标准常态分配

7-2
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.1 一致分配(1/3)
一致分配(連續型) 若一連續型隨機變數 X 之機率密度函數
1 ， a xb f ( x) b a 0 ，其他
則稱R.V. X 具有參數a、b之一致分配，一般以 R.V . X ~ U (a, b) 表之。
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.1 常態分配的定義(1/4)
(一)常態分配(高斯分配) 若一隨機變數 X 之機率密度函數
f ( x)
則稱 R.V . X 為具有參數 及 2之常態分配，其中 3.14159 ，e ＝2.71828 。一般以 R.V . X～N ( , 2 ) 表之。
1 3t 1 3t 1 9 te e 1 4e 3 1 4e 3 0.199 9 3 0
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-18
1


பைடு நூலகம்
Chapter 7 常用之連續型機率分配
(3)由表中尋找0.95所在位置，發現其介於0.9495及0.9505。 另外0.9495及0.9505分別對應的 z 值為1.64及1.65，因此， P( Z 1.64 ) 0.9495 P( Z 1.65) 0.9505 a 1.64 0.95 0.9495 a 1.64 0.0005 由內差法得知 1.65 1.64 0.9505 0.9495 0.01 0.001 a 1.64 0.005 a 1.645
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-7
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.1 常態分配的定義(3/4)
承上頁 【解】 (1)由附表之標準常態分配之累積機率表得知
P( Z 2.5) 0.9938 P( Z 2.41) 0.9920 (2) P(2 Z 3) P(Z 3) P(Z 2) 0.9987 0.0228 0.9758

其中 np 且
np(1 p)。
一般來說，當樣本為大樣本 ( n 25) ，則可稱二項分 1 配近似常態分配。然而，事實上 n 越大或 p 越接近 2 ，則近似的結果越好。
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e
參見例7.7
7-10
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.2 常態分配與二項分配的關係(2/3)
7.3 指數分配(3/3)
定理7-4 若一隨機變數T具有指數分配且 R. V . T～ ( )，則 1 1 參見例7.11 E (T ) 且 Var (T ) 2


例題 7.11
承例7.9，若T 表首位顧客到達的時間，求T之平均數與變異數。 【解】 由例7.9得知， 1 。所以 平均數 E (T ) 1 1 ，即平均1分鐘有一位客人到達。 1 1 1 變異數 Var (T ) 2 1 。 2 1
統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-6
1 e 2
( x )2 2 2
， x
前程企業
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.1 常態分配的定義(2/4)
(二)標準常態分配 在常態分配 N ( , 2 ) 中，若 0 ， 2 1，則 N (0 , 1) 稱之為 標準常態分配。若Z 為一常態隨機變數且 R.V . Z～N (0, 1) ，則稱 R.V . Z 具有標準常態分配，其機率密度函數為 1 2 z 1 2 f ( z) e ， z 參見例7.3 2 例題 7.3 若 R.V . Z～N (0 , 1)，求(1)P( Z 2.5) ? ，P( Z 2.41) ? (2) P(2 Z 3) ? (3)求常數 a ，使得P( Z a) 0.95。
(方法二：利用卜松分配) 令X 表5分鐘內顧客到達之人數，則R.V. X ~ P(5)。等候5分鐘以 上才有顧客到達之機率即5分鐘內沒有顧客到達，因此其機率 為 5 0 e 5 P( X 0) e 5 0.00674 0!
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-15
Chapter 7 常用之連續型機率分配
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-8
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.1 常態分配的定義(4/4)
定理7-2 若 R.V . X ~ N ( , 2 ) ，則 Z 配，即 R.V . Z～N (0, 1)
X 具有標準常態分 參見例7.4
例題 7.4
PN (0.48 Z 0.16) ( R.V . Z～N (0,1))
PN (Z 0.16) PN (Z 0.48) 0.4364 0.3156 0.1208
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-11
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.2 常態分配與二項分配的關係(3/3)
9.5 16 X 16 15.5 16 PN 9.6 9.6 9.6 PN (2.10 Z 0.16) PN ( Z 0.16) PN ( Z 2.10) 0.4364 0.0179 0.4185
前程企業
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-9
Chapter 7 常用之連續型機率分配 7.2.2 常態分配與二項分配的關係(1/3)
定理 7-3 若 R.V . X～b(n , p) 。當 n ，使得 np 5 及 ，則 n(1 p) 5 X R.V . N (0 , 1)
假設某銀行顧客到達的人數具有卜松實驗過程，且平均每分鐘有 1位客人到達，請問銀行員至少需等候5分鐘以上才有顧客到達之 機率為何？
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-14
f (t ) e
t
，t 0， 0
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.3 指數分配(2/3)
例題 7.7
若R.V. X～b(40 , 0.4) ，請利用常態分配求出以下機率之近似值。 (1) P( X 15) ? (2) P( X 17) ? (3) P(10 X 15) ? 【解】 2 、 40 0.4 0.6 9.6 40 0 . 4 16 因為 R.V . X～b(40 , 0.4)，且 n 40、 ，由上述定理得知， R.V . X 近似於 N (16 , 9.6)。 (1) P( X 15) Pb ( X 15) PN 14.5 X 15.5 14 .5 16 X 16 15 .5 16 14.5 X 15.5 PN PN 9.6 9.6 9.6
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-16
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.4 伽瑪分配(1/3)
伽瑪分配 若一連續型隨機變數 T 之機率密度函數
f (t )
n t n 1
( n)
e
t
， 0t
則稱T 具有參數 n 及 之伽瑪分配。一般以 R. V . T～Γ(n, ) 表之。
承上頁 【解】 (方法一：利用指數分配) 令T 表首位顧客到達的時間，則R.V.T～ (1) 。所以等候5分鐘 以上才有顧客到達之機率為
P(T 5) e dt lim
t 5

a 5

a
t a 5 e t dt lim [e ]5 e 0.00674 n
參見例7.15
前程企業
統計學：觀念、方法、應用 3/e
7-17
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.4 伽瑪分配(2/3)
例題 7.15
假設某公司電話撥通的過程為卜松實驗過程，且平均每分鐘撥 通3次。請問恰好撥通二次時間超過一分鐘的機率為何？ 【解】 令 T 表開始撥電話至撥通第2通電話所需之時間，則 R. V . T ~ Γ(2, 3) 。而恰撥通二次時間大於1分鐘之機率為 2 2 1 3t 13 t 1 P(T 1) 1 P(T 1) 1 e 3t dt 1 9 t e dt 0 Γ( 2) 0
例題 7.2
承例7.1，求此汽車等待時間之期望值與變異數。 【解】 期望值：E ( X )
b a 100 0 50(秒) 2 2 2 2 ( b a ) ( 100 0 ) 變異數：Var ( X ) 833.3 12 12
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-5
若 R.V . X～N (10,4) ，試求 P(8 X 11) ? 【解】 X 10 令Z ( 2 4 ，即 2)，則 Z～N (0,1)。 2 8 10 X 10 11 10 因此，P(8 X 11) P P(1 Z 0.5) 2 2 2 P( Z 0.5) P( Z 1) 0.6915 0.1587 (查表) 0.5328
承上頁 (2)P( X 17) Pb ( X 17) PN ( X 17.5)
X 16 17.5 16 PN 9.6 9.6 PN ( Z 0.48) 0.6844
(3) P(10 X 15) Pb (10 X 15) PN (9.5 X 15.5)
統計學：觀念、方法、應用 3/e
7-12
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.3 指數分配 7.4 伽瑪分配 7.5 卡方分配
7.6 結論
前程企業
統計學：觀念、方法、應用 3/e
7-13
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.3 指數分配(1/3)
指數分配 若 T 為一連續型隨機變數且其機率密度函數 則稱 T 為具有參數 之指數分配。一般以 R.V . T～ ( ) 參見例7.9 表之。 例題 7.9
Chapter 7 常用之連續型機率分配
一致分配 常態分配 指數分配 伽瑪分配 卡方分配 結論
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-1
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.1 一致分配 7.2 常態分配
7.2.1 常態分配的定義 7.2.2 常態分配與二項分配的關係
前程企業
統計學：觀念、方法、應用 3/e
參見例7.1
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-3
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.1 一致分配(2/3)
例題 7.1
假設一連續型隨機變數X 表示某汽車等待一十字路口紅綠燈之 時間 (單位：秒)。若 R.V. X 之機率密度函數 0.01， 0 x 100 f ( x) 0 ， 其他 ，請問此汽車等待時間為30秒鐘以內的機率為何？ 【解】 由於 R.V . X ~ U (0,100) ，所以此汽車等待30秒鐘的機率為
P( X 30) f ( x) dx 0.01 dx [0.01x]30 0 0.3
0 0
前程企業 統計學：觀念、方法、應用 3/e 7-4
30
30
Chapter 7 常用之連續型機率分配
7.1 一致分配(3/3)
定理7-1 若一連續型隨機變數X具有一致分配且 R.V . X ~ U (a, b) ba (b a) 2 ，則 E ( X ) 且 Var ( X ) 參見例7.2 2 12