则 为（ ）
2
A．①③
B．①④
C．①③④
D．②④
11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则 a 的取值范围是（ ）
A．（8，10） B． (2 2 10) C． (2 2,10) D． ( 10,8)
12．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为 的四个等腰三角形， 及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
4
18．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a＝2，c＝5，cosB 3. 5
（1）求 b 的值； （2）求 sinC 的值． 19． ABC 的内角..的对边分别为 a、b、c，asinA csinC﹣asinC＝bsinB ． （1）求 B ； （2）若 A＝75，b＝2 ，求 a、c ． 20．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中， E，F，G，H 分别是 AB, AC, A1B1, A1C1 的中点，求证： （1） B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1 / / 平面 BCHG ．
3 （）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【答案】C
【解析】解： B 2A, a 1, b 4 ， 3
由正弦定理，得到 a b ， sin h sin B
4 1 3 ，
sin A sin 2 A
4sin A 3sin 2A 3 2sin Acos A ，
cos A 2 2 cos ，
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120
分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．） 1．在 ABC 中，已知 c＝2acosB ，那么 ABC 一定是（ ）
ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2 ，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 D﹣xyz ，
则 E（0，0，1）,F（1,1, 0）,A（2, 0, 0）,D（1 0, 0, 2），
AD1 ＝（﹣2，0，2）， EF ＝（1，1, -1），设直线 AD1 与 EF 所成角为 ，
则 cos AD1 EF
一项是符合题目要求的．） 1．在 ABC 中，已知 c＝2acosB ，那么 ABC 一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
2．空间两个角 ， 的两边分别对应平行，且 ＝60 ，则 为（ ）
A． 60
B．120
C. 30
D． 60 或120
3． ABC 中， A＝60, a＝ 6,b＝4 ，那么满足条件的 ABC （ ）
②若下底面中心为 O ，则 NO / / AB ， NO 面 MNP＝N ，
AB 与面 MNP 不平行，故②不成立；
③过 P 作与 AB 平行的直线 PO ，则 PO 与平面 MNP 相交，
AB 与面 MNP 不平行，故③不成立；
④在④中， AB 与 PN 平行， AB / / 平面 MNP ，故④成立．
2
2
（1）求函数 （f x）的最小值和最小正周期；
5
（2）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c ，且 c＝ 7，（f C）＝0 ，若向量
m 1, sinA 与向量 n 3, sinB 共线，求 a，b 的值．
6
甘肃省兰州市 数 学（理科）
cos
B
49 25 36 275
19 35
，
ABBC
19
，故选：D．
6．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， E，F 分别是 DD1，BD1 中点，则直线 AD1 与 EF 所成角的余
弦值是（ ）
A． 1 2
B． 6 3
【答案】B．
C． 3 2
D． 6 2
【解析】解：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， E，F 分别是 DD1，BD1 中点设正方体