2020届高考数学一轮复习人教B版球坐标系与柱坐标系作业Word版含答案

2020届一轮复习人教B 版 球坐标系与柱坐标系 作业
1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( )
A ．球
B ．球面
C ．圆
D ．直线
解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．
2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝－2＋－32＝2，∵tan θ＝y
x
＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z ＝3，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4)
B ．(6,23，4)
C ．(－6，－23，4)
D ．(－6,23，－4)
解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3
＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．
4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6
B.⎝
⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝
⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 解析：选 A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝32＋12＋－2＝22，
由22cos φ＝－2得φ＝3π4
， 又tan θ＝1
3＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6
， ∴点M 的球坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6.故选A. 5．把下列各点的球坐标化为直角坐标：
(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，2π3，π2； (3)P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫9，3π4，2π3. 【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，
则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.
故点M 的直角坐标为(1，3，0)．
(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝52
3， z ＝5cos 2π3＝－52，
点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，523，－52. (3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，
y ＝9sin 3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－92 2.
∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－942，946，－922. 6．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：
(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，2π3，4； (3)S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8，5π4，－3. 【解】 (1)x ＝0，y ＝5，
故点Q 的直角坐标为
Q (0,5，－2)．
(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，
故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．
(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，
－42，－3)．
7．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．
【导学号：98990008】
【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.
C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)．
8．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间
中的什么曲面？
【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原
点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴．
5．在球坐标系中，求两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离． 【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：
P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324，
y ＝3sin π6·sin π4＝324，
z ＝3cos π6＝332，
∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫324，324，332. Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324，
y ＝3sin π6·sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－324，324，332. ∴|PQ |＝ [342－(－324)]2＋(324－324)2＋(332－332)2
＝322，即PQ 的距离为322.
9．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．
【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．
过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则
BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－(3)2＝6，
∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，
则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．
10．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．
【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203
m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距
地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．
[能力提升]
8．如图4-1-10建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．
图4-1-10
【解】 ∵O 是△BCD 的中心，
∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63.
∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)，
B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)．。