重庆市永川中学高中数学第17周练习三(直线与椭圆)

《直线与椭圆》
1，已知点F 为椭圆:C 2
212
x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．
试题分析：椭圆的左焦点为(1,0)F -，右焦点为(1,0)E ， 根据椭圆的定义，2PF a PE =-，
∴PF +22()PQ PQ a PE a PQ PE =+-=+-，
由三角形的性质，知PQ PE QE -≤，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0,1)-时，等号成立，故所求最大值为2223252a QE +=+=．
2，若斜率为2
2的直线l 与椭圆2222x y a b
+＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x
轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．
解析：由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－2b a 、2
b a ，所以由22
()()
b b
a a c c ---＝
2得2b 2＝2ac ＝2(a 2－c 2)，即2e 2
＋2e －2＝0， 解得e ＝
2
或e ＝－2(负根舍去)． 3，F 1，F 2是椭圆24
x ＋y 2
＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是
________．
解析：设P(x ，y)，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，12PF PF ⋅u u u r u u u u r
＝(－
3－x)(3－x)＋y 2
＝x 2
＋y 2
－3＝34x 2－2.∵0≤x 2
≤4，∴－2≤34
x 2－2≤1.∴12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是1.
4，设F 1、F 2分别是椭圆2222x y a b ＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝2
a c
上存在点P ，
使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设P 2,a y c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段F 1P 的中点Q 的坐标为2 22b y c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝22
cy
a c +，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝
222cy b c
-(b 2－2c 2
≠0)，由kF 1P ·kQF 2
＝－1得y 2
＝22222
)(2a c c b c
（＋－）≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2
＞0，即e 2
＞1
3
，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由2a c －
c ＝2c 得e ＝
33，综上得33
≤e ＜1. 5，已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5
5e =， 直线l 交椭
圆于M,N 两点．
（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长；
（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.
解析：（1）由已知4b =，且5c a =，2
20a ∴=.所以椭圆方程为
2212016x y +=. 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，1240
0,9x x ∴==. 212402
119
MN x x ∴=+-=
. （2）椭圆右焦点F 的坐标为()2,0，设线段MN 的中点为()00,Q x y ，由三角形重心的性
质知2BF FQ =u u u r u u u r
，又()0,4B ，()()002,422,x y ∴-=-，
故得003,2x y ==-.所以得Q 的坐标为()3,2-.
设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，
则12126,4x x y y +=+=-，且
2222
1122
1,120162016
x y x y +=+=，两式相减得()()()()121212120
20
16
x x x x y y y y +-+-+=.
121212124466
5545
y y x x k x x y y -+∴=
=-⋅=-⋅=-+-，故直线MN 的方程为65280x y --=.
6，如图所示，已知椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上， 离心率e ＝
1
2
，斜率为2的直线l 过点A(2,3)．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
解析：(1)设椭圆E 的方程为22
22x y a b +＝1(a ＞b ＞0)，由题意e ＝c a ＝12，2249a b
+＝1，
又∵c 2
＝a 2
－b 2
，解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23，∴椭圆E 的方程为
22
1612
x y +＝1． (2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，且PQ 的中点为R(x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，
∴k PQ ＝2121y y x x --＝－12，又∵22
1122
221,1612
1,1612
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
两式相减得：
2222
212101612
x x y y --+=． ∴
21
21x x y y ++＝－()()
21211612y y x x --＝－1612×(－12)＝23，即00x y ＝23，③
又∵R(x 0，y 0)在直线l 上，∴y 0＝2x 0－1，④由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，
所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾，故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．
7，设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别1F 、2F ，点P 是椭圆短轴的一个
端点，且焦距为6，12PF F ∆的周长为16． （1）求椭圆C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线l 被椭圆C 所截的线段的中点坐标．
解析：（1）设椭圆的半焦距为c ，则由题设得26
2216c a c =⎧
⎨
+=⎩，
解得53a c =⎧⎨=⎩
，所以22222
5316b a c =-=-=， 故所求C 的方程为2212516x y +=. （2）过点()3,0且斜率为
45的直线方程为()4
35
y x =-， 将之代入C 的方程，得
()2
2
3125
25
x x -+
=，即2380x x --=.
设直线l 与椭圆有两个交点()()1122,,,A x y B x y ， 因为123x x +=，所以线段AB 中点的横坐标为123
22
x x +=， 纵坐标为
4363525⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
. 故所求线段的中点坐标为36,25⎛⎫
- ⎪⎝
⎭.。