复变函数论4

• 定义 规定 定义2.7
e z − e−z e z + e−z sh z = chz = , 2 2 shz 1 th z = , cth z = shz thz 1 1 sec h z = , csc h z = chz shz
的双曲正弦、 双曲余弦、 并分别称为 z 的双曲正弦 、 双曲余弦 、 双曲正切、 双曲余切、 双曲正切 、 双曲余切 、 双曲正割及双曲余 割函数。 割函数。
第三节 初等多值函数
1 根式函数 • 定义 定义2.9 规定根式函数 w = n z 为幂函数 n 的反函数 z = w
可解得
arg z + 2 k π n
w= =
n
n
z =
i n
n
ze
i
θ + 2 kπ
re
( k = 0 ,1, L , n − 1)
• 割破负实轴可分出 n 个单值解析分支
wk = ( n z ) k = = n re (z ∈ G)
辅导课程四
第二章
解析函数
• 第二节 • 第三节
初等解析函数 初等多值函数
第二节
初等解析函数
z = x + iy
１指数函数 • 定义 定义2.4 对于任何复数 规定复指数函数为
e =e
z
x + iy
= e (cos y + i sin y )
x
有下列性质： 复指数函数 e z 有下列性质： （1） 它是实指数函数的自然推广 ） （2） ）
不存在。 不存在。
２ 三角函数与双曲函数
由方程
e iy = cos y + i sin y −iy e = cos y − i sin y
可得
e iy − e −iy sin y = , 2i e iy + e −iy cos y = 2
• 因此我们可定义复三角函数为 • 定义2.5 称 定义
定义2.6 称 定义
sin z tan z = , cos z 1 sec z = , cos z cos z cot z = sin z 1 csc z = sin z
分别为 z 函数。 函数。
的正切、余切、 的正切、余切、正割与余割
• 这四个函数在其分母不为零的点处解析且
1 2 (tan z )′ = = sec z , 2 cos z 2 (cot z )′ = − csc z (sec z )′ = sec z tan z , (csc z )′0, arg e = e
z x z
x
（３）在平面上处处解析，且 在平面上处处解析，
(e ) ′ = e
z
z
加法定理成立， （４） 加法定理成立，即。 （５） e 函数。 函数。 （６）
z
是以 2π i 为基本周期的周期
e
z1 + z 2
=e e
z1
z2
极限
lim e
z →∞
z
e −e sin z = 2i
iz − iz
,
e +e cos z = 2
iz
− iz
分别为复数
z
的正弦函数和余弦函数。 的正弦函数和余弦函数。
• 复正弦函数和余弦函数有以下性质： 复正弦函数和余弦函数有以下性质： （1） 它们是实函数情形的推广 ） （2） 均处处解析，且 ） 均处处解析， (sin z )′ = cos z , (cos z ) ′ = − sin z • 事实上 e iz − e − iz e iz + e − iz (sin z )′ = ( )′ = = cos z 2i 2
的对数， 则复数 ω 称为 z 的对数，记为
ω = Ln z
• 表达式 iθ z = re , ω = u + iv 则 令 u + iv iθ e = re 因而 u = ln r , v = θ + 2kπ
( k = 0,±1, L) 得对数函数 Ln z = ln r + i (θ + 2kπ ) ( k = 0,±1, L)
是奇函数， 是偶函数； （3） sin z 是奇函数， cos z 是偶函数； ） 且遵从通常的三角恒等式， 且遵从通常的三角恒等式，如
sin 2 z + cos 2 z = 1 sin( z1 + z 2 ) = sin z1 cos z 2 + cos z1 sin z 2 cos( z1 + z 2 ) = cos z1 cos z 2 − sin z1 sin z 2
其导数为
i
n
ze
i
arg z + 2 k π n
θ + 2 kπ
n
( k = 0 ,1, L , n − 1)
d n 1 ( z )k ( z )k = dz n z
n
(z ∈ G)
y G
x O
2 对数函数 • 定义２．１０ 定义２ 规定对数函数是指数 函数的反函数． 函数的反函数．即若 ω
e =z
（4） sin z , ）
cos z 均以 2π 为周期
（5） sin z 的零点为 ）
z = nπ , ( n = 0, ± 1, ± 2, L)
(n = 0, ± 1, ± 2, L)
cos z 的零点为
1 z = (n + )π 2
（6） ）
sin z ,
cos z 不再是有界函数。 不再是有界函数。