高考数学一轮总复习第六章数列第二节等差数列课件

解得 d=3,故选 D.
1 + 4 = 131 ,
(2)设等差数列{an}的公差为 d,则
5(1 +5 )
S5= 2 =5a3=20,解得 a3=4;又 a5-a3=2d,
可得 d=3;所以 an=a3+(n-3)d=3n-5.
答案 (1)13 (2)3-n
解析 (1)设数列{an}的公差为d,则S3=3a2=9,a2=3,所以
4.在等差数列{an}中,若d>0,则数列{an}为递增数列;若d<0,则数列{an}为递
减数列;若d=0,则数列{an}为常数列.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若{an}为等差数列,则{|an|}一定不是等差数列.( × )
(2)在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.( × )
(1)证明 因为anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an,
所以an(Sn+1+2)=an+1(Sn+2).又数列{an}各项均为正数,即anan+1>0,所以
+1 +2
+2
−
=0,
+1

所以数列
+2

是等差数列.
(2)解 由(1)知数列
+2

是首项为 2,公差为 0
都等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差
数列的 公差 ,公差通常用字母 d 表示,定义的表达式为an-an-1=d
(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(n∈N*).
(2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且
有
2A=a+b
.
微点拨1.等差数列中,从第2项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中
项,即an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
2.等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d (n∈N*).
(1 + )
(-1)
na1+ 2 d .
(2)等差数列前n项和公式:Sn=
∵a2=3a1,∴a1+d=3a1,∴d=2a1,
(-1)
∴Sn=na1+
d=na1+n(n-1)a1=n2a1,
2
=
1
,dห้องสมุดไป่ตู้=√1 ,即
2
d1=2a1,
∴当 n≥2 时, − -1 =n√1 -(n-1)√1 = √1 .
∴{ }是首项为√1 ,公差为√1 的等差数列.
⇔{an}是等差数列
前n项和
Sn
公式法
⇔{an}是等差数列
=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立
选择、填
空题中的
判定问题
对点训练2已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①
②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{
}是等差数列;③a2=3a1.
若选②③⇒①
设数列{ }的公差为 d,则 2 − 1 =d,
即√1 + 2 − √1 =d.
∵a2=3a1,
∴ 41 − √1 =d,即 d=√1 ,
∴ =
1 +(n-1)d=√1 +(n-1)√1 =n√1 ,即 Sn=n2a1,当 n≥2 时,
an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当 n=1 时,an=(2n-1)a1 也成立,
=
2
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}
中,an=kn+b(k,b∈R),当k=0即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数;同
理Sn不一定是关于n的二次函数,当数列为常数列时,Sn=bn,不是二次函数.
64
1
λ> ,所以实数
64
λ 的取值范围是
1
, +∞
64
.
方法总结等差数列的判断与证明的方法
方法
定义法
等差中项法
通项公式法
解读
适合题型
an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数
列
解答题中
2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数 证明问题
列
an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立
a3+a4=3+d+3+2d=12,解得d=2,所以a7=a2+5d=3+5×2=13.
(2)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
5×4
,
2
3 = 5 ,
1 + 2 = 51 +
由
得
1 4 = 5
1 (1 + 3) = 1 + 4,
1 = 2,
解得
∴an=2-(n-1)=3-n.
∴an=(2n-1)a1,n∈N*.
又an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,
∴数列{an}是等差数列.
考点三
等差数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1.等差数列的性质
典例突破
例3.(1)各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a8= 52 ,则
S9=(
)
A.8
答案 C
解析由等差数列{an}知,a2+a2 023=a1+a2 024=6,
所以S2 024= 2 024(1 + 2 024 ) =1 012×6=6 072.
2
)
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=
答案 2
解析设等差数列的公差为d.
由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.
= -1,
考点二
等差数列的判断与证明
典例突破
例2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且对任意
n∈N*,anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an恒成立.
+ 2
(1)求证:数列{ }是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若不等式λan>n-5对任意的正整数n恒成立,求实数λ的取值范围.
ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.

(4)若数列{an}是等差数列,Sn 是{an}的前 n 项和,则{ }也是等差数列,其首项

1
与数列{an}的首项相同,公差是数列{an}的公差的 .
.
增素能 精准突破
考点一
等差数列基本量的运算
典例突破
例1.(2023全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,
则S5=(
A.25
)
B.22
C.20
D.15
(2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则以下
结论正确的是(
+2
的等差数列,于是
=2,即

Sn=2an-2.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,从而得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,
因此数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
故数列{an}的通项公式为an=2n.
(3)解 不等式 λ·
2 >n-5 对任意的正整数 n 恒成立,即

2-1
常用结论
1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则“数列{an}为等差数列”的充要条件是
“Sn=an2+bn(a,b∈R)”.
3.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最
小值.
3.等差数列的常用性质
(1)等差数列的通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,m∈N*).
(2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q,则 am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N*).
特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,t∈N*).
(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则
2 -
-5,故 C 错误;对于 D 选项,Sn=na1+
=-3n+
2
2
时 Sn>0,故 D 正确.故选 AD.
=
2 -7
2
=
(-7)
,因此当 n>7
2
方法总结解决等差数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通
项公式或前n项和公式列方程
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解若选①②⇒③
设数列{an}的公差为d1,数列{ }的公差为d2.
∵当n∈N*时,an>0,
∴d1>0,d2>0.
(-1) 1
∴Sn=na1+
2
=
1 2
n+
2
1
1 2
n.
又 =
1 +(n-1)d2=√1 +(n-1)d2,
n
恒成立.设
-5
bn= 2 ,显然当
-4
-5
时,bn+1-bn= +1 −
2
2
的最大项是
=
-5
λ> 2 对任意的正整数
n
n≤5 时 bn≤0,当 n>5 时 bn>0,则当 n≥5
6-
+1 ,于是得 b5<b6=b7,且当 n≥7 时,bn+1<bn,即数列{bn}
2
1
b6=b7= ,则有
∴Sn=a1+22 (n-1)2+2√1 d2(n-1)=22 n2+(2√1 d2-222 )n+22 -2√1 d2+a1,
1
∴2
=
1
2
2 ,a1- 2 =2√1 d2-222 , 22 -2√1 d2+a1=0,∴22
∴a2=a1+d1=3a1.
若选①③⇒②
设等差数列{an}的公差为d.
)
A.a3=-1
B.Sn的最大值为-6
C.S3=S5
D.当n>7时Sn>0
答案
(1)C (2)AD
解析(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知得
21 + 6 = 10,
1 = 2,
5×4
解得
S5=5a1+ 2 d=20.
(1 + 3)(1 + 7) = 45,
= 1,
第六章
第二节 等差数列
1.理解等差数列的概念.
课标
解读
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有
关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
强基础 增分策略
知识梳理
1.等差数列的概念
(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差
足a5=13a1,则等差数列{an}的公差为(
)
A.-3
D.3
B.-1
C.1
(2)(2023河南郑州二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a5=10,S5=20,
则数列{an}的通项公式为an=
答案 (1)D
(2)3n-5
.
1
51 + ×
2
5 × 4 = 35,
解析(1)由 S5=35,a5=13a1,得
(2)由a1+3a5=S7,得a1+3(a1+4)=7a1+21,解得a1=-3.对于A选项,a3=a1+2d=
-3+2=-1,故A正确;对于B选项,由于公差d=1>0,所以数列{an}是递增数列,
因此Sn无最大值,故B错误;对于C选项,S3=3a1+3d=-9+3=-6,S5=5a1+10d=
(-1)
(3)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.( √ )
(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大值.( √ )
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a2 023=6,则S2 024=(
A.3 033
B.4 044
C.6 072
D.8 088
(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两
者间的联系,整体代换即可求解.
(3)等价转化思想:运用等差数列性质可以化繁为简,优化解题过程.
对点训练1(1)(2023山东济宁一模)已知等差数列{an}的前5项和S5=35,且满
2

(5)若等差数列{an}的项数为偶数 2n,则 S 偶-S 奇=nd,

奇
偶

=
.
+1


(6)若等差数列{an}的项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an,
=
.

-1
偶
奇
2-1

(7)若数列{an},{bn}均为等差数列且其前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 = .
B.9
C.16 D.18
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),
Sm=2 020,则m的值为(
A.100
B.101
)
C.200
D.202
答案 (1)D
解析
(2)B
(1)由数列{an}是等差数列得 a2+a8=2a5.又 a2+a8=52 ,所以 2a5=52 ,解得