6均匀设计
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用spss软件，使用回归分析中变量筛选的方法，比如 “向后法”，得到推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792x3
这个结果与人们的经验不符。
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25
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32 12 x1x2 13x1x3 23x2 x3
3.均匀设计表任两列组成的试验方案一般并 不等价。
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16
6.2.3 使用均匀设计表
1.刻划均匀度用偏差D，越小，均匀度越好。 偏差D可对任一均匀设计表 U n或 中U任n* 意二列、任意三列、 …进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列，从 而形成使用表。
如下表就是均匀设计表 U7的(76使) 用表，s表示因子数。
6
5
4
3
2
11 2 3 4 5 6
6.2.1
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均匀设计表任两列组成的试验方案一般不等价
15
均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
1.每个因素的每个水平做且仅做一次试验。
2.任两个因素的试验点点在平面的格子点上， 每行每列有且仅有一个试验点。
此二性质反映了均匀设计试验安排的“均衡”， 即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
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20
2.利用均匀设计表来安排试验的步骤：
（1）根据试验目的，选择合适的因素和相应的水平。 （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表
的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列 号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对 号，试验就安排好了。
详见下例：
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21
阿魏酸是生产用于治疗心脑血管疾病及白细胞减少等 症药品的基本原料。在阿魏酸的合成工艺考察中，为 了提高产量，选取了原料配比(A)、催化剂量(B)和反 应时间(C)三个因素，它们各取了7个水平,具体如下：
原料配比(A):1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4
催化剂量(B)(ml)：10，13，16，19，22，25，28
6.1.1 均匀设计概述
例6.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、 Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某种 细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因素，每一因素取17 个水平。试验如何设计？ 实验目标？试验指标？因素与水平？ 如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。 能否减少试验次数？均匀设计便是针对这种情况提出的一种设 计方法。
则表的第k行、j列的数字=MOD（n，hj*k）——excel取余数函数; 故本例中第1列的数据就是1，2，…，9；
第2列的数据就是2k/n的余数。
……
具体操作时有均匀设计软件帮助
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13
2.另一类均匀设计表
U
* n
(q
m
)
对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。
譬如n=6时，n=？
第六章 均匀设计
（Uniform Design）
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1
回顾正交设计
一个问题：正交设计的适用条件 是什么？ 最少试验次数=水平数2=q2
故正交设计要求：因素数目多、水平少。
遇到不适用的情况怎么办？ 均匀设计
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第六章 均匀设计
§6.1 均匀设计表 §6.2 均匀设计的使用表 §6.3 均匀设计的数据分析 §6.4 均匀混料设计（了解）
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§6.1 均匀设计概述及均匀设计表
6.1.1 均匀设计概述
均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归分析 进行数据分析的一种试验设计方法。
基本想法：使试验点在因素空间中具有较好的均匀 分散性。
均匀设计同正交设计一样，也是部分因素设计的重 要方法之一。
适用范围：试验因素多、因素取值范围大、因素水 平多（一般不少于5），而试验次数相对较少的情况。
23
§6.3 均匀设计数据分析
均匀设计的试验数据的处理通常采用回归分 析的方法，回归分析模型可采用线性回归模 型、二次回归模型或其它非线性回归模型， 可以通过逐步回归的方法筛选变量。
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6.3.1 用回归法拟合模型
对阿魏酸一例进行数据分析： 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁 超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。
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5
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
2019/10/26
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
6
§6.1 均匀设计概述及均匀设计表
反应时间(C)(h)：0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5
分析：
7个水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们
可以选用7水平均匀设计表
完成该试验。
具体表的使用，应该根据偏差D来确定，应使U7 (74 ) ， 实验方案列于下表。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ22
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因为x1x3的回归系数是正的，而x1* = 3.4，从而有：
Yˆ(3.4, x3) 0.06232 0.3309x3 0.06x32
可通过求导数的办法求得，在x3* = 2.7575达到最大值 。 所以：在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值 为205191/1.08/256 % 。它比７个试验点的最好值48.2%还大。 28
均匀设计
因素的最大数
Un(qm)
试验次数、行数
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水平数
10
均匀设计表U7(76)
该表的每一列都是 1,2,3,4,5的,6,重7 新排列.
7行、7水平 末行全是7。
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该表的特点是：
（1）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数n与水
平数q相同，因此试验次数少；
本例中有六种重金属可看作六个因素，每一因素取17个水 平，其水平值均依次为：（单位：ppm） 0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12， 14, 16，18，20
注意：水平必须按大小顺序排列
4．选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计
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3
2019/10/26 但仅均匀分散，不整齐可比，因此不能进行直观分4析。
前言
均匀设计(Uniform Design)是由中国数学家王元 和方开泰于1978年首次提出的,采用均匀设计表 来安排试验的方法，最初在我国导弹设计中应用 ，经过20多年的发展和推广，均匀设计已在我 国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、航 天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得了 显著的经济和社会效益。
1 p2
1
1 pk
（如n=9，由于9=32，所以列数为 9 1 1 6 列）。
3
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12
表的构造步骤
前提：给定试验次数n，如n=9；
1.确定第一行：由1…n之间与n互素（两者的最大公约数为1）的 整数构成。
故本例中第一行是：1，2，4，5，7，8 2.其余各行数据由第一行生成： 记第一行数据为h1，…，hr，
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6.1.2 均匀设计表Un(qm)
均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用华罗庚 提出的“数论”方法编制的。
1. 均匀设计表Un(qm) 均匀设计表用代号Un(qm)表示，U表示均匀设计 表，它有n行，m列，每列的水平数为q。
对照着正交设计表看均匀设计表
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均匀设计表
所布的点更 具代201表9/1性0/26
均匀设计表U76*((7666) )
U
* 6
(66
)
14
§6.2 均匀设计的使用表
§ 6.2.1 均匀设计表的使用
在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不同 的，用哪些列是有讲究的。
譬如用 U6*安(66排) 两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀性是 不同的，试验点在平面上的分布见图6.2.1。可见前者分布比 较均匀。
由于n=21×31，经计算6 1 1 1 1 2 ，所以列数只有2列。
2 3
因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划去这
一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去最后一行
的方法得到，为区别起见，记为
U
* 6
(66
)
*表示均匀设 计表有更好 的均匀性，
F 43.88
p 0.006
26
具有
模型
R2 0.978, s 0.02174,
tx3 6.41, tx32 5.64, tx1x3 4.88.
yˆ 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
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可见，均匀设计表只用部分
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使用。
把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U7及(74 ) 其使用表。
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均匀设计表 U7 (74 ) 及其使用表
使用表说明：当安排2个因 子时，第1、3列是最佳的选择， 若安排4个因子，第1、2、3、 4是最佳选择。
讨论:
因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献，可以 选x2为其中点，即x2 = 19 ml.
求出的x1* = 3.4 在边界上, 需扩大x1的试验上限。
故，在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些 试验是必要的。
在最后一步，一些优化算法是很有用的。 否则要用到求偏导数的办法得到x1和x3的最值。
说明：若实验次数n固定，当因素数目s增大 时，均匀设计表的偏差D也将随之增大，所以 在实际使用时，因素数目s一般等于试验次数 n的一半，即n=2s（或s=[n/2]）。
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均匀设计表U7(74)与
U
* 7
(7
4
)
的使用表
来自于U8(84)去掉一行
由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均匀， 因此在实际中我们首先使用加“*”的均匀设计表——但此 种表可安排的因子较少。
27
6.3.2 寻找最佳的因素水平组合
Yˆ(x1*, x3*) max Yˆ(x1, x3 )
因为：Yˆ(x1, x3) 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
这里求取max的区域为：1 x1 3.4, 0.5 x3 3.5
使用“向前”的变量选择法，我们发现适宜的模型：
yˆ 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
来源
回归 误差 总和
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方差分析（ANOVA） 表
df SS
MS
3 0.062190 0.020730
3 0.014170 0.000472
6 0.063608
对于各因子不等水平的均匀设计，可以直接采用混合水平 均匀设计表，或者采用拟水平法设计。
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说明：新均匀设计表
由于基于CD2偏差和WD2偏差的均匀设计表具有更好的均 匀性，方开泰教授在2000年左右研制了2580多张新的均匀 设计表。
请参见方开泰教授的“均匀设计网站”： .hk/UniformDesign/查询。
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又例： 为了研究环境污染对人体的危害， 考察六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、 Pb对老鼠寿命的影响，为此考察老鼠体内 某种细胞的死亡率，为了了解误差，每一 水平组合重复三次。
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一、试验设计
1．明确试验目的：了解六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、 Cr、Pb对老鼠寿命的影响。 2．明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。 3．确定因素与水平：因素都是定量的。水平可以是等间 隔的，也可以是不等间隔的。
（2）列数可按下面规则给出：
当n为素数时，列数最多等于n-1；
（如上面n=7，所以列数最多为n-1=6列）；
当n是合数时，设
n
p l1 1
p l2 2
p lk k
，其中
p1 ,
p2 ,,
pk 为素
数，l1, l2 ,, lk 为正整数，那么列数为
n1
1 p1
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yˆ 0.2142 0.0792x3
这个结果与人们的经验不符。
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然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1x1 2 x2 3x3 11x12 22 x22 33x32 12 x1x2 13x1x3 23x2 x3
3.均匀设计表任两列组成的试验方案一般并 不等价。
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6.2.3 使用均匀设计表
1.刻划均匀度用偏差D，越小，均匀度越好。 偏差D可对任一均匀设计表 U n或 中U任n* 意二列、任意三列、 …进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列，从 而形成使用表。
如下表就是均匀设计表 U7的(76使) 用表，s表示因子数。
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11 2 3 4 5 6
6.2.1
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均匀设计表任两列组成的试验方案一般不等价
15
均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
1.每个因素的每个水平做且仅做一次试验。
2.任两个因素的试验点点在平面的格子点上， 每行每列有且仅有一个试验点。
此二性质反映了均匀设计试验安排的“均衡”， 即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
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2.利用均匀设计表来安排试验的步骤：
（1）根据试验目的，选择合适的因素和相应的水平。 （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表
的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列 号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对 号，试验就安排好了。
详见下例：
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阿魏酸是生产用于治疗心脑血管疾病及白细胞减少等 症药品的基本原料。在阿魏酸的合成工艺考察中，为 了提高产量，选取了原料配比(A)、催化剂量(B)和反 应时间(C)三个因素，它们各取了7个水平,具体如下：
原料配比(A):1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4
催化剂量(B)(ml)：10，13，16，19，22，25，28
6.1.1 均匀设计概述
例6.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、 Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某种 细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因素，每一因素取17 个水平。试验如何设计？ 实验目标？试验指标？因素与水平？ 如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。 能否减少试验次数？均匀设计便是针对这种情况提出的一种设 计方法。
则表的第k行、j列的数字=MOD（n，hj*k）——excel取余数函数; 故本例中第1列的数据就是1，2，…，9；
第2列的数据就是2k/n的余数。
……
具体操作时有均匀设计软件帮助
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2.另一类均匀设计表
U
* n
(q
m
)
对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。
譬如n=6时，n=？
第六章 均匀设计
（Uniform Design）
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回顾正交设计
一个问题：正交设计的适用条件 是什么？ 最少试验次数=水平数2=q2
故正交设计要求：因素数目多、水平少。
遇到不适用的情况怎么办？ 均匀设计
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第六章 均匀设计
§6.1 均匀设计表 §6.2 均匀设计的使用表 §6.3 均匀设计的数据分析 §6.4 均匀混料设计（了解）
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§6.1 均匀设计概述及均匀设计表
6.1.1 均匀设计概述
均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归分析 进行数据分析的一种试验设计方法。
基本想法：使试验点在因素空间中具有较好的均匀 分散性。
均匀设计同正交设计一样，也是部分因素设计的重 要方法之一。
适用范围：试验因素多、因素取值范围大、因素水 平多（一般不少于5），而试验次数相对较少的情况。
23
§6.3 均匀设计数据分析
均匀设计的试验数据的处理通常采用回归分 析的方法，回归分析模型可采用线性回归模 型、二次回归模型或其它非线性回归模型， 可以通过逐步回归的方法筛选变量。
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6.3.1 用回归法拟合模型
对阿魏酸一例进行数据分析： 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁 超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。
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王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
2019/10/26
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
6
§6.1 均匀设计概述及均匀设计表
反应时间(C)(h)：0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5
分析：
7个水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们
可以选用7水平均匀设计表
完成该试验。
具体表的使用，应该根据偏差D来确定，应使U7 (74 ) ， 实验方案列于下表。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ22
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因为x1x3的回归系数是正的，而x1* = 3.4，从而有：
Yˆ(3.4, x3) 0.06232 0.3309x3 0.06x32
可通过求导数的办法求得，在x3* = 2.7575达到最大值 。 所以：在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值 为205191/1.08/256 % 。它比７个试验点的最好值48.2%还大。 28
均匀设计
因素的最大数
Un(qm)
试验次数、行数
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水平数
10
均匀设计表U7(76)
该表的每一列都是 1,2,3,4,5的,6,重7 新排列.
7行、7水平 末行全是7。
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该表的特点是：
（1）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数n与水
平数q相同，因此试验次数少；
本例中有六种重金属可看作六个因素，每一因素取17个水 平，其水平值均依次为：（单位：ppm） 0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12， 14, 16，18，20
注意：水平必须按大小顺序排列
4．选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计
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2019/10/26 但仅均匀分散，不整齐可比，因此不能进行直观分4析。
前言
均匀设计(Uniform Design)是由中国数学家王元 和方开泰于1978年首次提出的,采用均匀设计表 来安排试验的方法，最初在我国导弹设计中应用 ，经过20多年的发展和推广，均匀设计已在我 国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、航 天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得了 显著的经济和社会效益。
1 p2
1
1 pk
（如n=9，由于9=32，所以列数为 9 1 1 6 列）。
3
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表的构造步骤
前提：给定试验次数n，如n=9；
1.确定第一行：由1…n之间与n互素（两者的最大公约数为1）的 整数构成。
故本例中第一行是：1，2，4，5，7，8 2.其余各行数据由第一行生成： 记第一行数据为h1，…，hr，
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6.1.2 均匀设计表Un(qm)
均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用华罗庚 提出的“数论”方法编制的。
1. 均匀设计表Un(qm) 均匀设计表用代号Un(qm)表示，U表示均匀设计 表，它有n行，m列，每列的水平数为q。
对照着正交设计表看均匀设计表
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9
均匀设计表
所布的点更 具代201表9/1性0/26
均匀设计表U76*((7666) )
U
* 6
(66
)
14
§6.2 均匀设计的使用表
§ 6.2.1 均匀设计表的使用
在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不同 的，用哪些列是有讲究的。
譬如用 U6*安(66排) 两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀性是 不同的，试验点在平面上的分布见图6.2.1。可见前者分布比 较均匀。
由于n=21×31，经计算6 1 1 1 1 2 ，所以列数只有2列。
2 3
因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划去这
一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去最后一行
的方法得到，为区别起见，记为
U
* 6
(66
)
*表示均匀设 计表有更好 的均匀性，
F 43.88
p 0.006
26
具有
模型
R2 0.978, s 0.02174,
tx3 6.41, tx32 5.64, tx1x3 4.88.
yˆ 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
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可见，均匀设计表只用部分
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使用。
把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U7及(74 ) 其使用表。
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均匀设计表 U7 (74 ) 及其使用表
使用表说明：当安排2个因 子时，第1、3列是最佳的选择， 若安排4个因子，第1、2、3、 4是最佳选择。
讨论:
因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献，可以 选x2为其中点，即x2 = 19 ml.
求出的x1* = 3.4 在边界上, 需扩大x1的试验上限。
故，在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些 试验是必要的。
在最后一步，一些优化算法是很有用的。 否则要用到求偏导数的办法得到x1和x3的最值。
说明：若实验次数n固定，当因素数目s增大 时，均匀设计表的偏差D也将随之增大，所以 在实际使用时，因素数目s一般等于试验次数 n的一半，即n=2s（或s=[n/2]）。
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均匀设计表U7(74)与
U
* 7
(7
4
)
的使用表
来自于U8(84)去掉一行
由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均匀， 因此在实际中我们首先使用加“*”的均匀设计表——但此 种表可安排的因子较少。
27
6.3.2 寻找最佳的因素水平组合
Yˆ(x1*, x3*) max Yˆ(x1, x3 )
因为：Yˆ(x1, x3) 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
这里求取max的区域为：1 x1 3.4, 0.5 x3 3.5
使用“向前”的变量选择法，我们发现适宜的模型：
yˆ 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3
来源
回归 误差 总和
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方差分析（ANOVA） 表
df SS
MS
3 0.062190 0.020730
3 0.014170 0.000472
6 0.063608
对于各因子不等水平的均匀设计，可以直接采用混合水平 均匀设计表，或者采用拟水平法设计。
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说明：新均匀设计表
由于基于CD2偏差和WD2偏差的均匀设计表具有更好的均 匀性，方开泰教授在2000年左右研制了2580多张新的均匀 设计表。
请参见方开泰教授的“均匀设计网站”： .hk/UniformDesign/查询。
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又例： 为了研究环境污染对人体的危害， 考察六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、 Pb对老鼠寿命的影响，为此考察老鼠体内 某种细胞的死亡率，为了了解误差，每一 水平组合重复三次。
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一、试验设计
1．明确试验目的：了解六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、 Cr、Pb对老鼠寿命的影响。 2．明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。 3．确定因素与水平：因素都是定量的。水平可以是等间 隔的，也可以是不等间隔的。
（2）列数可按下面规则给出：
当n为素数时，列数最多等于n-1；
（如上面n=7，所以列数最多为n-1=6列）；
当n是合数时，设
n
p l1 1
p l2 2
p lk k
，其中
p1 ,
p2 ,,
pk 为素
数，l1, l2 ,, lk 为正整数，那么列数为
n1
1 p1
1