锦州市2010年高三质量检测(三)数学

辽宁省锦州市2010年高三教学质量检测（三）
数 学 试 题
注意事项：
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第II 卷第22、23、24题为选考题，其他题为必考题．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知R 为实数集，2{|20},{|()U M x x x N x y M
C N =-<==则=（ ）
A ．{|02}x x <<
B ．{|01}x x <<
C ．{|1}x x <
D ．φ
2．复数5
12i +的共轭复数为
（ ）
A ．51033i --
B ．51033
i -+
C ．12i -
D ．12i +
3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．其它推理 4．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
2π，直线3
x π
=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是 （ ）
A ．4sin(4)6
y x π
=+ B ．2sin(2)23
y x π
=++
C ．2sin(4)23y x π=+
+
D ．2sin(4)26
y x π
=+
+
5．若函数()(0,1)x
f x a a a -=>≠是定义域为R 的增函数，则函数()lo
g (1)a f x x =+的图
像大致是
（ ）
6．已知点(,)P x y 是直线kx+y+4=0(k>0)上一动 点，PA 、PB 是圆C ：22
20x y y +-=的
两条切线，A 、B 是切点，若四中这形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 （ ）
A ．3
B ．
2
C ．
D ．2
7．设数列{}n a 的前n 项和,21,n n S a n =-+且则数列{
}n
S n
的前11项之和为（ ） A ．—45 B ．—50 C ．—55 D ．—66
8．如图所示的程序框图，若输出的结果为S=90， 那么判断框中可以填入的关于的k 条件是（ ） A ．9k = B ．8k ≥ C ．8k < D ．8k >
9．设奇函数()(0,)f x +∞在上为增函数，且(1)0,f =则不等式()()
0f x f x x
--<的解集为
（ ）
A ．(1,0)(1,)-+∞
B ．(,1)
(0,1)-∞-
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．(1,0)(0,1)-
10．已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点F ，点A
是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A B 1+ C 1+ D ．1
2
+
11．（理科）某外商计划在四个侯选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目
不超过2个，则该外商不同的投资方案有 （ ） A ．16种 B ．36种 C ．42种 D ．60种 （文科）某学校在校学生2000人，为了迎接“2010年广州亚运会”，学校举行了“迎亚
会”跑步和爬山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级与比赛人数情
其中::2:5:3a b c =，全校参与爬山的人数占总人数的.4
为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与爬山的学生中应抽取
（ ）
A ．15人
B ．30人
C ．40人
D ．45人
12．已知()f x 在R 上的偶函数，且当1
2
0,()22,x
x f x x a ≥=-时有是函数
2
()ln(1)g x x x
=+-的零点，则(2),(),(1,5)f f a f -的大小关系是
（ ）
A ．(1.5)()(2)f f a f <<-
B ．(2)(1.5)()f f f a -<<
C ．()(1.5)(2)f a f f <<-
D ．(1.5)(2)()f f f a <-<
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题；本大题4个小题，每小题5分，共20分．
13．在等比数列1{},3,,{1}n n n a a n S a =+中前项和为若数列也是等比数列，则n S 等于 ． 14．已知函数3
4()1(),()()3
f x x ax a R f x f x '=
+-∈其中是的导函数，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a = ．
15．已知2(1,3),(1,3),3,||4,a b c a b b b c -=-=⋅==且则与的夹角为 ． 16．定义一种运算2,,5()(cos sin ),[0,],,
42a a b a b f x x x x b a b π
≤⎧⊗==+⊗∈⎨
>⎩令且，则函数
()2
f x π
-的最大值是 ．
三、解答题；本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，推理过程或计算步
骤． 17．（本小题满分12分）
如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点p 在单位圆上，
0(0),AOP OQ OA OP θπ∠=<<=+，四边形OAQP 的
面积为S ．
（I ）求0OA OQ S θθ⋅+的最大值及此时的值； （II ）设点B 的坐标为34
(,),55
AOB α-∠=，在（I ）的条件下，求0cos().αθ+
18．（本小题满分12分）
如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图 如图所示，M ，N 分别为AF ，BC 的中点． （I ）求证：MN//平面CDEF ；
（II ）求多面体A —CDEF 的体积； （III ）求证：CE ⊥AF
19．（本小题满分12分） （理科）某中学号召学生在2010年春节期间至少参加一次社会公益活动（下面简称为“活
动”）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II ）从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
19．（文科）先后抛掷一枚骰子两次，得到点数m ，n ，确定函数22
()f x x mx n =++，设函数()f x 有零点为事件A ． （I ）求事件A 的概率P （A ）；
（II ）设函数2
()12()4[5,5],g x x P A x =+--的定义域为记“当0[5,5]x ∈-时，则
0()0g x ≥”为事件B ，求事件B 的概率P （B ）．
20．（本小题满分12分）
设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0),F 直线2:l x a =交
x 轴于点A ，且122.AF AF =
（I ）试求椭圆的方程；
（II ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），
试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）
设函数2
2
()ln ,().f x ax x g x a x =+=
（I ）当1,()a y f x =-=时求函数图像上的点到直线30x y -+=距离的最小值；
（II ）是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取
值范围；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD//AP ，AD 、BC 相
交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC ．
（I）求证：∠P=∠EDF；
（II
）求证：CE·EB=EF·EP．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线
2cos
()
x
A
y
θ
θ
θ
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
是参数和定点，F1、F2是圆锥曲线的左、右
焦点．
（I）求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数()|2|
f x x x
=-+
（I）求函数()
f x的值域；
（II）()|1|,()()
g x x g x f x
=+<
求成立时的x的取值范围．
参考答案
一、选择题：（1）～（12）BDCDD DDDDB DC
二、填空题：
13．3n
F
D
A 14．2- 15．60 16．
54
三、解答题： 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，A ，P 的坐标分别为(1,0),(cos ,sin )θθ
(1cos ,sin )OQ θθ∴=+，1cos OA OQ θ=+
又sin S θ=
sin cos 1)1(0)4
OA OQ S π
θθθθπ∴+=++=++<<
故S OQ OA +⋅1，此时04π
θ=
-------------（8分）
（Ⅱ）34
cos ,sin 55
αα
=-= 0cos()θα∴+= --------------（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：由多面体AEDBFC 的三视图知， 三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰直 角三角形，2==AE DA ，⊥DA 平面ABEF , 侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形． 连结EB ，则M 是EB 的中点，
在△EBC 中，EC MN //，
且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF ． ------------（ （Ⅱ） 因为⊥DA 平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF , AD EF ⊥∴, 又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ， ∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面CDEF ⊥平面DAE 取DE 的中点,H ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH ,
且⊥AH 平面CDEF ．
所以多面体CDEF A -的体积
3
8
3131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF ． -----------（8分）
（Ⅲ）∵⊥DA 平面ABEF ，DA ∥BC ，
∴⊥BC 平面ABEF ， ∴AF BC ⊥， ∵面ABFE 是正方形， ∴AF EB ⊥， ∴BCE AF 面⊥， ∴AF CE ⊥． -------------------------（12分） 19．（本小题满分12分）
（理科）解：由题图知，参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10、50、40．
（Ⅰ）该合唱团学生参加活动的人均次数为
．--------（4分）
（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率
． --------------（8分）
（Ⅲ）ξ的取值为0、1、2，且
，
∴随机变量ξ的分布列为：
由此求得数学期望． --------------------（12分） （文科）解：（Ⅰ）由题意知基本事件空间中基本事件总数为36，事件A 所包含的基本
事件应满足条件：2
2
40m n -≥，即2m n ≥，它们分别是：
2,1;3,1;4,1,2;5,1,2;6,1,2,3m n m n m n m n m n ==========，
共包含9个基本事件，
所以91
()364
P A =
= -------------------------------（6分） (Ⅱ) 当[5,5]x ∈-时, ()0g x ≥，即2
340x x +-≥，其解集为［－5,－4］［1,5］
这是一个几何概型，基本事件空间的大小是区间［－5,5］的长度为10，事件B 包含的基本事件的大小是区间［－5,－4］和［1,5］的长度之和为5 所以，51
()102
P A =
= ----------------------（12分） 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，212||22,(,0),F F c A a ==∴ 212AF AF = 2F ∴为1AF 的中点
2,322==∴b a
即：椭圆方程为.12
32
2=+y x ------------------------------ (５分)
（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，3
4
2||2=
=a b DE ，
此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积||||
42
DE MN S ⋅=
=．
同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积||||
42
DE MN S ⋅==．
当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y
，
代入消去y 得：.0)63(6)32(2
2
2
2
=-+++k x k x k
设⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(22
2122212211k k x x k k x x y x E y x D 则
所以，2
31344)(||22
2122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，
所以，2
2212
32)
1(34||1||k k x x k DE
++=-+=，
同理2222
11
)1]3(1)
||.1323()2k k MN k k -++==+-+
所以四边形的面积2
22
2
32)11(
3432)
1(34212||||k k k
k MN DE S ++⋅++⋅=⋅=
13
)1(6)21
(2422
22++++
=
k k k k 令u u u S k k u 61344613)2(24,122+-=++=+=得 因为,212
2≥+
=k
k u
当2596
,2,1==±=S u k 时， 且S 是以u 为自变量的增函数，所以425
96
<≤S ．
综上可知，
96
425
S ≤≤． 故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为25
96
． ------------------（12分） 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由x
x x x f x x x x f -=+
-=>+-=111)(',0ln )(知 )(,0)(',),1(;)(,0)(',)1,0(x f x f x x f x f x <+∞∈>∈∴时为增时为减函数 1)1(max )(-==∴f x f
则令2
1
,1)('==x x f 得 ------------------------------（2分）
· P
E O
D C B A
F ∴所求距离的最小值即为))2
1
(,21(f P 到直线03=+-y x 的距离
)2ln 4(222
|
3)2ln 21
(21|+=+---=d -------------------------（5分） （Ⅱ）假设存在实数a 满足条件，令)0)(()()(>-=x x g x f x F
则0max )(≤x F ---------------------------------（7分）
由a x x a x a x F 1,021)('2
==-+=得
)(,0)(',1
x F x F a x ∴<>时当 为减函数
当)(,0)(',1
0x F x F a
x ∴><<时为增函数
a
a F x F 1
ln 1(max )(==∴
--------------------------------（10分） 1,01
ln ≥≤∴a a
a ∴的取值范围为[)+∞,1 --------------------------------（12分）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 证明：（Ⅰ）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角， ∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ．
∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ． --------------------------（5分）
（Ⅱ）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，
∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．
即EF·EP=DE·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ， ∴DE·EA=CE·EB ．∴CE·EB=EF·EP ． ----------------------------（10分） 23．（本小题满分10分）选修4—
4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）圆锥曲线2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩
化为普通方程
2
2
143
x y +=， -------------（2分） 所以F 1（-1，0），F 2（1，0
），则直线AF 2的斜率k =
于是经过点F 1垂直于直线
AF 2的直线l 的斜率'3
k =
，直线l 的倾斜角是30°，
所以直线l 的参数方程是1cos30sin30x t y t =-+︒
⎧⎨
=︒
⎩（t 为参数），
即112
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， -----------------------（ 6分） （Ⅱ）直线AF 2
的斜率k =120°，
设(,)P ρθ是直线AF 2上任一点，则1
sin 60sin(120)
ρθ=︒︒-，
sin(120)sin 60ρθ︒-=︒，
所以直线AF 2
的极坐标方程：sin cos ρθθ+= ----------------（10分）
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数()|2|f x x =-+x
（Ⅰ）求函数()f x 的值域；
()|1|g x x =+，求()()g x f x <成立时的x 的取值范围．
（Ⅰ）22,2
()2,2x x f x x -≥⎧=⎨<⎩
故()f x 的值域为[2,)+∞ ------------（2分） （Ⅱ） ()()g x f x < ∴|1||2|x x x +<-+
∴|2||1|0x x x --++> --------（4分） ①当1x ≤-时，(2)(1)0x x x --+++> 3x >-
31x ∴-<≤- ---------（6分） ②当12x -<<时，(2)(1)0x x x ---++> 1x <
11x ∴-<<
③当2x ≥时，(2)(1)0x x x --++> 3x > 3x ∴>
综上 (3,)(3,1)x ∈+∞⋃- --------------------------（10分）。