河北省武邑中学2019届高三数学下学期第一次质检试题理

河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次质量检测
数 学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合{0,1,2}A =，{1,}B m =，若A
B B =，则实数m 的值是（ ）
A ．0
B ．0或2
C ．2
D ．0或1或2
2．已知()12i 5i z +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402，978，191，925，273，842，812，479，569，683，231，357，394，027，506，588，730，113，537，779，则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ） A ．1
4
B ．25
C ．710
D ．15
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )
A B 1 C
D 1
5.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知双曲线
,四点
，
中恰有三
点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知00M x y ，（）
是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12F F 、是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )
A.(33
-
B.(66
-
C.(33
-
D.(,)33
-
8.已知函数()sin(2)(0)2
f x x π
ϕϕ=+<<的图象的一个对称中心为3(
,0)8
π
, 则函数()f x 的单调递减区间是( )
A.3[2,2]()88k k k Z ππππ-
+∈ B.5[2,2]()88k k k Z ππ
ππ++∈ C.3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ D .5[,]()88
k k k Z ππππ++∈
9.如图1，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为
a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1AD 、1B C 、
11C D 上，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所
示时，三棱锥Q BMN -的正视图面积为( ) A.
2
12
a B.
214
a
2 2 10.
已
知
三
棱
锥
P ABC -中，
,,3
PA ABC BAC π
⊥∠=
平面且2,A C A B P A
==3BC =，则该三棱锥的外接球的体积等于 ( )
A.
6
B. 2
C. 6
D. 2
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，
点M （－a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则
2
1
S S ＝ A ．4 B ．8 C ．
．
12．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'2()()2,(0)5f x f x f +>=，则不等式
2()41x f x e -->的解集为
A ．（1，+∞）
B ．(-∞,0)
C ．(,0)
(1,)-∞+∞ D ．
（0，＋∞） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知实数x ，y 满足条件，则的最大值为______
14．已知a 为常数，且⎰=
2
2xdx a ，则6
)(x
a x -的二项展开式中的常数项为__________． 15.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有__________种不同的分法（用数字作答）. 16.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满
足
，若
取得最大值时，点
恰好在以
为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为
_________
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列
的前项的和为，
(I)求数列
的通项公式；
(II)设
(III)设
，
表示不超过的最大整数 ，求
的前1000项的和
18.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测 某項质量指标，由检测结果得到如图的頻率分布直方图：
(I)写出頻率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的貭量指标的方差分别为
，试比较
的大小（只要求写出答案）；
(Ⅱ)若在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；
(Ⅲ)由頻率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布
.其中近似
为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求的数学期望. 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得： ②若，则，
.
19. 在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====.
(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；
(Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.
20. 已知平面直角坐标系内的动点P 到直线1:2l x =的距离与到点(10)F ，
（1）求动点P 所在曲线E 的方程；
（2）设点Q 为曲线E 与y 轴正半轴的交点，过坐标原点O 作直线l ，与曲线E 相交于异
于
点Q 的不同两点M N 、，点C 满足2OC OQ =，直线MQ 和NQ 分别与以C 为圆心，CQ 为半径
的圆相交于点A 和点B ，求△QAC 与△QBC 的面积之比λ的取值范围．
21．（12分）
已知函数x a a x x ax x f )(2
1ln )(22
+-+
=． （1）若1-=a ，证明：0)(>x f ；
（2）若)(x f 只有一个极值点，求a 的取值范围．
（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线1C 的参数方程为
x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴
为
极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14π
ρθ-=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线(
)2
OM π
θααπ=<<：与曲线1C 交于点M ，射线4
ON π
θα=-
：与曲线2C 交
于
点N ，求2
2
11OM
ON
+
的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数3
()22(0)f x x a x a a
=-++
<． （1）若()(0)g a f =，解不等式()5g a ≥；
（2）求证：()f x ≥
21.已知函数（其中
）
（1）求的单调减区间； （2）当时，
恒成立，求的取值范围；
（3）设
只有两个零点
（
），求的值.
选做题（下面两题任意选一个题目，多做只按第一题给分，每题10分） 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知M ， N 是曲线C 与
x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：
22||PM PN +为定值.
23.【选修4-5：不等式选讲】
设函数()33f x x a x =-+-，()13g x x =-+，其中0a >. （Ⅰ）求不等式()5g x x ≥-的解集；
（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12
()()f x g x =，求实数a 的取值范围.
理数答案1--5 BDDAA 6--10 CADBA 11--12 AD 13.3 14.240 15.240 16.
17. 解析：（1）
-----------4分
（2） ---6分
-----8分（3）
----10分
------12分
18.(1) ；
(Ⅱ)设事件：在甲种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，
事件：在乙种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，
则，，
；
（Ⅲ）计算得: ，由条件得从而
，
从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，依题意得，.
19.【解析】（(Ⅰ)取CD的中点为M，连结EM，BM.
由已知得，BCD
∆为等边三角形，BM CD
⊥.
∵2 AD AB
==
，BD=
∴30
ADB ABD
∠=∠=，
∴90
ADC
∠=，∴//
BM AD.
又∵BM⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM∥PD.
D
P
C
E
M A
又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD . ∵EM
BM M =，∴平面BEM ∥平面PAD .
∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.
∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.
以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -. 则D (0
，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1). 易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，， 则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴2200
n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，
∵()3DC =
，()
0DP =
，∴300x z ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩
.
令y =13x z =-=-，
，∴()
213n =--，
∴121212
cos 13n n n n n n
⋅=
==⋅，设二面角C PD B --的大小为θ，则
cos θ
=
………………………12分
20．解：
（1）设动点P 的坐标为()x y ，，由题意可得=
整理，得：2
2
22x y +=，即2
212
x y +=为所求曲线E 的方程 …4分
（2）（解法一）由已知得：(0,1)Q ，(0,2)C ，1CQ =，即圆C 方程为22
(2)1x y +-=
由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0 …5分 设直线MQ 的方程为11y k x =+，与22(2)1x y +-=联立得：2211(1)20k x k x +-=
所以，1
2
121A k x k =+
同理，设直线NQ 的方程为21y k x =+，与22(2)1x y +-=联立得：2
22
2(1)20k x k x +-= 所以2
2
221B k x k =+ …7分
因此2
122
211
(1)
21(1)2
A QAC A QBC
B B Q
C x S x k k S x k k QC x λ∆∆+====+ …8分
由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点N 关于坐标原点对称
设00(,)M x y ，00(,)N x y --，所以，2000122000111
y y y k k x x x -+-=⋅=
- 又00(,)M x y 在曲线E 上，所以220012x y +=，即121
2
k k =- …10分
故2
21212222111(1)4113
(4)(1)2221
k k k k k k k λ++===-+++，
由于210k >，所以，
1
22
λ<< …12分
（解法二）由已知得：(0,1)Q ，(0,2)C ，1CQ =，即圆C 方程为22
(2)1x y +-=
由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0
…5分
设直线MQ 的方程为11y k x =+，则点C 到MQ
的距离为1d
所以AQ = 于是，11
2QAC S AQ d ∆=
⋅=12
1
1k k +
设直线NQ 的方程为21y k x =+，同理可得： QBC S ∆=22
21k k + 所以2
12221(1)(1)
QAC QBC S k k S k k λ∆∆+=
=+
…8分
由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点N 关于坐标原点对称
设00(,)M x y ，00(,)N x y --，所以，2000122000111
y y y k k x x x -+-=⋅=- 又00(,)M x y 在曲线E 上，所以220012x y +=，即121
2
k k =- …10分
故2
21212222111(1)4113
(4)(1)2221
k k k k k k k λ++===-+++，
由于
210k >，所以，122
λ<<
…12分
21.（1）的定义域为｛x ｜x≠0｝，＝＜0，解得：x ＜1，
所以，的单调减区间为（－∞，0）和（0,1） (2)“当时，
恒成立”等价于“当时，
恒成立”，其中
.
构造函数
，则
.记
，则
.
（i ）若，则在上恒成立，在上单调递增， 因此当时，有，即，所以
在上单调递增，
因此当时，有，即，故
恒成立，符合题意. （ii ）若，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减， 因此当时，有，即，所以在
上单调递减， 因此
时，有
，即
.故
不对任意
恒成立，
不符合题意.综上所述，的取值范围是
.
(3)，所以，依题意知关于的方程
只有两个实数根
，即关于的方程
只有两个非零实根
，其中
.故
，或
或
.
（i ）若
，则
，不符合题意；
（ii ）若，比较对应项系数，得，解得.
不满足，故不符合题意；
（iii ）若
，同理可得
，符合题意，此时
.
综上所述，的值为.
22．（1）圆O 的参数 方程为2{ 2x cos y cos αα
==，
（ α为参数）， 由2cos21ρθ=得： ()2
2
2
cos sin 1ρ
θθ-=，即2
2
2
2
cos sin 1ρθρθ-=，
所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=
（2）由（1）知()1,0M -， ()1,0N ，可设()2cos ,2sin P αα，所以22||PM PN +=
()
()()()2
222
2cos 12sin 2cos 12sin αααα+++-+ 54cos 54cos 10αα=++-=
所以22||PM PN +为定值10.
23．解析：（I ）不等式()|5|g x x ≥-⇒|1|3| 5 |x x -+≥-⇒|1|| 5 |3x x ---≥-，则 1155153153153x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-≥--+-≥---+≥-⎩⎩⎩
或或 解得：352x ≤≤或5x >，即32
x ≥ 所以不等式()|5|g x x ≥-的解集为3|2x x ⎧
⎫≥
⎨⎬⎩⎭． （II ）设()f x 的值域为N ,()g x 的值域为M ．
对任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =等价于：N M ⊆
而()[3,)g x ∈+∞．
①当9a =时，()|3||3|=4|3|0f x x a x x =-+--≥不满足题意；
②当09a <<时，()|3||3||3|3a f x x a x =-+-≥－，由N M ⊆得|
3|33a ≥-，得0a ≤，不满足题意；
③当9a >时，()|3||3||3|3a f x x a x =-+-≥－，由N M ⊆得|
3|33
a ≥-，得18a ≥，满足题意；
综上所述，实数a 的取值范围是：[18,)+∞．。