最新高考数学2轮复习：第1部分 重点强化专题 专题6 突破点14 函数的图象和性质 Word版含答案

专题六函数与导数
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[（高|考）点拨]函数与导数专题是历年浙江（高|考）的 "常青树〞 ,在浙江新（高|考）中常以 "两小一大〞的形式呈现 ,其中两小题中的一小题难度偏低 ,另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现 ,命题角度多样 ,形式多变 ,能充分表达学以致用的考查目的 ,深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究 ,本专题将从 "函数的图象和性质〞 "函数与方程〞 "导数的应用〞三大方面着手分析 ,引领考生高效备考．
突破点14 函数的图象和性质
(对应学生用书第52页)
[核心知识提炼]
提炼1函数的奇偶性
(1)假设函数y＝f(x)为奇(偶)函数 ,那么f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))．
(2)奇函数y＝f(x)假设在x＝0处有意义 ,那么必有f(0)＝0.
(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是假设所给函数的解析
式较为复杂 ,应先化简；三是判断f(－x)＝－f(x) ,还是f(－x)＝f(x) ,有时需用其等价形式f(－x)±f(x)＝0来判断．
(4)奇函数的图象关于原点成中|心对称 ,偶函数的图象关于y轴对称．
(5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调
性相反.
提炼2 函数的周期性
(1)假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (x －a )(a ≠0) ,那么函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．
(2)假设奇函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0) ,那么函数y ＝f (x )是以4|a |为周期的周期性函数．
(3)假设偶函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0) ,那么函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．
(4)假设f (a ＋x )＝－f (x )⎝
⎛
⎭
⎪⎫
或f a ＋x ＝1f x (a ≠0) ,那么函数y ＝f (x )是以2|a |为周期
的周期性函数．
(5)假设y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ,x ＝b (a ≠b )对称 ,那么函数y ＝f (x )是以2|b －a |为周期的周期性函数. 提炼3 函数的图象
(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式 ,利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断 ,常用排除法．
(2)函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等) ,要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．
(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用 "以静观动〞 ,即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征 ,从而作出选择．
[（高|考）真题回访]
回访1 函数的性质
1．(2021·浙江（高|考）)假设函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最|大值是M ,最|小值是
m ,那么M －m ( )
A ．与a 有关 ,且与b 有关
B ．与a 有关 ,但与b 无关
C ．与a 无关 ,且与b 无关
D ．与a 无关 ,但与b 有关
B [法一：设x 1 ,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最|小值点与最|大值点 ,那么m ＝x 2
1＋ax 1＋
b ,M ＝x 22＋ax 2＋b .
∴M －m ＝x 2
2－x 2
1＋a (x 2－x 1) ,显然此值与a 有关 ,与b 无关．应选B.
法二：由题意可知 ,函数f (x )的二次项系数为固定值 ,那么二次函数图象的形状一定．随着
b 的变动 ,相当于图象上下移动 ,假设b 增大k 个单位 ,那么最|大值与最|小值分别变为M ＋k ,m ＋k ,而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ,故与b 无关．随着a 的变动 ,相当于图象左右移动 ,那
么M －m 的值在变化 ,故与a 有关．应选B.]
2．(2021·浙江（高|考）)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2
＋x C ．f (x 2
＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2
＋2x )＝|x ＋1|
D [取x ＝0 ,π
2 ,可得f (0)＝0,1 ,这与函数的定义矛盾 ,所以选项A 错误；
取x ＝0 ,π ,可得f (0)＝0 ,π2
＋π ,这与函数的定义矛盾 ,所以选项B 错误； 取x ＝1 ,－1 ,可得f (2)＝2,0 ,这与函数的定义矛盾 ,所以选项C 错误；
取f (x )＝x ＋1 ,那么对任意x ∈R 都有f (x 2
＋2x )＝x 2
＋2x ＋1＝|x ＋1| ,应选项D 正确． 综上可知 ,此题选D.]
3．(2021·浙江（高|考）)设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＋2x ＋2
x ≤0
－x 2
x ＞0.
假设f (f (a ))＝2 ,那么a ＝________.
2 [假设a ＞0 ,那么f (a )＝－a 2＜0 ,f (f (a ))＝a 4
－2a 2
＋2＝2 ,得a ＝ 2.
假设a ≤0 ,那么f (a )＝a 2
＋2a ＋2＝(a ＋1)2
＋1＞0 ,f (f (a ))＝－(a 2
＋2a ＋2)2
＝2 ,此方程无解．]
4．(2021·浙江（高|考）)函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2
x
－3
x ≥1
lg x 2
＋1
x <1
那么f (f (－3))＝________ ,f (x )
的最|小值是________．
0 22－3 [∵f (－3)＝lg[(－3)2
＋1]＝lg 10＝1 , ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时 ,x ＋2
x
－3≥2
x ·2x －3＝22－3 ,当且仅当x ＝2
x
,即x ＝2时等号成立 ,此时f (x )min ＝22－3<0；
当x <1时 ,lg(x 2
＋1)≥lg(02
＋1)＝0 ,此时f (x )min ＝0. ∴f (x )的最|小值为22－3.] 回访2 函数的图象
5．(2021·浙江（高|考）)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下图 ,那么函数y ＝f (x )的图象可能是( )
图14­1
D [观察导函数f ′(x )的图象可知 ,f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0 ,大于0 ,小于0 ,大于0 ,
∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知 ,排除A 、C.
如下图 ,f ′(x )有3个零点 ,从左到右依次设为x 1 ,x 2 ,x 3 ,且x 1 ,x 3是极小值点 ,x 2是极大值点 ,且x 2>0 ,应选项D 正确．应选D.]
6．(2021·浙江（高|考）)函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
D [函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数 ,排除选项 A ,B ；当x ＝π
时 ,f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0 ,排除选项C ,应选D.]
7．(2021·浙江（高|考）)在同一直角坐标系中 ,函数f(x)＝x a(x≥0) ,g(x)＝log a x的图象可能是( )
D[法一：分a>1,0<a<1两种情形讨论．
当a>1时 ,y＝x a与y＝log a x均为增函数 ,但y＝x a递增较快 ,排除C；
当0<a<1时 ,y＝x a为增函数 ,y＝log a x为减函数 ,排除A ,由于y＝x a递增较慢 ,所以选D.
法二：幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点 ,排除A；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1 ,而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势 ,故B错 ,D对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1 ,而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势 ,故C错．]
(对应学生用书第54页)
热点题型1 函数图象的判断与应用
题型分析：函数的图象是近几年（高|考）的热点内容 ,主要有函数图象的判断和函数图象的应用两种题型.
【例1】(1)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
(2)函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x) ,假设函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为
(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,… ,(x m ,y m ) ,那么∑i ＝1
m
x i ＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2
－e |x |
,x ∈[－2,2]是偶函数 , 又f (2)＝8－e 2
∈(0,1) ,故排除A ,B. 设g (x )＝2x 2
－e x ,那么g ′(x )＝4x －e x
. 又g ′(0)＜0 ,g ′(2)＞0 ,
∴g (x )在(0,2)内至|少存在一个极值点 ,
∴f (x )＝2x 2
－e |x |在(0,2)内至|少存在一个极值点 ,排除C.应选D. (2)∵f (x )＝f (2－x ) ,
∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2
－2x －3|＝|(x －1)2
－4|的图象关于直线x ＝1对称 ,∴两函数图象的交点关于直线
x ＝1对称．
当m 为偶数时 ,∑i ＝1
m
x i ＝2×m
2＝m ；
当m 为奇数时 ,∑i ＝1
m
x i ＝2×
m －1
2
＋1＝m .
应选B.] [方法指津]
函数图象的判断方法
1．根据函数的定义域判断图象的左右位置 ,根据函数的值域判断图象的上下位置． 2．根据函数的单调性 ,判断图象的变化趋势． 3．根据函数的奇偶性 ,判断图象的对称性． 4．根据函数的周期性 ,判断图象的循环往复． 5．取特殊值代入 ,进行检验．
[变式训练1] (1)函数f (x )＝|x |＋a
x
(其中a ∈R )的图象不可能是( )
图14­2
(2)如图14­1 ,函数f (x )的图象为折线ACB ,那么不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是
( )
A ．{x |－1＜x ≤0}
B ．{x |－1≤x ≤1}
C ．{x |－1＜x ≤1}
D ．{x |－1＜x ≤2}
(1)C (2)C [(1)当a ＝0时 ,f (x )＝|x | ,故A 可能；由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋a x
x >0
－x ＋a
x x <0
那么当x >0时 ,f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2 ,当x <0时 ,f ′(x )＝－1－a x 2＝－x 2－a
x 2
,假设a >0 ,
易知当x >0,0<x <a 时 ,f (x )为减函数 ,x >a 时 ,f (x )为增函数 ,x <0时 ,f (x )为减函数 ,故B 可能；假设a <0 ,易知x <0 ,－－a <x <0时 ,f (x )为增函数 ,x <－－a 时 ,f (x )为减函数 ,x >0时 ,f (x )为增函数 ,故D 可能 ,应选C. (2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1) ,作出函数g (x )图象如图．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2
y ＝log 2x ＋1 得⎩⎨
⎧
x ＝1
y ＝1.
∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]
热点题型2 函数性质的综合应用
题型分析：函数性质的综合应用是（高|考）的热点内容 ,解决此类问题时 ,性质的判断是关键 ,应用是难点.
【例2】 (1)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2 ,那么使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围
是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13 1
B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
－∞ 13∪(1 ,＋∞)
C.
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－13 13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13 ＋∞ (2)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R ) ,满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t ) ,且x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
0 12时 ,f (x )＝
－x 2
,那么f (3)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32的值等于________. 【导学号：68334135】
(1)A (2)－14 [(1)法一：∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－
1
1＋－x 2
＝f (x ) ,
∴函数f (x )为偶函数．
∵当x ≥0时 ,f (x )＝ln(1＋x )－1
1＋x
2 ,
在(0 ,＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增 ,y ＝－1
1＋x 2也递增 ,
根据单调性的性质知 ,f (x )在(0 ,＋∞)上单调递增．
综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2
>(2x －1)2
⇔3x 2
－4x ＋1<0
⇔1
3
<x <1.应选A. 法二：令x ＝0 ,此时f (x )＝f (0)＝－1<0 ,f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－1
2＝ln 2－ln e>0 ,
∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1) ,故C 错误．
令x ＝2 ,此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15 ,f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－1
10.∵f (2)－f (3)＝ln 3－ln
4－1
10
,
其中ln 3<ln 4 ,∴ln 3－ln 4－1
10<0 ,∴f (2)－f (3)<0 ,
即f (2)<f (3) ,∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1) , 故B ,D 错误．应选A.
(2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t ) ,即f (t ＋1)＝－f (t ) ,进而得到
f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t ) ,得函数y ＝f (x )的一个周期为2 ,故f (3)＝f (1)
＝f (0＋1)＝－f (0)＝0 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14. [方法指津]
函数性质的综合应用类型
1．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称性 ,以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系．
2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题 ,常利用奇偶性及周期性进行变换 ,将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．
3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 ,然后利用奇偶性和单调性求解．
[变式训练2] (1)(2021·浙江五校联考)函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且在[0 ,＋∞)上是
增函数 ,那么不等式
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2
＜f (1)的解集为( )
【导学号：68334136】
A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
0 1e
B ．(0 ,e)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1e e
D ．(e ,＋∞)
(2)函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数 ,∀x ∈R ,f (x －1)＝f (x ＋1)成立 ,当x ∈(0,1)且
x 1≠x 2时 ,有f x 2－f x 1
x 2－x 1
＜0.给出以下命题：
①f (1)＝0；
②f (x )在[－2,2]上有5个零点；
③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中|心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 那么正确命题的序号是________．
(1)C (2)①②③ [(1)∵f (x )为R 上的奇函数 ,那么f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x ) ,
∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪
f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2
＝
|f ln x ＋f ln x |
2
＝|f (ln x )| ,即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1) ,
∴－f (1)＜f (ln x )＜f (1) ,即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由可得f (x )在R 上单调递增 ,∴－1＜ln x ＜1 , 解得1
e
＜x ＜e ,应选C.
(2)令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0 , 得f (－1)＝f (1)． ∵f (－1)＝－f (1) , ∴2f (1)＝0 ,
∴f (1)＝0 ,故①正确；
由f (x －1)＝f (x ＋1)得f (x )＝f (x ＋2) , ∴f (x )是周期为2的周期函数 , ∴f (2)＝f (0)＝0 ,
又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时 ,有
f x 2－f x 1
x 2－x 1
＜0 ,
∴函数在区间(0,1)上单调递减 ,可作函数的简图如图：
由图知②③正确 ,④不正确 ,∴正确命题的序号为①②③.]。