2019-2020学年数学选修2-2人教A版练习：学业质量标准检测2

第二章学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2019·运城期中)下列表述正确的是(D)
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④B．②③④
C．①②④D．①②
[详细分析]根据题意，依次分析4个命题：
对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；
对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；
对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；
对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；
则正确的是①②.
故选D．
2．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(A)
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
[详细分析]由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于
是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
故选A ．
3．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1
2，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )
A ．0
B ．1
C ．52
D ．5
[详细分析] ∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)， ∴令x ＝－1，则有f (1)＝f (－1)＋f (2)， ∴f (2)＝2f (1)．
又∵f (1)＝1
2，∴f (2)＝1，
∴f (5)＝f (3＋2)＝f (3)＋f (2) ＝2f (2)＋f (1) ＝2＋12＝52
.
4．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 、b 大小不定
[详细分析] a ＝
c ＋1－c ＝
1c ＋1＋c
， b ＝c －c －1＝
1c ＋
c －1
，
因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以
c ＋1＋c >c ＋
c －1>0，所以a <b .
5．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)
3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满
足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( D )
A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1
C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1
D．存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0
[详细分析]命题的结论是“数列{x n}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{x n}既不是递增数列，也不是递减数列”，即“存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0.”故应选D．
6．如果p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．已知p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(B)
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对大于或等于2的正整数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
[详细分析]∵p(n)对n＝2成立，2为偶函数，∴根据题意知p(n)对所有正偶数n都成立．故选B．
7．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：
根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是(A)
[详细分析]从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A．8．(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D) A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
[详细分析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良
好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D ．
9．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1
2n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成
立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( C )
A ．2k －
1
B ．2k －1
C ．2k
D ．2k ＋1
[详细分析] 左边的特点是分母逐渐增加1，末项为1
2n －1
；
由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k ＋1时末项为12k ＋1－1＝1
2k －1＋2k
，∴应增加的项数为2k . 故选C ．
10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( A )
[详细分析] 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A ．
11．已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0
D ．(b －1)(b －a )>0
[详细分析] 根据题意，log a b >1⇔log a b －log a a >0⇔log a b
a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<
b a <1或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1
b a
>1，
即⎩⎨⎧ 0<a <10<b <a 或⎩⎨⎧
a >1
b >a . 当⎩⎨⎧
0<a <10<b <a
时，0<b <a <1，
∴b －1<0，b －a <0；
当⎩⎨⎧
a >1
b >a
时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0. ∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平面上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶时的走法f (n )等于( D )
A ．f (n －1)＋1
B ．f (n －2)＋2
C ．f (n －2)＋1
D ．f (n －1)＋f (n －2)
[详细分析] 到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n －1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2019·大武口区校级一模)甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是3.
[详细分析] 由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2，
所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1， 故丁取出的小球编号是3. 故答案为3.
14．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m
＋n
.
[详细分析] 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性
质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”
15．观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2. [详细分析] 本题考查归纳推理． 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.
16．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪
⎧
x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，
其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于5.
[详细分析] 根据题意，列出检验方程组， ⎩⎪⎨⎪
⎧
1⊕1⊕0⊕1＝1，1⊕0⊕0⊕1＝0，1⊕0⊕1⊕1＝1，
显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以错
误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有x 5，验证一下把x 5换成0，上式检验方程组都成立，所以x 5出错了，即k ＝5.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知n ≥0，试用分析法证明：n ＋2－n ＋1<n ＋1－n . [详细分析] 要证n ＋2－
n ＋1<
n ＋1－n 成立，
需证明
n ＋2＋n <2n ＋1.
只需证明(n ＋2＋n )2<(2
n ＋1)2，
只需证明n ＋1>
n 2＋2n ，
只需证明(n ＋1)2>n 2＋2n ，
只需证明n 2＋2n ＋1>n 2＋2n ， 只需证明1>0.
因为1>0显然成立，所以原命题成立．
18．(本题满分12分)已知函数f (x )满足下列条件：
(1)f (12)＝1，(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )，(3)f (x )的值域为[－1,1]．试证明：1
4不在f (x )的定义域内．
[证明] 假设14在f (x )的定义域内，因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，所以f (14)＝f (12×12)＝f (12)＋f (12)＝
2.
又f (x )的值域为[－1,1]，2∉[－1,1]， 所以1
4
不在函数f (x )的定义域内．
19．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan(x ＋π4)＝1＋tan x
1－tan x
；
(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )
1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．
[详细分析] (1)证明：根据两角和的正切公式得 tan(x ＋π
4)＝tan x ＋tan
π
41－tan x tan
π4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x
，
即tan(x ＋π4)＝1＋tan x
1－tan x ，命题得证．
(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．
因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋
1＋f (x )1－f (x )1－
1＋f (x )
1－f (x )＝－1
f (x ).
所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1
f (x ＋2a )＝f (x )．
所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．
20．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？
[详细分析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.
∵cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，
∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2， ①
注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，
于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .
②
∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2， 即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．
故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．
21．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中
点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB 是双曲
线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想k OM ·k AB
的值，并证明．
[详细分析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝x 1
＋x 2
2，y 0
＝y 1
＋y 2
2.
k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
，
即k OM ·k AB ＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 21－y 2
2
x 21－x 22
.
将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2
b 2＝1中可得：
x 21a 2－y 21
b 2＝1 ① x 22a 2－y 22
b
2＝1
②
①－②得：x 21－x 22a 2＝y 2
1－y 22
b 2，
∴y 21－y 2
2x 21－x 22＝b 2a
2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2.
22．(本题满分12分)(2019·马鞍山高二检测)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝1
1＋x n
，n ∈
N * .猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．
[详细分析] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝13
21，
由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．
(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－1
1＋x 2k ＋3
＝
x 2k ＋3－x 2k ＋1
(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)
＝
11＋x 2k ＋2－
1
1＋x 2k
(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)
＝
x 2k －x 2k ＋2
(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，
即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2，
也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．。