第八章 欧氏空间与欧氏几何

第八章 欧氏空间与欧氏几何
8.1 设),(),,(2121y y y x x x ==，验证：221221113),(y x y x y x y x y x +--= 是2R 的内积；
解：只要验证公理000015,14,13,12而可；
012 对称律：222121113),(y x y x y x y x y x +--=
),(322122111x y x y x y x y x y =+--=
013 分配律： 222122211111)(3)()()(),(z y x z y x z y x z y x z y x +++-+-+=+
)3()3(2212211122122111z y z y z y z y z x z x z x z x +--++--= ),(),(z y z x +=
014 齐性： 221221113),(y x y x y x y x y x ξξξξξ+--=
)3(22122111y x y x y x y x +--=ξ),(y x ξ=
015正定性：
221221113),(x x x x x x x x x x +--=
22212132x x x x +-=2
2
2212)(x x x +-=＞0正定. 8.2 设22121),(,),(R y y y x x x T T ∈==
(1)定义2212211133),(y kx y x y x y x y x f +--=，问k 取何值时),(y x f 是2R 的内积？
(2) 定义22122111),(y x y x y x y x y x f δγβα+++=,问R 中δγβα,,,为何值时，
),(y x f 是2R 的内积？
解：(1) 由题8.1知，不论k 如何取，),(y x f 均满足,120013，014并且 22211122122111633),(x kx x x x x x kx x x x x x x x x f +-=+--=
2
2221)9()3(x k x x -+-=
当09≥-k 即9≥k 时，),(x x f 非负，满足公理015
(2) 由定义y x y x y x y x y x y x f T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+++=δγ
βαδγβα22122111),(
012 对称律: 记
y x y x f T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δγ
βα
),(, x y x y f T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=δγβα),(, 则),(),(y x f x y f =的充要条件是：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛δγ
βαδβγαδγβα
T
故当 β=γ 时，称律成立.
13 分配律: z y x z y x f T
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+δγ
βα
)(),(z y z x T T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=δγβαδγ
βα
),(),(z y f z x f +=
014齐性:),()(),(y x f y X y x y x f T T ξδγβαξδγ
βα
ξξ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛= 015正定性:设T x x x ),(21=,当βγα=≠,0时
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121),(x x x x x x x x f T δββα
δβ
βα
2
221212x x x x δβα++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=22212
12x x x x αδαβα ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222221x x x αβαδαβα ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222
22
21x x x αβαδαβα 所以,对任何0≠x ，当0>α，γβ= 及 02
2
≥-α
βαδ 时,必有0),(>x x f ,即 0),(≥x x f 当0>α，γβ= 且 02≥-βαδ
综上所述:当0≠α时，只要0,02>β-αδ>α,β=γ,对任0≠x ,都有0),(>x x f ;
当0=α时，0≠α(否则非负性不存在)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21222
12),(x x x x x f δβδβδ 不满足非负
当0,0,2>β-αδ>αβ=γ同时成立时，),(y x f 为2R 的内积。

8.3 设W 是n 维欧氏空间V 的子空间，{}r u u u ,,,21 是W 的基，若V 的向量v 与),,2,1(r j u j =均正交，证明： (1) v 与W 的所有向量均正交； (2) 若W v ∈，则 0=v
∑==+++=v
j j j r r u x u x u x u x u 12211
(1) 0),(,),(1
1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==v
j j j v j j j v u x v u x v u
由u 的任意性知，v 与W 中所有向量正交；
（2） 若W v ∈，设 ∑==+++=v
j j j r r u x u x u x u x v 12211
由0),(),(),(1
1
∑∑=====r j r
j j j j j u v x u x v v v 得:0=v
8.4 设V 是n 维欧氏空间，{}n u u u V y x ,,,,,21 ∈为V 的一组标准正交基，x 、
y 在此标准正交基下的坐标分别为n T n T n R y y y x x x ∈),,,(,),,,(2121 ，证明：x
与y 正交充要条件是：02211=+++n n y x y x y x 证：设0),(,,1
1
===∑∑==y x u y y u x x n
j j j n
i i i ； 0),(=y x
),(,,),(11
11j i n i j n
j i n j j j n i i i u u y x u y u x y x ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
n n i i n
i i i y x y x y x u u y x +++==∑= 22111
)(
得 02211=+++y x y x y x n
反之，设02211=+++y x y x y x n ， 则由
0y ),(2211=+++=n n y x y x x y x
便得 x 与y 正交；
8.5 设{}321,,εεε是3-维欧氏空间V 的一组标准正交基，若有
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧--=+-=-+=)22(31)22(31)22(31321332123211εεεεεεεεεu u u
证明：{321,,u u u }也是V 的标准正交基。

证：记 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=22121212231
A ，A u u u ),,(),,(321321εεε=
因为{321,,u u u }的度量矩阵：
()
32
1321332313322212312121),(),(),(),(),(),(),(),(),(u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u T T T
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)22121212
231
)(,,()22121212231)(,,(321321εεεεεεT
)22121212
231)(,,()22121212231(321321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=εεεεεεT T
T T
)22121212231()22121212
231(332
313322
212312111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=εεεεεεεεεεεεεεεεεεT T T
T
T
T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=111
即{}321,,u u u 为正交向量.又由321,,u u u 线性无关，且V 为3-维欧氏空间,所以
{}321,,u u u 为标准正交基.
8.6 设{}54321,,,,εεεεε是-5维欧氏空间V 的标准正交基，若
⎪⎩⎪
⎨⎧++=+-=+=3213
42125
11ε
εεεεεεεu u u
求{}的标准正交基3211,,S pan u u u V =.
解：利用Gram -Schmidt 正交化方法，在基底{}54321,,,,εεεεε下，
)0,0,1,1,1(),0,1,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==u u u
令 111122211),(),(,z z z z u u z u z -
='=，由 2
1
),(),(1112=z z z u
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--=+='21,1,0,1,21
)1,0,0,0,1(21)0,1,0,1,1(1
22kz u z 取 )1,2,0,2,1
(222--='=z z 有 ()0,21=z u 设 )3,1,5,4,3(5
1
),(),(),(),(2
22231111333
-='--='z z z z u z z z z u u z 取 )3,1,5,4,3(3-=z
于是 {}321,,z z z 为正交向量组，且与{}321,,u u u 等价,单位化由
33
32221111,1,1z z z z z v z z v ===
)3,1,5,4,3(60
1),1,2,0,2,1(10
1),1,0,0,0,1(2
1321-=
--=
=v v v
得: ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-+++=-+-=
+=)
543(60
1)22(101)
(2154321354212511εεεεεεεεεεεz z z
{}32
1
v v v 即为所求1V 的标准正交基。

8.7 证明:-n 维欧氏空间V 中任一单位正交组可以扩充成为的标准正交基. 证：设},,,{21r e e e 为单位正交向量组，则必有{}n r r u u u ,,,21 ++ 使
{}n r r r u u u e e e ,,,,,,2121 ++
为V 的一个基；令
r r r r e k e k e k u z ++++=++ 221111，r i e e e u k i i i r i ,,2,1,)
,()
,(1 =-
=+
则 {}121,,,,+r r z e e e 为正交向量组，假定已求得正交向量组：
,,,,21e e e s r r r z z z +++,,,21 ，
取 s r s r r r r r s r s r z k z k e k e k e k u z ++++++++++++++= 11221111 其中： 1),(,,,2,1,)
,()
,(1==-
=++i i i i i s r i e e r i e e e u k
s r r r j z z z u k j j j s r j +++=-
=++,,2,1,)
(),(1
则{}12121,,,,,,++++s r r r r z z z e e e 为正交向量组,由数学归纳法原理，可得:
{}n r r r z z z e e e ,,,,,,2121 ++ 为V 的一个基，取
n r r j z z e j
j j ,,2,1, ++==
则 {}n r r e e e e e ,,,,,,121 +为V 的单位正交基。

8.8 求齐次线性方程组
⎩⎨
⎧=+-+=---+00
325321
54321x x x x x x x x x 的解空间（作为5R 的子空间）的一组标准正交基，并将其扩充为5R 的一个标准正交基；
解：由⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----511104100110111410011011131112 得等阶方程组： ⎩⎨⎧=++-=--0
50454
3
2
54
1
x x x x x x x
基础解系为：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==T T T u u u )1,0,0,5,4()0,1,0,1,1()0,0,1,1,0(321 正交化得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧--=-==T T T z z z )5,13,6,6,7()0,2,1,1,2()0,0,1,1,0(321 显然原方程组的系数组成的向量
T T u u )5,1,1,1,0(,)4,1,0,0,1(54-=--=
与321,,z z z 正交，而54321,,,,u u z z z 为5R 的一个基.取
T u z )4,1,0,0,1(44--==
7
454444555
62,61,1,1,67
67),(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=-='z u v z z z u u z T z )2,1,6,6,7(5--=
则{}54321,,,,z z z z z 为5R 的一个正交基，单位化得：
1111211z z z v ==
, 22221011z z z v ==, 33333511z z z v ==, 4444211z z z v ==
, 555
54611z z z v == {}54321,,,,v v v v v 即为要求的标准正交基。

8.9 证明：(1)欧氏空间的同构关系是等价关系； (2)任一n-维欧氏空间V 与n R 同构；
证：设321,,V V V 为欧氏空间， （1）因为同构关系满足 ① V V ≅ 满足自反律
② 1221V V V V ≅⇒≅ 满足对称律 ③313221,V V V V V V ≅⇒≅≅ 满足传递律
所以同构关系是等价关系
（2）设},,,{21n v v v 为V 的一个基，映射
n R V →:ϕ, ),,,(21n u u u u ， V v v v a n n ∈+++=∀ααα 2221 为保持向量加法和数乘的双射，即同构映射.从而n R V ≅.
8.10 证明：三角形三条高线相交一点。

证：设ABC ∆二条高线分别为BE .交于O 点，过O 点作，相交于O 点,
只要证明垂直于， 先证：0=⋅，由C B +=
∵ ⋅+⋅=+⋅=⋅)(
)()(=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++⋅+=
其中:0..0=⋅⋅-=⋅=⋅ ∴ ,⊥将延长到D,则AD 为BC 的高.
8.11 证明欧氏空间中任何四点A 、B 、C 、D 0=⋅+⋅+⋅
证：∵ +=+=
左端⋅+⋅+⋅=
)()
()(=⋅-⋅+⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅=BC AD AD BC CD DA CD BC AB BC DA AD BC CD DA CD CD CD BC CD AB CD DA BC DA CD CD BC CD AD BC CD AB CD BC DA CD AD BC CD AB
∴ 原式成立，其中：0.=+++⋅-=⋅ 8.12 证明下列等式
(1) c)d)(b (a d)c)(b (a d)(c b)(a ⋅⋅-⋅⋅=⨯⋅⨯ (2) 0)()()(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯b a c a c b c b a
证：先证明等式:c b a b c a c b a )()()(⋅-⋅=⨯⨯, 设V 为3-维欧氏空间，
V c b a ∈,,，},,{k j i
为V 的一个标准正交基:
k j i a 321ααα++=；k j i b 321βββ++=；k j i c
321γγγ++=
321321γγγβββk
j i c b
=⨯k j i
2
12113133232γγββγγββγγββ++=
k x j x i x
321++=),,(321x x x =
),,()(3213213
21321y y y k y j y i y x x x k
j i c b a =++==⨯⨯
ααα
则 2332323
21x x x x y αααα-==
1
31
33212
12γγββαγγββα-= )()(3113312212γβγβαγβγβα---= 1332213322)()(γβαβαβγαγα+-+=
111332211111332211)()(γβαβαβαβαβγαγαγαγα-++--++=
12311111)()(γβαγγβαβ+⋅--⋅=b a c a 11)()(γβb a c a ⋅-⋅=
同理： 222)()(γβb a c a y ⋅-⋅=；333)()(γβb a c a y ⋅-⋅= 故有： c b a b c a y y y c b a )()(),,()(321⋅-⋅==⨯⨯
(1) ()()()a d c b a d)c b d)c b a d c b a ⋅⨯⨯=⨯=⨯=⨯⋅⨯)(,(,(,,)()( []a d c b c d b ⋅⋅-⋅=)()(=⋅⋅-⋅⋅⋅=))(()()(a d c b a c d b 右端 (2) 由 b a c a b c b a c c b a )()()()(⋅+⋅-=⨯⨯-=⨯⨯
c b a b c a c b a a c b )()()()(⋅+⋅-=⨯⨯-=⨯⨯ a c b c a b a c b b a c )()()()(⋅+⋅-=⨯⨯-=⨯⨯
得 =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯b a c a c b c b a )()()(0
8.13 证明:如果 0=⨯+⨯+⨯a c c b b a ,那末c b a ,,共面. 证: 由 0)(=⋅⨯+⨯+⨯c a c c b b a 得 0)()()(=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯c a c c c b c b a
因为 c c b ⊥⨯)(，c a c ⊥⨯)( 即 0)(,0)(=⋅⨯=⋅⨯c a c c c b 所以 0)(=⋅⨯c b a ，即 c b a ,,共面.
8.14 下列等式是否正确?
(1) ;2a a a = (3) ;)(2b a b a a =⋅ (5) );()(c b a c b a ⋅=⋅ (2) ;)(2ab b b a =⋅ (4) ;)(222b a b a =⋅ (6) );()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 解.(1) 不正确,因左端是向量,右端是标量. (2) 正确.
(3) 等号两端)(b a a ⋅∥a ,b a 2∥b 方向不同.当a ∥b .故不正确。

(4) 当a 与b 平得进成立,否则不成立; (5) 不成立,原因同(3); (6) 不成立,方向不同. 8.15 下列推断是否正确?
(1) 如果 c a b c ⋅=⋅且0≠c .那么 b a =; (2) 如果 c a b c ⨯=⨯且0≠c .那么 b a =.
解：(1) 由 a c c a b c ⋅=⋅=⋅ 知有 0=⋅-⋅a c b c 即 0)(=-⋅a b c 当c a b ⊥-)(时,也成立. 所以 a b -不一定为0. b a =不一定成立.
(2) 由 0.≠⨯=⨯c c a b c 有.0=⨯+⨯=⨯-⨯a c b c c a b c 即 b a a b c ==+⨯.0)(不一定成立,只要)(b a +∥c .
8.16 求下列平面方程.
(1) 过点(-1,0,3),垂直于向量(1,2,-5); (2) 过点(2,4,-3),平行于向量(0,2,4)和(-1,-2,1); (3) 过点(1,0,3),(2,-1,2),(4,-3,7);
(4) 过直线1121-==-z y x ,平行于直线2
1
12-+==z y y ; (5) 过直线⎩⎨⎧=-++=+--,
0240
122z y x z y x 在y 轴和z 轴上有相同的截距.
解:(1) 依题意: )5,2,1(-=n
过点(-1,0,3).
π: .0)3(5)0(2)1(=---++z y x 即:01652=+-+z y x
(2) )2,4,10()1,2,1()4,2,0(0-=--⨯=n
法向量 ).1,2,5(-=n
过点P(2,4,-3).
π: 0)3()4(2)2(5=++---z y x 或:0125=++-z y x (3) 设 )4,3,3(,)1,1,1(-=--=b a 为平面上两向量. )0,7,7()4,3,3()1,1,1(--=-⨯--=⨯b a
取 )3,0,1(.)0,1,1(P n =
得
π: .0)1(=+-y x 即.01=-+y x .。

(4) 由题意: π过点)0,0,1(1P ,平行于 )1,1,2(1-=a 和)2,1,2(2-=a )0,2,1(21-=⨯e e
取法向量)0,2,1(-=n ,得：,02)1(=--y x 即012=--y x
(5) 利用平面束的性质:设过已知直线的平面束来为
0)24()122(=-++++--z y x z y x k
整理得: π: 0)2()24()1()12(=-+-+-++k z k y k x k
在y 轴z 轴上的截距相等,设为a ,即过),0,0(),0,,0(a a
得: ⎩⎨⎧=-+-=-+-0
)2()24(0)2()1(k a k k a k 相减: []0)1()24(=---a k k ，0≠a ，得3=k
代入平面束方程得 :π01227=+--z y x
8.17 求下列直线方程:
（1）过点(1,0,-2),平行向量(4,2,-3)；
（2） 过点(0,2,3),垂直于平面032=+y x .
（3）过点(2,-1,3)与直线2
2011-==--z y x 相交且垂直； （4）过点)2,0,1(0-M 与平面0123=++-z y x 平行，相交于直线：
1
2341z y x =--=- （5）过点)0,9,11(与直线354321-=+=-z y x 和直线2
1125+=--=z y x 相交. 解：（1）由点向式：
L ： 3
2241-+==-z y x （2）依题意知：过点(0,2,3)，方向向量为平面的法向量 （2，3，0）
L ： 03322-=-=z y x （3）首先所求直线在过点)3,1,2(0-M 与已知直线垂直的平面上，
故取 )2,0,1(-=-=a n ，与已知直线垂直的平面为
π：0)3(2)2(=---z x 即 042=+-z x
先求平面与已知直线的交点，联立方程：
⎪⎩⎪⎨⎧=+--==--04222011z x z y x 即
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-+=0420420z x z x y 解得 )512,0,54(1=M ,)5
3,1,56(10--=M M ， 取方向向量,)3,5,6(-=a , 则直线方程为
L ： 3
35162-=-+=-z y x （4）过点)2,0,1(0-M 平行于0123=++-z y x 的平面，即垂直于)
2,1,3(-=n 的平面
π: .0)2(2)1(3=+++--z y x 即:0123=++-z y x .
联立:
1
2241z y x =--=-与0123=++-z y x 解得平面π与已知直线的交点 )8
1,49,21(1-M )8
15,49,21(10-=M M ，)15,18,4(--=a 求得直线方程.L: 15
21841-+=-=-z y x (5)先求过点)0,9,11(0M 与直线1L ：354321-=+=-z y x 的平面π 因为 11)5,3,1(L M ∈-，取 )5,12,10(10-=M M ,则 )16,40,56()3,4,2()5,12,10(110-=⨯-=⨯L a M M
取π的法向量 )2,5,7(-=n ,得
π:.02)9(5)11(7=+---z y x 即 032257=-+-z y x 联立π与L 2: 2
1125+=--=z y x 得 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-=+32257552105z y x z x y x 解得 )1,1,5(2M
作 )1,8,6(02-=M M , 取 )1,8,6(02-==M M a ,便得所要求的直线:
L: 1
89611-=-=-z y x
8.18 求点到平面的距离:
(1) (0,2,1)到01532=-+-z y x ；
(2) )4,2,1(-到01=+-y x .
解 (1) π∈---=)0,1,1(;)1,2,0(;)5,3,2(10M M n
d =2220001532C
B A z y x ++-+-=381= （2）)4,2,1(),0,1,1(0--=M n
=d 222001
C B A y x +++-222==
8.19 求平面1D Cz By Ax +++与平面2D Cz By Ax +++之间的矩离. 解:任取2221211111),,(,),,(ππ∈∈z y x M z y x M ,则
).,,(),,(12121221C B A n z z y y x x M M =---=
1π与2π的距离为21M M 在n
上的投影,即
)()((1121212z z C y y B x x A n d -+-+-== 2221
2C B A D D ++-=
8.20 求下列点到直线的距离：
(1) (-1,-3,5)到;3
13121-+=-=-z y x (2) (0,2,4)到.1
5322-+=-=z y x 解:(1) 过点 )5,3,1(0--M 且垂直于L 的平面π的法向量为)3,3,2(-=n 且
π:0)5(3)3(3)1(2=--+++z y x 即 026332=+-+z y x π与L 的交点由
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-=+-+1231
23026332z x y x z y x
的解)1140,1140,1123(1--M ,于是得
:11
38==d (2) 方法同上,过点M 0(0,2,4)且垂直于L 的平面π的法向量)1,3,2(-=n
π: 0)4()2(32=---+z y x 即 0232=--+z y x
π与L 的交点为联立方程⎪⎩
⎪⎨⎧-=--=+=-+423102232y x z x z y x 的解)1461,141,1418(1--M ,从而
14
139==d 8.21 求下列各对相错直线之间的最短距离. (1) .11222-=-+=z y x 和 ;1
12341-+=-=-z y x (2) .01111-=--=z y x 和 .2
1121z y x =-=+ 解:(1) L 1与L 2为垂直方向向量
).12,6,0()1,2,4()1,2,2(21=-⨯-=⨯a a
取 )2,1,0(=n .)2,5,1(,)1,3,1(,)1,2,0(10110-=-∈-M M M L M , 则
222
1),(51110====M M n n n d . (2) 同理 L 1与L 2为公垂向量 ).3,2,2()2,1,2()0,1,1(21--=⨯-=⨯=a a n
21,L L 分别过 )0,1,1(),1,1,0(10-M M ；)1,0,1(10--=M M
17
11==n n d 8.22 判断下列各对直线的位置关系（相交、平行、相错）. (1) .123131-=-=+z y x 与 3
235.253261-=-=-=-z z y x ; (2) ⎩
⎨⎧=++=++010z y z y x 与 ⎩⎨⎧=++=++0101z x y x ; (3) .11111-+==-z y x 与 .0
1111+=--=z y x ;
(4) ⎩⎨⎧=+-=+--033202y x z y x 与 ⎩⎨⎧=--=+-0
54202z y z y x . 解:(1) 两直线的方向向量为不平行的两个向量：
)3
2,2,1(,)1,3,3(21-==a a 且)3
1,5,1(,)35,6,0(,)2,1,1(212211-=∈∈-M M L M L M ,得 01512213
33315121133),,(3132
2121≠--=--M M a a 两直线相错.
(2) 1L 的方向向量：)1,1,0()1,1,0()1,1,1(1-=⨯=a
2L 的方向向量：)1,1,1()1,0,1()0,1,1(2--=⨯=a . )0,1,2(,)0,0,1(,)0,1,1(212211-=∈-∈-M M L M L M 由0),,(2121≠M M a a 知,两直线相错.
（3）1L 的方向向量： )1,1,1(1-=a
2L 的方向向量： )0,1,1(2-=a )0,1,1(,)1,1,0(,)1,0,1(212211-=∈-∈-M M L M L M 由0),,(2121=M M a a 知,两直线相交.
(4) 1L 的方向向量：)1,2,3()0,3,2()1,1,1(1---=-⨯--=a ∥)1,2,3( 2L 的方向向量：)2,4,6()4,2,0()1,2,1(2=-⨯-=a ∥)1,2,3( 两直线平行,但不相等())1,1,0(,)1,1,0(21L L ∉∈.。