人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《分段函数及映射》教学课件PPT
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21
回顾本节课你有什么收获 解析式
图象
分段函数的概念
映射的 概念
核心概念
分段函数 的函数值
22
昨天是已经走过的，明天是即将走过 的，惟有今天正在走过……
23
15
1.（2012·西安高一检测）设A=[0,2], B=[1,2], 在下
列各图中，能表示f:A→B的函数是（
y
y
D
）.
2
2
（A） 1 0y 1 2 2
（C） 1
0 12
（B）1 x
0 y1 2 2
（D）1
x 0 12
x
x
16
2.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
看清自变量的 值所在的区间
x
3
探究点1 分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取 值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集.
4
变式练习：
以下叙述正确的有（ C ）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是
各段值域的并集.
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，
但它是一个函数.
(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的
值域，则D1∩D2 ≠φ也能成立.
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）0个
5
1.求分段函数的函数值： x+2, (x≤－1)；
1
如右图:
O 5 10 15 20 x
9
1.已知
f
(x)
x
f
3 [ f (x
4)]
(x 9) (x 9)
求 f 15,f 7 的值.
解： f 15 12,f 7 6
10
2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30
25 是时间t的函数,它的图象如右图，20
用解析式表示出这个函数.
15
10
v/cm·s-1
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；是 (2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝ {(x，y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应；是 (3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应 关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；是 (4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新 华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的 学生. 不是
例1 已知函数f(x)= x2, (－1＜x＜2)；
2x, (x≥2).
(1)求 f 3,f（1）,f 5 的值;
2 (2)若f(x)=3,求x的值.
解：（1）f 3 6,f（1） 1 ,f 5 3
24
（2）x 3
6
2.画分段函数的图象
例2 画出函数 y x 的图象.
y
x x
x 0, x 0.
8
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x
的取值范围是（0，20]
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下
函数解析式：
y
2, 0<x ≤ 5
5
○
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
4
○
3○
2○ 根据这个函数解析式，
可画出函数图象，
第2课时 分段函数及映射
1
1.通过实例体会分段函数的概念； 了解分段函数在解决实际问题中的应用；(重点）
2.了解映射的概念及表示方法；（难点） 3.会判断一个对应关系是否是映射.
2
x2 4x 4, x 2
画出函数
y
x 1, 2
的图象.
x 2
y
y x2 4x 4
O2
y x 1 2
3
所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨)，
缴水费4×1.8+3.5×3=17.7 (元)，
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).
20
你能说出函数与映射之间的异同吗?
(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数 的推广；
(2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射， A和B不一定是数集。
4,
【解析】(1)依题意得y= 20.4x-4.8, 4＜5x≤ , 4
5
3
24x-9.6,x＞ 4.
3
19
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈(0, 4)时，y≤f( )＜426.4；
当x∈( 4, 5)时4 ，y≤f( )＜5246.4；
53
3
当x∈( 4,+∞)时，令24x-9.6=26.4，得x=1.5.
y
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同.
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
7
3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
18
4.(2011·泰安模拟)某市居民自来水收费标准如下：
每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4
吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴
水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨).
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、
乙两户该月的用水量和水费. 14.4x,0≤x≤
112233
韩
首
－
国
尔
－
x
X的首都
一对一
x
x2
多对一
x 2x
一对一
(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集
合B中都有唯一的元素和它对应. 12
映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
c
g
d
是
17
3.判断下列对应是不是从A到B的映射： (1)A＝N，B＝N*，f：x→|x－2|； (2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝ 1 x;
2 (3)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，
f：x→a＝ x2 2x 4 ； 解：（1）集合A中的元素2在对应关系下，B中没有元素 与之对应，故不是映射. （2）A中元素6在对应关系下，B中没有元素与之对应， 故不是映射. （3）是映射.
解:v(t)=
t+10, (0 ≤ t<5) 3t,(5 ≤ t＜10) 30,(10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
O 5 10
20 30 t/s
11
探究点2 映射
填写下图中的对应关系
（1)相应国家的首都
A
B
中
北
国
京
(2)求平方
A
B
－
(3)乘以2
A
B
123456 12 3
14 9
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应. ②A在B中所对应的元素是唯一的.
13
因此还可以用映射的概念来定义函数： 如果A、B是非空数集，那么A到B的映射f:A→B,
就叫做A到B的函数， 记作：y=f(x) 函数是一种特殊的映射
函数
映射 对应
14
例4 以给出的对应是不是从集合A到B的映射？
回顾本节课你有什么收获 解析式
图象
分段函数的概念
映射的 概念
核心概念
分段函数 的函数值
22
昨天是已经走过的，明天是即将走过 的，惟有今天正在走过……
23
15
1.（2012·西安高一检测）设A=[0,2], B=[1,2], 在下
列各图中，能表示f:A→B的函数是（
y
y
D
）.
2
2
（A） 1 0y 1 2 2
（C） 1
0 12
（B）1 x
0 y1 2 2
（D）1
x 0 12
x
x
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2.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
看清自变量的 值所在的区间
x
3
探究点1 分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取 值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集.
4
变式练习：
以下叙述正确的有（ C ）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是
各段值域的并集.
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，
但它是一个函数.
(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的
值域，则D1∩D2 ≠φ也能成立.
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）0个
5
1.求分段函数的函数值： x+2, (x≤－1)；
1
如右图:
O 5 10 15 20 x
9
1.已知
f
(x)
x
f
3 [ f (x
4)]
(x 9) (x 9)
求 f 15,f 7 的值.
解： f 15 12,f 7 6
10
2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30
25 是时间t的函数,它的图象如右图，20
用解析式表示出这个函数.
15
10
v/cm·s-1
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；是 (2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝ {(x，y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应；是 (3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应 关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；是 (4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新 华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的 学生. 不是
例1 已知函数f(x)= x2, (－1＜x＜2)；
2x, (x≥2).
(1)求 f 3,f（1）,f 5 的值;
2 (2)若f(x)=3,求x的值.
解：（1）f 3 6,f（1） 1 ,f 5 3
24
（2）x 3
6
2.画分段函数的图象
例2 画出函数 y x 的图象.
y
x x
x 0, x 0.
8
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x
的取值范围是（0，20]
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下
函数解析式：
y
2, 0<x ≤ 5
5
○
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
4
○
3○
2○ 根据这个函数解析式，
可画出函数图象，
第2课时 分段函数及映射
1
1.通过实例体会分段函数的概念； 了解分段函数在解决实际问题中的应用；(重点）
2.了解映射的概念及表示方法；（难点） 3.会判断一个对应关系是否是映射.
2
x2 4x 4, x 2
画出函数
y
x 1, 2
的图象.
x 2
y
y x2 4x 4
O2
y x 1 2
3
所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨)，
缴水费4×1.8+3.5×3=17.7 (元)，
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).
20
你能说出函数与映射之间的异同吗?
(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数 的推广；
(2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射， A和B不一定是数集。
4,
【解析】(1)依题意得y= 20.4x-4.8, 4＜5x≤ , 4
5
3
24x-9.6,x＞ 4.
3
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(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈(0, 4)时，y≤f( )＜426.4；
当x∈( 4, 5)时4 ，y≤f( )＜5246.4；
53
3
当x∈( 4,+∞)时，令24x-9.6=26.4，得x=1.5.
y
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同.
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
7
3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
18
4.(2011·泰安模拟)某市居民自来水收费标准如下：
每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4
吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴
水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨).
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、
乙两户该月的用水量和水费. 14.4x,0≤x≤
112233
韩
首
－
国
尔
－
x
X的首都
一对一
x
x2
多对一
x 2x
一对一
(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集
合B中都有唯一的元素和它对应. 12
映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
c
g
d
是
17
3.判断下列对应是不是从A到B的映射： (1)A＝N，B＝N*，f：x→|x－2|； (2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝ 1 x;
2 (3)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，
f：x→a＝ x2 2x 4 ； 解：（1）集合A中的元素2在对应关系下，B中没有元素 与之对应，故不是映射. （2）A中元素6在对应关系下，B中没有元素与之对应， 故不是映射. （3）是映射.
解:v(t)=
t+10, (0 ≤ t<5) 3t,(5 ≤ t＜10) 30,(10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
O 5 10
20 30 t/s
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探究点2 映射
填写下图中的对应关系
（1)相应国家的首都
A
B
中
北
国
京
(2)求平方
A
B
－
(3)乘以2
A
B
123456 12 3
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注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应. ②A在B中所对应的元素是唯一的.
13
因此还可以用映射的概念来定义函数： 如果A、B是非空数集，那么A到B的映射f:A→B,
就叫做A到B的函数， 记作：y=f(x) 函数是一种特殊的映射
函数
映射 对应
14
例4 以给出的对应是不是从集合A到B的映射？