湖南省郴州市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

湖南省郴州市2021届新高考数学第一次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且
1sin 2a b A ⎛⎫-
⎪⎝
⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )
A ．
5
B ．
15
C ．
10
D ．
5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫
-
=+- ⎪⎝⎭
，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 1
2
s S ab C =，求出ABC 面积的最大值. 【详解】
ABC 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛
⎫-=+- ⎪⎝
⎭，
由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+-
⎪⎝
⎭，整理得22212c a b ab =+-，
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44
C C C π=∈=
. D 是AB 的中点，且1CD =，
()(
)
2
2
2,2CD CA CB CD
CA CB ∴=+∴=+，即222
42CD CA CB CA CB =++，
即2
2
2
2
115
42cos 2222
b a ba C a b ab ab ab ab =++=++
≥+=， 8
5
ab ∴≤
，当且仅当a b =时，等号成立.
ABC ∴的面积118sin 225S ab C =≤⨯
所以ABC
本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 2．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫
=-≤=≤⎨⎬⎩⎭
，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2) B ．(2，3]
C ．[2，3]
D ．(0，2]
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出{}{}|2,|03P x x Q x x =≤=<≤，得到{|2}R
P x x =>，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}3|20,|
0x P x x Q x x -⎧⎫
=-≤=≤⎨⎬⎩⎭
， 所以{}{}|2,|03P x x Q x x =≤=<≤，则{|2}R
P x x =>，
所以(){|23}(2,3]R P Q x x =<≤=.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
3．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则1
2
z z =（ ） A ．1855
i -
+ B ．1855
i -
- C ．815i -+
D ．815
i --
【答案】B 【解析】 【分析】
求得复数1z ，结合复数除法运算，求得1
2
z z 的值. 【详解】
易知123z i =+，则
()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555
i i --==--. 故选：B 【点睛】
最小值为（ ） A ．2 B ．
153
C ．
163
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.
详解：由2434120
y x
x y ⎧=⎨
++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，
而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=
3=，
故12d d +的最小值为2，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
5．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆
是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥
P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．25π
B ．75π
C ．80π
D ．100π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥
P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设
球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】
设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形，
所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==
所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得22
6433
AO AM '=
=⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：
由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()2
2162R R =+-， 解得5R =，
所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】
本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
6．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.
若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.
7．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC
S
=，P 为线段AB 上的一点，且
CA CB CP x y CA
CB
=⋅
+⋅
，则
11
x y
+的最小值为（ ）
A ．
712+
B ．12
C ．
43
D ．
512+
【答案】A 【解析】 【分析】
在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2
C π
=
，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在
的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等
式可求得11
x y
+的最小值. 【详解】
在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，
sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，
sin cos 0A C ∴=，
0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，
0C π<<，2
C π
∴=
，
162
ABC
S
ab ==，则12ab =，所以，4
312
a b ab ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，225c a b ∴=+=. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，
P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤，
()33,4CP CA CB λλ∴=+=-，
设1CA e CA
=
，1C e B CB
=
，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，
()12,CA CB
CP x y xe ye x y CA
CB =⋅
+⋅
=+=，334x y λλ
=-⎧∴⎨
=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y ∴+=， 所以，
117737
2343412341212
11x y x y x y x x y y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当3
x y =
时，等号成立， 因此，
11
x y +的最小值为37312
+. 故选：A. 【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解
CA CA
是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，
解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式
8．不等式组20
1
2
30 x
y
y x
x y
-≥
⎧
⎪⎪
≥
⎨
⎪
+-≤
⎪⎩
表示的平面区域为Ω，则（）
A．(),x y
∀∈Ω，23
x y
+>B．(),x y
∃∈Ω，25
x y
+>
C．(),x y
∀∈Ω，
2
3
1
y
x
+
>
-
D．(),x y
∃∈Ω，
2
5
1
y
x
+
>
-
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设
12
2
2,
1
y
z x y z
x
+
=+=
-
，分析12
,z z的几何意义，可得12
,z z的最小值，据此分析选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意，不等式组
20
1
2
30
x y
y x
x y
-≥
⎧
⎪⎪
≥
⎨
⎪
+-≤
⎪⎩
其表示的平面区域如图所示，
其中()
2,1
A，()
1,2
B，
设12
z x y
=+，则1
22
z
x
y=-+，
1
z的几何意义为直线1
22
z
x
y=-+在y轴上的截距的2倍，
由图可得：当1
22
z
x
y=-+过点()
1,2
B时，直线
1
2
z x y
=+在y轴上的截距最大，即25
x y
+≤，
当1
22
z
x
y=-+过点原点时，直线
1
2
z x y
=+在y轴上的截距最小，即20
x y
+≥，
故AB错误；
设
2
2
1
y
z
x
+
=
-
，则2z的几何意义为点()
,x y与点()
1,2
-连线的斜率，
C D
本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题. 9．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12
-
B ．-2
C ．
12
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
设BD k BC =，用,AB AC 表示出BM ，求出,λμ的值即可得出答案. 【详解】
设BD k BC k AC k AB ==-
由2AM AD =
()
112222
k k
BM BA BD AB AC AB ∴=
+=-+- 1222k k AB AC ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
，
1,222
k k
λμ∴=--=，
1
2
λμ∴+=-.
故选：A 【点睛】
本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题. 10．已知0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，cos2tan 1sin 2β
αβ
=
-，则（ ）
A ．22
π
αβ+=
B ．4
π
αβ+=
【分析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫
==+ ⎪-⎝⎭
,即可求得结
果. 【详解】
2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫
====+ ⎪-+--⎝⎭
，
所以4
π
αβ=+，即4
αβ-=
π
. 故选:C. 【点睛】
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 11．设复数z 满足i
(i i
2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．
13i 22
- B ．13
i 22+ C ．13i 22
--
D ．13
i 22
-
+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i
1i
z +=
-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】
由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13
i 1i 2222
z ++++====+-. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
12．过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，
点A 在y 轴上的射影为A '，若
3
4
FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）
A B ．
C ．
12
D ．
2
【答案】D
求得点B 的坐标，由
3
4
FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】
由题意可得()0,B b 、(),0F c -.
由
34FO AA ='，得34BF BA =，则3
1
BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33c
b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4
,3
3b A c ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭.
因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆22
22:1x y C a b
+=上，则2
2
224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22
212c e a ==
，所以2
e =
. 即椭圆C
故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则9
54
S S a =+______.
【答案】18 【解析】 【分析】
将已知712a a =-已知转化为1,a d 的形式，化简后求得12a d =-，利用等差数列前n 公式化简9
54
S S a +，
由此求得表达式的值. 【详解】
因为712a a =-，所以()195154341949922,1856131213a d S a d
a d S a a a a d d d
+⨯=-====+++-+.
本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题. 14．记复数z ＝a+bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____． 【答案】3﹣4i 【解析】 【分析】
计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】
∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-． 故答案为：3﹣4i ． 【点睛】
本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
15．在数列{}n a 中，已知*
111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则数列{}n a 的的前21n 项和为21n S +=__________.
【答案】223n +- 【解析】 【分析】
由已知数列递推式可得数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到2n S ，再由21221n n n S S a ++=+求解． 【详解】
解：由*111,2()n n n a a a n N +==∈， 得112(2)n n n a a n --=，
∴
1
1
2(2)n n a n a +-=， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
∴12
22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数，
21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+
212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+
2
1
123(1222)332312
n
n n --=+++⋯+==--．
∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-．
故答案为：223n +-． 【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题． 16．4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________． 【答案】3 【解析】
试题分析：由已知得4
2
3
4
(1)1464x x x x x +=++++，故4
()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 考点：二项式定理．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知21
()(ln )ln 12
f x x x k x =-
--()k ∈R . （1）若()f x 是(0,)+∞上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个极值点，判断函数()f x 零点的个数. 【答案】 (1) (,1]-∞ (2) 三个零点 【解析】 【分析】
(1) 由题意知()0f x '≥恒成立,构造函数()ln F x x x k =--，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当1k >时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证()10f x >，()20f x <. 【详解】
（1）由()()2
1ln ln 12f x x x k x =-
--得()ln x x k f x x
'--=
， 由题意知()0f x '≥恒成立，即ln 0x x k --≥，设()ln F x x x k =--，()1
1F x x
'=-
， ()0,1x ∈时()0F x '<，()F x 递减，()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 递增；
故()()min 110F x F k ==-≥，即1k ≤，故k 的取值范围是(]
,1-∞. （2）当1k ≤时，()f x 单调，无极值； 当1k >时，()110F k =-<， 一方面，()0k k
F e
e
--=>，且()F x 在()0,1递减，所以()F x 在区间()
,1k e -有一个零点. 另一方面，()2k
k
F e
e
k =-，设()2k g k e k =- (1)k >，则()20k g k e ='->，从而()g k
在()1,+∞递增，则()()120g k g e >=->，即()0k
F e
>，又()F x 在()1,+∞递增，所以
()F x 在区间()1,k e 有一个零点.
因此，当1k >时()f x '在(),1k
e -和(
)1,k
e
各有一个零点，将这两个零点记为1
x ，
2x ()121x x <<，当()10,x x ∈时()0F x >，即()0f x '>；当()12,x x x ∈时()0F x <，即
()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时()0F x >，即()0f x '>：从而()f x 在()10,x 递增，在()12,x x
递减，在()2,x +∞递增；于是1x 是函数的极大值点，2x 是函数的极小值点. 下面证明：()10f x >，()20f x <
由()10f x '=得11ln 0x x k --=，即11ln k x x =-，由()()2
11111ln ln 12
f x x x k x =--- 得()()()21111111ln ln ln 12f x x x x x x =---- ()2
11111ln ln 12
x x x x =+--， 令()()21ln ln 12m x x x x x =+
--，则()()1ln x x m x x
-'=， ①当()0,1x ∈时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m >=，而11x <，故()10f x >； ②当()1,x ∈+∞时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m <=，而21x >，故()20f x <； 一方面，因为(
)2210k
k
f e
e
--=-<，又()10f x >，且()f x 在()10,x 递增，所以()f x 在
()
21,k
e
x -上有一个零点，即()f x 在()10,x 上有一个零点.
另一方面，根据1(0)x
e x x >+>得1k e k >+，则有：
()()
4
442
2
1211121k
k
f e
e
k k k =-->+-- 2
4
37
4044k k k k ⎛⎫=+-+> ⎪⎝
⎭，
又()20f x <，且()f x 在()2,x +∞递增，故()f x 在(
)42,k
x e
上有一个零点，故()f x 在
()2,x +∞上有一个零点.
又()10f =，故()f x 有三个零点. 【点睛】
本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论． 18．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是2cos {
sin x y θ
θ
==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=.
（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，和(20)，
，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求
22
11
||||OA OB +的值.
【答案】（1）线1C 的普通方程为2
214
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；
（2）22
115
||||4
OA OB +=. 【解析】
试题分析：（1）（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1，即可曲线C 1的参数方程化为普通方程，进而利用x cos y sin ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
即
可化为极坐标方程，同理可得曲线C 2的直角坐标方程；
（2）由12M M 过()2
211x y +-=的圆心，得OP OQ ⊥得OA OB ⊥，设()1A ρθ，
，22B ，πρθ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，2222
121111||||OA OB ρρ+=+代入2222cos sin 14
ρθρθ+=中即可得解. 试题解析：
（1）曲线1C 的普通方程为22
14
x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=
曲线2C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=
（2）在直角坐标系下，()101M ，
，()220M ，，12:220M M x y +-= 恰好过()2
211x y +-=的圆心，
∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2
214
x y +=上的两点，
在极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入2
22211cos sin 14
ρθρθ+=中， 有
222211cos sin 14
ρθ
ρθ+=和
2
222
22cos 2sin 1
4
2πρθπρθ⎛
⎫
+
⎪⎛⎫⎝⎭
++= ⎪⎝
⎭ ∴22
211
cos sin 4θθρ=
+，22221sin cos 4
θθρ=+
则
2
212
1
1
54ρρ+
=
，即
22115
||||4
OA OB += 19．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121()n n a S n N *
+=+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1{}n
d 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
【答案】（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）121n n a S +=+，121(2)n n a S n -=+，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，可得1
1111
23n n n n n n d a a -+++==-，利用错位相减法即可得出． 【详解】
解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，故121(2)n n a S n -=+≥，两式相减可得，
112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，故13(2)n n a a n +=≥，
因为{}n a 是等比数列，∴213a a =，又2121a a =+，所以11321a a =+， 故11a =，所以13-=n n a ；
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，所以1
111123n n n n n n d a a -+++==-⋅， 所以213411232323
n n n T -+=+
+++⋅⋅⋅，① 则211131
33232323n n n
n n T -+=++++⋅⋅⋅，②
①－②得：2121111
1323232323n n n
n T -+=+++-⋅⋅⋅⋅，
111(1)
1233112313
n n n --+⋅=+-⋅-
所以115251528838
n n n T -+=
-<<⋅，得证. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，其中μ近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费： ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 获赠的随机话费（单位：元） 10
20 概率
23
13
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
21014.5≈；②若()2
~,X N
μσ；则()0.6827P X μσμσ-<<+=，
()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.
【答案】（1）0.8186；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费 【解析】 【分析】
（1）根据正态分布的性质可求()3679.5P Z <≤的值.
（2）设某家长参加活动可获赠话费为X 元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额. 【详解】
（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.875 6.751116.2516.8758.5 4.7565=++++++=
又3665≈-79.565≈+， 所以()3679.5P Z <≤
11
0.95450.682722
=⨯+⨯ 0.8186=；
（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X 有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为
1
2
， 得10元的情况为低于平均值，概率121233
P =
⨯=， 得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率1112272323318
P =
⨯+⨯⨯=， 得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为
1212122339
P C =⨯⨯⨯=，
得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为1111
23318
P =⨯⨯=. 所以变量X 的分布列为：
某家长获赠话费的期望为()1020304020318918
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 所以估计此次活动可能赠送出100000元话费. 【点睛】
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.
21．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：2401.004 2.61≈.
【答案】（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式 【解析】 【分析】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{}n a ，
n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则14900a =，2402510a =，
则()
()1240240240120490025108892002
a a S +=
=⨯+=，
故小张该笔贷款的总利息为889200600000289200-=元.
（2）设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则()()()
()
2
239
240
10.00410.00410.00460000010.004x x x x +++++
++=⨯+，
所以240240
1 1.004600000 1.0041 1.004x ⎛⎫-=⨯ ⎪-⎝⎭
，
即240240
600000 1.0040.004600000 2.610.00438911.0041 2.611
x ⨯⨯⨯⨯=≈≈--， 因为1
38911000050002
<⨯
=， 所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
3891240600000933840600000333840⨯-=-=，
因为333840289200>，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式. 【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的
关键，属于中档题.
22．已知函数()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，其中x ∈R ，0>ω． （1）当1ω=时，求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； （2）当()f x 的最小正周期为π时，求()f x 在0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域．
【答案】（1）2
（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）根据1ω=，得到函数()sin cos()6f x x x π
=++，然后，直接求解()3
f π
的值；
（2）首先，化简函数()sin()3f x x πω=+，然后，结合周期公式，得到2ω=，再结合0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，及正弦函数的性质解答即可． 【详解】
（1）因为1ω=，所以()sin cos 6f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
sin cos 33362
f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）因为()sin cos 6f x x x πωω⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
=sin cos cos
sin sin
6
6
x x x π
π
ωωω+-
1=sin 2x x ωω sin 3x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
即()sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
因为2T π
πω
=
=，所以2ω=
所以()
sin 23
f x x
因为0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
所以52,336x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
所以当0x =
时，()f x =
．当12x π=时，()1f x =（最大值）
当4
x π
=
时，1
()2
f x =
()f x 在0,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦是增函数，在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是减函数． ()f x ∴的值域是1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．
23．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.
（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c
b d -=++++其中n a b
c
d =+++
临界值表：
【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.
【详解】
（1）
因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯， 13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）ξ服从153,60B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 300
3
3127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133127(1)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 122
3319(2)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0
333311(
3)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列如下
ξ的期望2727913
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
()0123
646464644
【点睛】
本小题主要考查22
⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.。