02_压力容器应力分析_无力矩理论基本方程

2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
将上述各式代入(2-2)式中，略去高阶无穷小，并
注意到：
d d sin , 2 2
r R2 sin
最终可得到，

p R1 R2 t

(2 3)
(2-3) 式称为微元平衡方程，亦称Laplace方程。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
2

3/2
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
dy b2 x 2 dx a y d y 2 dx 得： [a 4 x 2 (a 2 b 2 )]3/2 R1 a 4b [a 4 x 2 (a 2 b 2 )]1/2 R2 b
2
b2 b2 x2 a 2 y 2 a4 y3
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
（2）压力容器回转壳体的轴对称问题 轴对称问题是指壳体的几何形状、约束条件和所 受的外力都是对称于旋转轴的。工程实际中的化工容 器及化工设备的外壳， 一般都具备轴对称条件。 这里，已经提出的中低压、薄壁、轴对称等条件， 目的在于建立适合的力学分析模型。 （3）回转壳体的几何特征 旋转曲面：以直线或平面曲线为母线，围绕同一平面 内的轴线旋转一周而形成，又称回转曲面。 旋转壳体：以旋转曲面为中间面的壳体。 中间面：壳体里与内外表面等距离的曲面。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
2.2.1 引言 （1）板壳理论分析对象 在已经学过的理论力学中，研究了物体机械运动 的一般规律，包括静力学、运动学和动力学。而材料 力学是通过研究构件截面上的应力分析，在满足强度、 刚度和稳定性的要求下，以最经济的代价为构件确定 合理的几何形状。 材料力学研究内容：杆、梁的拉、压、弯、扭， 及其组合受力分析。称此材料力学为“初等材料力 学”。 板壳理论又称“高等材料力学”(文献[94])，以 压力容器结构中常见的板、壳为研究对象。
dl1 t R1td
纬向截面面积( 作用截面)
dl2 t rtd
微元体表面积(
P作用截面 )
dA dl1 dl2 R1rd d
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
（3）壳体微元体的受力分析
分析简化后的微 元体受力图
（忽略力矩）
微元体受力图
2
(2 4)
在实际求解过程中，(2-4)式只有一个未知量ϭφ ， 可解。与Laplace方程联立后，可解得另一未知量ϭθ。
N n N
n
P n 0
(2 1)
对于经向力在法线方向的分量 N n ，有
N sin d d ( N dN )sin 2 2
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
对于周向力在法线方向的分量，须先求出周向力在 平行圆平面内的合力，然后再求解其在法线方向上的分 量。周向力在平行圆内的合力：
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
平面曲线上任意一点的曲率半径，是用来描述 该点处曲线弯曲变化的程度，即表明曲线偏离直线 的程度，曲率半径的倒数为曲率。
一个圆上任一圆弧的曲 率半径恰好等于圆的半径。 对于任意平面曲线上某点的 曲率半径，可以这样理解： 就是把那点附近的曲线尽可 能的微分，直到最后近似一 个圆弧，这个圆弧对应的半 径就是该点的曲率半径。
dr R2 d cos
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
（4）几种常见壳体的几何特征
（a）圆柱壳 设圆柱壳中间面半径为R，经线为 直线，纬线轨迹与平行圆相同，有：
R1 , R2 r R
（b）球壳 设球壳中间面半径为R，经线轨迹 与纬线轨迹相同，平行圆半径r与φ关 联，有：
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
经线：通过回转轴OO’ 的平 面与中间面的交线OA’ 为经 线。经线与回转轴所构成的 平面，称为经线平面。 第一曲率半径R1：经线上任 意一点B的曲率半径BK1 ， 称为第一曲率半径，曲率中 心为K1，BK1与回转轴交点 为K2。 法线：通过经线上一点B与 中间面垂直的直线，为B点 的法线，BK1的方向为法线 方向。
将上述各力的法向分量代入平衡式中，有
d d d N sin ( N dN )sin 2 N sin sin P 0 2 2 2 (2 2)
(2-2)式为壳体微元体的内力素在法线方向投影 的平衡式。下面用应力去取代式中的内力。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
无力矩假设：回转薄壳中弯矩很小，可忽略壳壁中的 弯矩影响，使壳体的应力分析大为简化。（微元体仅受
拉压力和剪力）
忽略弯矩的壳体理论称为无力矩理论，或者称为 薄膜理论，由此所得到的解答称为薄膜解，薄膜解是 设计压力容器的基础。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
（5）区域平衡方程 如图，选取壳体的部分区域(下半部分)进行考 虑。该区域壳体作用有：内力Nφ ，界面上流体压力 p，及区域内流体的重量G。
对上述三种力， 沿旋转轴方向投影求 和，可得到平衡式。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
内力只有Nφ在旋转轴方向上有分量：
V 2 r t sin
这样，对于回转壳体中间面上一点 B，我们有：
B f ( R1 , R2 , r , t , , , , )
其中， ( , ) 满足Laplace方程关系。 这里， Laplace方 程含有二个未知数，为 了求解还需再建立一个 补充方程。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
2.1 概述
解析方法：即以弹性、塑性等板壳理论为基础 的精确数学解；实验方法：采用电测法、光弹性法 等；数值方法：基于应力分析理论基础上的有限元
法、差分法等。本章的应力分析是采用解析方法。
2.1 概述
（3）压力容器的结构特点 基本上是由球形、圆筒形壳体和椭球形、锥形、 平板等封头组成，因此化工容器多数是旋转壳体，由 旋转曲面组成，在垂直于对称轴的截面上的投影都是 正圆形。 （4）本章讨论的对象 承受压力：中低内压力(0.1MPa～10MPa)；壁厚： 薄壁(径比K≤1.2)；结构：回转壳体。 可称为：中低(内)压薄壁容器应力分析
（考虑力矩）
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
Nφ - 经向力 Nθ - 周向力。N/mm，拉伸为正，压缩为负。
可以写成： N
dN d
d N dN 。考虑轴对称变形，有
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
（4）壳体微元平衡方程 将微元上的受力在法线方向投影求和，得到平衡式
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
壳体壁厚 t：旋转壳体内外表面间 的法向距离。 ( φ, θ )：中间面上任一点的位置 可由坐标( φ, θ )确定。 φ称经线 坐标，θ称为周向坐标。此外，法 向坐标为z。经线的位置由从母线 OA量起的角度θ决定，平行圆的 位置由角φ决定。 r与R1 、R2的关系：由右图可知， r R2 sin ，对该式求微分有
ma
这里，
1 (m 2 1) sin 2 1
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
2.2.2 无力矩理论基本方程 （1）基本假设（假设壳体是完全弹性体） 小位移假设：壳体受力变形前后，壳体上各点位移量 远小于壁厚尺寸，属于弹性小变形。(变形后尺寸可由变
形前尺寸代替，推导中可忽略高阶无穷小，使微分方程式呈线 性。)
（2）壳体微元体的取出 ① 一对壳体内外表面； ② 一对经向截面（也称经线截面）； ③ 一对与经线相正交的圆锥面（也称纬向截面或纬 线截面）。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
微元体的几何尺寸： 经线弧长
dl1 ab R1d
纬线弧长
dl2 bd rd
经向截面面积( 作用截面)
R1 R2 R, r R sin
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
（c）椭球壳
如图，椭球壳中间面长、 短半轴分别为a和b。任一 点B的坐标为(x,y), 其经线 方程为：
x2 y 2 2 1 2 a b
由微分学可知其曲率半径为：
dy 1 dx R1 d2y dx 2
直法线假设：变形前垂直于壳体中间面的直法线段， 变形后仍保持直线，并垂直于变形后的中间面。由此 认为沿厚度方向各点的法向位移均相同，变形前后的 法向线段长度不变，剪应力引起的变形可忽略不计。
（可忽略微元体中的剪力）
互不挤压假设：平行于中间面的各层纤维在变形前后 均互不挤压，简化成平面应力问题。(不计法向应力)
截面流体压力在旋转轴方向上的分量：
Vp r p
2
区域内流体重量在旋转轴方向上的分量：
VG
这样，可得到壳体区域平衡方程式为：
V Vp VG
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
或者写成：
2 r t sin p r G
b4 2 3 a y
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
a 令 m ，且由图中可知 x r R2 sin b 将上式代入R1和R2 表达式中，有 R1 R2 a 2b 2
2 2 2 2 a sin b cos 3 2
ma 3
b cos 1 2
上述各内力及外载荷的作用面积如下
经向力 Nφ垂直于纬向截面: 周向力 Nθ 垂直于经向截面: 外载荷 P 垂直于微元表面:
dl2 t rtd dl1 t R1td dA dl1 dl2 R1rd d
这样，
N rtd N dN d r dr td N R1td P pdA pR rd d 1
d 2 N sin 2
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
投影在平行圆平面内的周向力合力在法线方向上的分量：
d 2 N sin 2
sin
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
外载荷(内压力)：P p dA
（ P25，图2-3 ）
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
纬线：以法线作母线绕回转轴回 转一周所形成的圆锥法截面与中 间面的交线，称为纬线。其圆锥 法截面也称为纬线平面。 第二曲率半径R2 ：过经线上一点 B作一个垂直于过B点经线的平面， 该平面与中间面相交所得交线， 称此交线在B点的曲率半径为第二 曲率半径R2 。由微分几何知，第 二曲率半径的曲率中心K2 一定落 在旋转轴上。 平行圆：垂直于回转轴的平面与 中间面的交线，其轨迹与纬线相 同。平行圆半径为 r。
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压力容器应力分析
本章主要内容
回转薄壳应力分析 厚壁圆筒应力分析 圆平板应力分析 壳体稳定性分析 局部应力简述
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压力容器应力分析
（1）压力容器应力分析的目的 确定整个容器中最容易发生强度破坏的危险部位 及其应力状态，选用合适的强度理论进行壁厚设计和 强度校核，是容器设计的重要理论基础。 （2）应力分析的研究方法