【数学】惠州市2020届高三第三次调研考试数学文试题(含解析)

惠州市2020届高三第三次调研考试
文科数学参考答案与评分细则
一、选择题：
1.【解析】∴B={0,2,4,6}.A B=｛0，1，2，3，4，6｝U .故答案选C
2.【解析】2
2111122422z ⎫==+⋅=-+⎪⎪⎝⎭（），故答案选B 3.【解析】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，
且2
3
1533a a a a =⋅=∴ D
4.【解析】()()1111011a a b a b b ><⎧⎧-⋅->⇔⎨⎨><⎩⎩或，101
log 0101a a a b b b ><<⎧⎧>⇔⎨⎨
><<⎩⎩
或， 所以答案选B
5.【解析】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，()C l ∴∈-2,0，220k ∴-+=，得1k =，所以答案选A
6.【解析】114222
AP mAB AC mAB AD mAB AD =+=+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
Q ，又B P D 、、三点共线，所以
21m +=，得1m =-，故选B
7.【解析】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为
530550
5402
+=（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为
610650
6302
+=（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为]
540,630⎡⎣，故选D 8.【解析】()f x 为偶函数，则1a =，()x
x
f x e e
-∴=+，'().x x
f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，
则00
03
'().2
x
x f x e e
-=-=解得02x e =，所以0ln 2x =。

故答案选D 9.【解析】()f x 为奇函数，则排除B ；当()0,()0x f x π∈>，，排除A ；'()cos cos 2f x x x =-，
'()0f x =解得5
6
x π=或0x =，对比图象可知，答案选C
10.【解析】C(-3,0)，D(3,0)恰好为椭圆的两个焦点，因为,1PM r PD PN PC
+≥+≥120117PM PN PC PD r r ∴+≥+--=--=，2r ∴=，所以答案选C
11.【解析1】()sin cos 62a
f x x x πωω⎛⎫=+
+ ⎪
⎝
⎭
=1cos 22
a x x ωω++
max
()f x ==2a ∴=
，())3f x x πω∴=+
0,0x πω≤≤>Q ，33
3
x π
π
π
ωωπ∴
≤+
≤+
，3
()2
f x ≤≤Q
22
3
3
π
π
πωπ∴
≤+
≤
，11
63ω∴≤≤所以答案选A
【解析2】本题也可通过分析临界值求出答案。

由3(0)2f =
可知3
()2
f π=
或()f π=值，由此可解得1
=
6ω，及1=3
ω，结合图象可知1163ω≤≤，所以答案选A
12.【解析】由题得2'()2(1)f x x ax a a =-+≤，由已知得12+=2t t a ，12(+)0f t t m +≥Q 恒成立，
(2)(1)m f a a ∴-≤≤恒成立。

令324
()(2)21(1)3
g a f a a a a ==-++≤，
则2'()444(1)g a a a a a =-+=--，当(,0),'()0a g a ∈-∞<，当(0,1),'()0;a g a ∈>
()(,0)g a ∴-∞在上单调递减，在(0,1)上单调递增。

min ()(0)1,1, 1.g a g m m ∴==∴-≤∴≥-故选答案A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分。

13．6 14．
23π（或120°） 15.32（或32，或1.5） 16． 38（3分）， 12
（2分） 13.【解析】①2
2,220;n =<②4
4,220;n =<③6
6,220.n =>故答案为6．
14.【解析】因为75,33a b c b ==，222
2
2
2
57
()()133cos 5222()3
b b b b
c a A bc b b +-+-===-，23A π∴=．
15.【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，
圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积2
24S R π=
圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==，本题正确结果：32
16.【解析】由题意可得，平面区域M 的面积为1
84162
⨯⨯=， 当1t =时，平面区域N 的面积为236⨯=，所以P =
63168
=； 如图，当()24t
t -取得最大值时，即2t =时，P 最大，
当2t =时，平面区域N 的面积为248⨯=，所以最大值81162P =
=；故答案为38，12。

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本小题满分12分）
【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由题可知：450
a a <⎧⎨
>⎩...............1分
113040a d a d +<⎧∴⎨+>⎩，即730740
d d -+<⎧⎨-+>⎩............................2分
解得
77
43
d <<.................3分 因为d 为整数，d ∴=2................................................4分
1(1)72(1)29n a a n d n n ∴=+-=-+-=-
所以数列{}n a 的通项公式为29n a n =-........................5分
（2）当4n ≤时，0n a <；当5n ≥时，0n a > .........................................6分
12345201234520.....()(......)a a a a a a a a a a a a ++++++=-++++++......7分
52014()16
()422a a a a +⋅+⋅=-
+
......................9分 (71)4(131)16
22--⨯+⨯=-+
..................10分 =272................................................................11分
所以数列{}
n a 的前20项和为272.................................................................12分 18．（本小题满分12分）
【解析】（1）连接BD ，设AC BD O =I ，连接OE ，则点O 是BD 的中点．
又因为E 是BS 的中点，所以SD OE ∥，………1分
又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，………3分【注：每个条件1分】
所以SD ∥平面ACE ．………………………………4分 （2）因为四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，
所以1
602
ABD ABC ∠=∠=︒．又因为AB AD =，
所以三角形ABD 是正三角形．…………5分 取AB 的中点F ，连接SF ，则DF AB ⊥，且23DF =…………………………………6分
又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS I 平面ABCD AB =，…………7分 所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D AES -的一条高……………………………………8分 【解法1】而1
sin 232
ASE S SA SE ASE =⋅⋅∠=△………………………………………9分
所以E ADS D AES V V --=………………………………………………………10分
11
2323433
ASE S DF =⋅=⨯=△．………………………11分 综上，三棱锥E ASD -的体积为4. ………………………………12分
【解法2】因为E 是BS 的中点，所以1
2
E ADS B ADS V V --=……………………………10分
而B ADS D ABS V V --=11423
23833ABS S DF ⨯=⋅==△．……………11分
所以，三棱锥E ASD -的体积为4. …………………………12分
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）当1014x ≤<时……………………………………………………………1分
()401014=50140y x x x =-⨯--…………………………………………2分
当1420x ≤≤时……………………………………………………………3分
()40143014=30140y x x =⨯+⨯-+………………………………………4分
所求函数表达式为：()()
301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩．……………………5分 【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣2分】
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间[)10,12的频率是120.050.1f =⨯=；
海鲜需求量在区间[)12,14的频率是220.10.2f =⨯=；…………………………6分 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是320.150.30f =⨯=；
海鲜需求量在区间[)16,18的频率是420.120.24f =⨯=；
海鲜需求量在区间[]18,20的频率是520.080.16f =⨯=；………………………7分 【注：写对任意2个得1分，全部写对得2分】 这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：
1122334455x x f x f x f x f x f =⋅+⋅+⋅++⋅+⋅……………………………………8分
110.1130.2150.30170.24190.16=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………9分
15.32=（公斤）………………………………………………………………10分
②当14x =时，560y =，
由此可令30140620x +≥，得16x ≥…………………………………………11分 所以估计日利润不少于620元的概率为()0.120.0820.4+⨯=.…………12分
20．（本小题满分12分） 【解析】（1）
()f x 的定义域为()0,+∞，
当1a =时，()1
ln 1f x x x
+'=-.…………………………………………………1分 由()211
''0f x x x
=
+>恒成立，知()f x '在()0,+∞上是单调递增函数，……2分 又
()1ln1110f '=+-=，所以()f x '的零点是1x =.…………………………3分
（2）()ln 1ln x a a
f x x x x x +-'-=
=+， 令()1ln a g x x x =-+，则()22
1a x a
g x x x x +==
'+..………………………………………4分 ① 当0a =时，()1ln f x x ='+，
令
()0f x '>，得1
x e
>；令()0f x '<，得10x e
<<，
所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以当0a =时，()f x 存在极小值点1
e
，符合题意.……………………………………5分
② 当0a >时，()0g x '
>恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增
又10g ae e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()
11110a
a a
a g e a a e e
⎛⎫
=-+=+-> ⎪⎝⎭
，
由零点存在定理知，()g x 在1
,a e e
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恰有一个零点0x ，.………………………6分 且当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，
所以
()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
所以当0a >时，
()f x 在1,a e e
⎛⎫ ⎪⎝⎭
存在极小值点0x ，符合题意.…………………7分
③ 当0a <时，令()0g x '=，得x a =-.
当()0,x a ∈-时，()0g x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0g x '>，
所以()()()min 2ln g x g a a =-=+-.……………………………………………8分
若()()2ln 0g
a a -=+-≥，
即当2a e -≤-时，()()()0f x g x g a =≥-≥'恒成立，
即当2a e -≤-时，()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点.…………………9分
若()()2ln 0g
a a -=+-<，
即当20e a --<<时，()()11ln 101a
g a a a
-=-+->-， 所以()()10g a g a -⋅-<，即()g x 在(),a -+∞上恰有一个零点1x ，……10分 当()1,x a x ∈
-时，()()0f x g x '=<；当()1x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>
所以当20e a --<<时，
()f x 存在极小值点1x .……………………………11分
综上可知，(
)
2
,e -∈-+∞时，函数()f x 存在极小值点.……………………12分
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）由题意知：直线:02p l x my --
=过定点(,0)2
p
，该点为抛物线焦点。

…………1分 联立222p x my y px
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：22
20y pmy p --=…………………………………2分
设1122(,),(,)A x y B x y ，
有122y y pm +=，2
12y y p ⋅=-………………………………………………………3分
2121212()22(1)22
p p
AB x x x x p m y y p p m ∴=+
++=++=++=+…………4分 【注：只要学生写出
12=AB x x p ++即可给1分】
20,0p m >≥Q ，当0m =时，min 2AB p =…………………………………………5分
1623p ∴=
，解得8
3
p =…………………………………………………………………6分 【注：如果解答过程没有证明当0m =时
min 2AB p =，最多可得3分】
（2）证明：由已知可知直线PM 、PN 的斜率存在，且互为相反数………………………7分
设3344(,),(,)M x y N x y ，直线PM 的方程为(3)4y k x =-+.
联立2163
(3)4
y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去整理得：2
31664480ky y k -+-=.………………8分 又4为方程的一个根，所以3644843k
y k
-=，得3161216433k y k k -=
=-……………9分 同理可得416
43y k =-
-…………………………………………………………………10分 3434223434341611612333(8)3()16
MN
y y y y k x x y y y y --∴===⋅=⨯=--+--………………11分
所以直线MN 的斜率为定值2
3
-
.……………………………………………………12分
22.（本小题满分10分）
【解析】（1）【解法1】由12cos ρϕ=，22cos 6πρϕ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，32cos 6πρϕ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，…3分 则232cos 2cos 66ππρρϕϕ⎛⎫
⎛
⎫+=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭23cos ϕ= ………………4分 所以1233ρρρ=+……………………………………………………………5分
【解法2】M 的直角坐标方程为()2
211x y -+=，如图所示，……………1分 假设直线OA 、OB 、OC 的方程为y kx =，2y k x =，3y k x =，()
3,3k ∈-， 由点到直线距离公式可知2
1
k MF k =
+
在直角三角形OMF 中，由勾股定理可知2
211+12MF ρ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，得1
2
1k ρ=+……………2分 由直线方程可知tan k ϕ=，2tan +
6k πϕ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，3tan 6k πϕ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 所以2tan +tan
3+16=31tan tan 6
k k k π
ϕπϕ=--⋅，得2231k k ρ+=
+………3分 所以3tan -tan
316=31tan tan
6
k k k π
ϕπϕ-=
++⋅，得3231k k ρ-=+……4分 所以1233ρρρ=+……………………………………………………………5分
（2）【解法1】曲线M 的普通方程为：2
2
20x y x +-=，……………………………………6分
将直线BC 的参数方程代入上述方程，整理得230t t -=，解得120,3t t ==；………7分
平面直角坐标为()13,,2,022B C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
………………………………………………………8分
则231,2,6
πρρϕ===；又得
13ρ=. ……………………………………9分
即四边形面积为12131133sin sin 26264
OBAC
S ππρρρρ=
+=为所求. ………10分
【解法2】由BC 的参数方程化为普通方程得：.23=+y x ………………………5分
联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0
22322x y x y x 解得⎩⎨⎧==0211y x 或⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧==232122y x ，即)23,21(B ,)0,2(C …………6分 ,6,12π
ϕρ=
=∴∴点A 的极坐标为），（6
3π
，化为直角坐标为），（2323………7分 直线OB 的方程为x y 3=，点A 到直线OB 的距离为.2
3
)3(1232332
=
+-⨯=
d ………8分 .4
332322123121=⨯⨯+⨯⨯=
+=∴∆∆OAC OBA OBAC S S S …………………………10分 23．（本小题满分10分）
【解析】（1）当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >………1分
当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得2
5
x ≥
，所以此时不等式无解…2分 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤……3分 综上所述，不等式解集为[)2,+∞．………………………………………………………5分 （2）由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，
当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈； …………………………………………6分
当1x ≠时，24131333
111111
x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----．……7分
因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫+
+-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭……………………8分 当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫
+
-≥ ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
即4x ≥或2x ≤-时，等号成立， …………9分
所以，2k ≤；
综上，k 的取值范围是(],2-∞． …………………………………………………10分
【注】①如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各1分，正确写出结果各
1分，中间过程可酌情给1分，但每小问给分最多不超过3分。

②如果作图的坐标系没有标记箭头或x O y 、、，扣过程分1分。