立体几何专题讲义

立体几何专题讲义
一、考点分析
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①⎧
⎪⎧−−−−−
→⎨⎪−−−−−
→⎨⎪⎪⎩
底面是正多形
棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★ 底面为矩形
底面为正方形 侧棱与底面边长相等 2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②r =
d 、球的半径为R 、截面的半径为r ）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2
3
44,3
S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角[]0,θπ∈
解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

俯视图
二、典型例题
1．
_________________.
第1题
2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.
第2题 第3题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .
4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .
第4题 第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是 a
侧(左)视图 正(主)视图 3 俯视图
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .
第6题 第7题
7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3
cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3。

第7题 第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.
图9
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm ），则该三棱柱的表面积为_____________.
图
10
正视图 侧视图
俯视图 俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图11 图12 图13
12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________.
14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是_____________.
图14
15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：2
cm ）_____________.
正视图 左视图 俯视图
图15
16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
图16 图17
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
俯视图
侧视图
正视图
为1，那么这个几何体的体积为______________.
18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________.
图18
1. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________. 4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
2
1
，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 . 6.平行六面体1AC 的体积为30，则四面体11AB CD 的体积等于 .
7．如图7，在正方体1111ABCD A
B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.
8. 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD
侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.
第8题 第7题
9.
正方体''
'
'
ABCD A B C D -中,异面直线'
CD 和'
BC 所成的角的度数是_________________.
10．如图9-1-3，在长方体1111ABCD A B C D -
中，已知1,AB BC CC ==，则异面直线1AA 与1BC 所成的角是_________，异面直线AB 与1CD 所成的角的度数是______________
图13
11. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ A C B D =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________.
12. 正方体1AC 中，1AB 与平面11ABC D 所成的角为 .
13．如图13在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________.
14. 如图9-3-6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为_______________.
图9-3-6 图9-3-1
15．如图9-3-1，已知ABC ∆为等腰直角三角形,P 为空间一点，且AC BC PC AC ==⊥，PC BC ⊥，5PC =，AB 的中点为M ，则PM 与平面ABC 所成的角为
16．如图7，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离
17.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是______________. 18．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是_________________.
19.已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB
=AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .
20. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是_________________.
21．△ABC 的顶点B 在平面a 内， A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=24 ，AC=5，则AC 与a 所成的角为_________.
22．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ， 则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________.
23．已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB
=AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .
24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ .
25.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
BC =O 表面积等于____________.
26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为
32
3
π，则正方体的棱长为_________. 27. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.
1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
A
1
1
A E C
2.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1
AC ⊥面11AB D ．
3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点.
（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：MN CD ⊥；
（Ⅲ）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥平面PCD .
4. 如图（1），ABCD 为非直角梯形，点E ，F 分别为上下底AB ，CD 上的动点，且EF CD ⊥。

现将梯形AEFD 沿EF 折起，得到图（2）
（1）若折起后形成的空间图形满足DF BC ⊥，求证：AD CF ⊥；
（2）若折起后形成的空间图形满足,,,A B C D 四点共面，求证：//AB 平面DEC ；
A
B
C
D
E F
图（1）
E
C
F D
A
图（2）
N
M
P
D B A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1C
5．如图，在五面体ABCDEF中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE，AB⊥AD，M为EC的中点，
N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=1
2
AD
(I) 证明平面AMD⊥平面CDE；
(II) 证明//
BN平面CDE；
6．在四棱锥P－ABCD中,侧面PCD是正三角形,
且与底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,
M是P A的中点，O是DC中点.
（1）求证：OM // 平面PCB；
（2）求证:P A⊥CD；
（3）求证:平面P AB⊥平面COM.
7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明P A//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD
A C
A
F E B C D
M
N P
D A B
C
O
M
8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，
DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．
(1)求证：A1C⊥面AEF；
(2)求二面角A-EF-B的大小；
(3)点B1到面AEF的距离.
1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求证：
（1）平面P AC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角；
2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成
角的大小为 _____________.
3．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________.
4. 若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.
5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，
,
AB AC PA
⊥⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD
的中点.（1）求证：AC PB
⊥；（2）求证：PB//平面AEC；
（3）若PA AB AC a
===，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.
1．已知直线l 、m 、平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：
（1）α∥β，则l ⊥m （2）若l ⊥m ，则α∥β
（3）若α⊥β，则l ∥m （4）若l ∥m ，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2. m 、n 是空间两条不同直线，αβ、是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

3. l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，；②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥；③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 其中正确的命题有_________________.
4. 对于平面α和共面的直线m 、,n
(1)若,,m m n α⊥⊥则n α∥ (2)若m αα∥,n ∥,则m ∥n
(3)若,m n αα⊂∥,则m ∥n (4)若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 其中真命题的序号是_____________.
5. 关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题：
①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是_________________.
6. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：
①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒
③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥
其中正确命题的序号是_______________.
7.给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.
④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.。