高考数学课标Ⅲ版§5.2 平面向量的数量积及其应用

·( PB
+ PC
)取得最小值,为2× 34

=- 3 ,故选B.
2
B组 自主命题·省(区、市)卷题组 考点一 长度与角度问题
1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
方法总结 1.平面向量模的问题的处理方法: 通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决. 2.充分条件与必要条件的判断方法: (1)直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假. (2)集合法:设p、q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系进行判断. (3)利用原命题与其逆否命题同真假来判断.
得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10,
故可设x= 10
cos
θ, 1 10
≤cos
θ≤ 3 10
,
y= 10 sin θ, 1 ≤sin θ≤ 3 .
10
10
设α1,α2为锐角,且sin α1= 1 ,sin α2= 3 ,
10
10
则有α1≤θ≤α2,又0<α1< 4 <α2< 2 ,

BA |
BC

| BC
|
= 23
,所以∠ABC=30°,故选A.
2.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|= ( )
A.2 B. 2 C.1 D. 2 2
答案
B
由题意得
(a b) a a2 a b (2a b) b 2a b b2
2 1 λ2
2 1 λ2 2
3
疑难突破 根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题 的突破口. 易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错.
6.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 .
答案 4;2 5
则x+y= 10
(cos
θ+sin
θ)=2 5
sin θ
4

,
α1+ ≤θ+ ≤α2+ ,而 <α1+ < <α2+ < 3 ,
4
4
44
42
44
故当θ+ = ,即θ= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,
42
4
所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
∵ | a b | | a b | ≤ | a b |2 | a b |2 = a2 b2 = 5 ,
2
2
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 .
当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a·b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
,最大值是
解析 本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不 等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,
且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.
|a||c| |b||c|
4.(2014北京,10,5分,0.77)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=
.
答案 5
解析 ∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|. ∵|a|=1,|b|= 5 ,∴|λ|= 5.
5.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 3 e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 长度与角度问题
1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量 BA
=

1 2
,
3 2


, BC
=

3 2
,
1 2

,则∠ABC=
(
)
A.30° B.45° C.60° D.120°

答案
A
cos∠ABC=
|
BA
2.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若

点E为边CD上的动点,则 AE · BE 的最小值为 ( )
A. 21 B. 3 C. 25 D.3
16
2
16
答案 A 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),
0,
0
⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=
2.故
选B.
3.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
.
答案 2 3
解析 本题考查向量数量积的计算.
由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×1 =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
的值是
.
答案 3 3
解析 本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式. 由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 3 e1-e2=( 3 ,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos 60°=
( 3,1) (1, λ) = 3 λ = 1 ,所以 3 -λ= 1 λ2 ,解得λ= 3 .
答案 D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|. 当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出 a⊥b.故选D. 思路分析 先注意研究向量的模,考虑模的定义以及特殊的模,一般情况可以用平行四边形法 则或三角形法则作图,用有向线段的长度来表示向量的模.

B

3 2
,
3 2

,C(0, 3
),令E(0,t),t∈[0, 3

],∴ AE

·B E

=(-1,t)·

3 2
,t

3
2

=t2- 3 t+3 ,∵t∈[0, 3 22
1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B 本题考查平面向量的运算. 因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B. 解题关键 掌握向量的运算是解题关键.
又sin
α1

4

=sin

α2

4

=
2 2

1 10
3 10

= 2
5
,
故当θ=α1或θ=α2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时a∥b,
x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.
解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.
4
2
4
答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos<a,b>-2|b|2=0.
又∵|a|= 2 2 |b|,∴ 8 |b|2- 2 2 |b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>= 2 .∵<a,b>∈[0,π],
2.(2014课标Ⅱ,3,5分,0.749)设向量a,b满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则a·b= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A 由|a+b|= 10 得a2+b2+2a·b=10, ① 由|a-b|= 6 得a2+b2-2a·b=6, ② ①-②得4a·b=4,∴a·b=1,故选A.
2
所以|a+2b|=2 3 .
4.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
.
答案 -2 解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.
评析 本题考查向量数量积及向量的模,难度不大.
考点二 数量积及其应用
=2(-1-x,-y)
· 12 x,
3 2

y


=2(

x
1)


x

1 2


y


y

3 2

=2
x

1 4
2


y

3 4
2


3 4

.
因此,当x=- 1 ,y= 3 时, PA 44
则|a+b|+|a-b|= (x 2)2 y2 + (x 2)2 y2
= x2 4x 4 1 x2 + x2 4x 4 1 x2 = 5 4x + 5 4x
= ( 5 4x 5 4x)2 = 10 2 25 16x2 ,
∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时, |a+b|+|a-b|有最大值2 5 , 当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4.
解后反思 由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b 时,|a+b|=|a-b|.
2.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= 2 2 |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ( ) 3
A. B. C. 3 D.π
|

= λ 5
a+ λ 25
b(λ∈R),
∵c=ma+b,∴m 1
λ,
5 λ
⇒m=2.
2 5
解法二:c=ma+b=(m+4,2m+2),∵c与a的夹角等于c与b的夹角,且向量夹角的取值范围是[0,π],∴
a c = b c ,∴2(a·c)=b·c⇒2(m+4+4m+4)=4m+16+4m+4⇒m=2.

·P D
=P E 2
2
-E A
可快
速求出最值.
一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),C(0, 3
),设P(x,y),取BC的中点D,则D

1 2
,
3 2


. PA

·( PB

+ PC

)=2 PA

·P D
考点二 数量积及其应用
1.(2018北京,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断. |a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔2a2+3a·b-2b2=0,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0 ⇔a⊥b,故选C.
3
3
3
2
∴<a,b>= .选A.
4
3.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m
= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案
D
解法一:由c与a的夹角等于c与b的夹角,可设c=λ
|
a a
|

|
b b

3.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 PA·

( PB

+ PC
)的最小值是
(
)
A.-2 B.- 3 C.- 4 D.-1
2
3
答案 B 设BC的中点为D,AD的中点为E,

则有 PB

+ PC

=2 PD
,




则 PA·( PB + PC )=2 PA ·P D
=2( PE + EA)·( PE - EA)=2( PE2- EA2 ).
而 AE
Hale Waihona Puke 2=
3 2 3
2

= 4 ,
2



当P与E重合时, PE 有最小值0,故此时 PA·( PB + PC )取最小值,
2
最小值为-2 EA
=-2× 34 =- 32 .
方法总结
在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用P A