2020-2021学年北京市昌平区实验学校高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
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『答案』
『解析』因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数的最小值为 ，
故答案为：
15. 的零点为________．
『答案』
『解析』令 ，则 或 ，解得
故答案为：
16.函数 的定义域为________．
『答案』
『解析』 等价于 ，即
解得
则函数 的定义域为 故答案为：
17. ，则 _______， ________．
北京市昌平区实验学校2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷
一、选择题（每题4分）
1.设集合 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
『答案』B
『解析』因为集合 ， ，
所以
又 ，所以 故选：B
2.函数 的定义域为（）
A. B. C. D.
『答案』C
『解析』不等式组 的解集为
即该函数的定义域为 故选：C
每个部分函数值的符号如下表所示
则该函数图象的示意图如下图所示
（3）由图可知， 的解集为 ， 的解集为
23.已知：函数 且 对 成立，求 的取值范围．
解：当 时， ，显然不满足题意；
当 时，要使得函数 对 成立
必须
综上，
24.已知：函数 ，求 的最小值及相应 的值．
解：因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
『答案』B
『解析』 ，所以答案选择B
9.下列函数是偶函数的是（）
A. B.
C. D.
『答案』A
『解析』对于A， 的定义域为R， ，则函数 为偶函数；
对于B， 的定义域为R， ，则B错误；
对于C， 的定义域为 ， ，则函数 为奇函数，则C错误；
对于D， 的定义域为R， ，函数 为奇函数，则D错误；故选：A
三、解答题（每题10分）
21.已知 ， ，
（1）求 ，
（2）若 ，求 的取值范围．
解：（1） ，
或
或 ，
（2） ， 集合 中的任意元素都在集合 中
或
22.已知函数
（1）求该函数的零点
（2）作出函数图象的示意图
（3）求 和 的解集．
解：（1）令 ， ，解得 即该函数的零点为：
（2）该函数的定义域被 三个点分成四个部分
对B项， ， 的定义域都为 ， ，对应法则也相同，则B正确；
对C项，这两个函数的定义域都为 ， ，对应法则不相同，则C错误；
对D项，不等式组 的解集为 ，不等式 的解集为 或 ，则函数 ， 的定义域分别为 ， 或 ，定义域不一致，则D错误.
故选：B
8. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
10.下列函数在 是减函数的是（）
A. B. C. D.
『答案』C
『解析』由一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数的单调性可知
函数 ， ， 在区间 上单调递增
函数 在区间 上单调递减
故选：C
11.不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
『答案』A
『解析』因为不等式 ，所以 ，所以 ，所以 ，
解得 ，所以原不等式的解集为
『答案』(1). (2).
『解析』
故答案为： ；
18.已知 是偶函数，满足 ，则 ______
已知 是奇函数，满足 ，则 ______
『答案』(1). (2).
『解析』因为 是偶函数， ，所以
因为 是奇函数， ，所以 ，即
故答案为： ；
19.方程 的两根为 ， ，则 ________．
『答案』4
『解析』由题意 ， ，所以 故答案为：4．
20.用长为200米篱笆靠墙围一个矩形，当长为_____宽为______最大面积是________．
『答案』(1). 50 (2). 50 (3). 2500
『解析』设矩形的长为x米，宽为y米，
因为周长为200米，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以长为50米，宽为50米，最大面积是2500平方米.故答案为：50，50，2500
（1） 平面直角坐标系中画出函数图象
（2）求该函数最大值及最大值点
（3）求该函数最小值及最小值点．
解：（1）因为函数 ， ，
所以其图象如图所示：
（2）由（1）中函数图象可知：该函数最大值为8，最大值点为
（3）由（1）中函数图象可知：该函数最小值为-1，最小值点为
27.北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过 的部分，水价为5元/ ；超过 但不超过 的部分，水价为7元/ ．如果北京市一居民年用水量为 ，其要缴纳的水费为 元．假设 ，试写出 的解析式，并作出 的图像．
解：如果 ,则 ；
如果 则 ,
所以 ,
注意到 在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此 在每个区间上的图像都是直线的一部分,
因为 , .
由此可作出函数图像如图所示,
故选：A
12.函数 是偶函数，则 （）
A. 0B.2C. 4D.
『答案』D
『解析』
函数 是偶函数
，即 ，则
故选：D
二、填空题（每题4分）
13.命题“ ”的否定是________________.
『答案』 .
『解析』由含有一个量词的命题的否定可得，命题“ ”的否定为“ ”．故答案为 ．
14.函数 最小值是________．
所以 的最小值为0，此时 的值是-2.
25.求证：函数 在区间 和 上都是增函数．
解：任取 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 是增函数，
任取 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 是增函数，
函数 在区间 和 上都是增函数
26.已知函数 ，
3.命题 ， ，则 是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
『答案』C
『解析』 命题 ， ，由全称命题的否定可知，命题 ， .故选：C.
4.函数 的零点位于（）AΒιβλιοθήκη B. C. D.『答案』B
『解析』
则函数 零点位于 故选：B
5.已知集合 ，集合 ，则 等于（）
A. B. C. D.
『答案』B
『解析』因为 ， ，
由 可得 所以 故选：B
6.下列不等式中正确的是（）
A.如果 ，那么 B.如果 ，那么
C.如果 ，那么 D.如果 ，那么
『答案』C
『解析』当 时， ， ，则AD错误；
因为 ，所以B错误；
因为 ，所以 ，则 故选：C
7.下列四组函数中是同一函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
『答案』B
『解析』对A项， 的定义域为 ， 的定义域为R，定义域不一致，则A错误；
『解析』因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数的最小值为 ，
故答案为：
15. 的零点为________．
『答案』
『解析』令 ，则 或 ，解得
故答案为：
16.函数 的定义域为________．
『答案』
『解析』 等价于 ，即
解得
则函数 的定义域为 故答案为：
17. ，则 _______， ________．
北京市昌平区实验学校2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷
一、选择题（每题4分）
1.设集合 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
『答案』B
『解析』因为集合 ， ，
所以
又 ，所以 故选：B
2.函数 的定义域为（）
A. B. C. D.
『答案』C
『解析』不等式组 的解集为
即该函数的定义域为 故选：C
每个部分函数值的符号如下表所示
则该函数图象的示意图如下图所示
（3）由图可知， 的解集为 ， 的解集为
23.已知：函数 且 对 成立，求 的取值范围．
解：当 时， ，显然不满足题意；
当 时，要使得函数 对 成立
必须
综上，
24.已知：函数 ，求 的最小值及相应 的值．
解：因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
『答案』B
『解析』 ，所以答案选择B
9.下列函数是偶函数的是（）
A. B.
C. D.
『答案』A
『解析』对于A， 的定义域为R， ，则函数 为偶函数；
对于B， 的定义域为R， ，则B错误；
对于C， 的定义域为 ， ，则函数 为奇函数，则C错误；
对于D， 的定义域为R， ，函数 为奇函数，则D错误；故选：A
三、解答题（每题10分）
21.已知 ， ，
（1）求 ，
（2）若 ，求 的取值范围．
解：（1） ，
或
或 ，
（2） ， 集合 中的任意元素都在集合 中
或
22.已知函数
（1）求该函数的零点
（2）作出函数图象的示意图
（3）求 和 的解集．
解：（1）令 ， ，解得 即该函数的零点为：
（2）该函数的定义域被 三个点分成四个部分
对B项， ， 的定义域都为 ， ，对应法则也相同，则B正确；
对C项，这两个函数的定义域都为 ， ，对应法则不相同，则C错误；
对D项，不等式组 的解集为 ，不等式 的解集为 或 ，则函数 ， 的定义域分别为 ， 或 ，定义域不一致，则D错误.
故选：B
8. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
10.下列函数在 是减函数的是（）
A. B. C. D.
『答案』C
『解析』由一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数的单调性可知
函数 ， ， 在区间 上单调递增
函数 在区间 上单调递减
故选：C
11.不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
『答案』A
『解析』因为不等式 ，所以 ，所以 ，所以 ，
解得 ，所以原不等式的解集为
『答案』(1). (2).
『解析』
故答案为： ；
18.已知 是偶函数，满足 ，则 ______
已知 是奇函数，满足 ，则 ______
『答案』(1). (2).
『解析』因为 是偶函数， ，所以
因为 是奇函数， ，所以 ，即
故答案为： ；
19.方程 的两根为 ， ，则 ________．
『答案』4
『解析』由题意 ， ，所以 故答案为：4．
20.用长为200米篱笆靠墙围一个矩形，当长为_____宽为______最大面积是________．
『答案』(1). 50 (2). 50 (3). 2500
『解析』设矩形的长为x米，宽为y米，
因为周长为200米，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以长为50米，宽为50米，最大面积是2500平方米.故答案为：50，50，2500
（1） 平面直角坐标系中画出函数图象
（2）求该函数最大值及最大值点
（3）求该函数最小值及最小值点．
解：（1）因为函数 ， ，
所以其图象如图所示：
（2）由（1）中函数图象可知：该函数最大值为8，最大值点为
（3）由（1）中函数图象可知：该函数最小值为-1，最小值点为
27.北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过 的部分，水价为5元/ ；超过 但不超过 的部分，水价为7元/ ．如果北京市一居民年用水量为 ，其要缴纳的水费为 元．假设 ，试写出 的解析式，并作出 的图像．
解：如果 ,则 ；
如果 则 ,
所以 ,
注意到 在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此 在每个区间上的图像都是直线的一部分,
因为 , .
由此可作出函数图像如图所示,
故选：A
12.函数 是偶函数，则 （）
A. 0B.2C. 4D.
『答案』D
『解析』
函数 是偶函数
，即 ，则
故选：D
二、填空题（每题4分）
13.命题“ ”的否定是________________.
『答案』 .
『解析』由含有一个量词的命题的否定可得，命题“ ”的否定为“ ”．故答案为 ．
14.函数 最小值是________．
所以 的最小值为0，此时 的值是-2.
25.求证：函数 在区间 和 上都是增函数．
解：任取 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 是增函数，
任取 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 是增函数，
函数 在区间 和 上都是增函数
26.已知函数 ，
3.命题 ， ，则 是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
『答案』C
『解析』 命题 ， ，由全称命题的否定可知，命题 ， .故选：C.
4.函数 的零点位于（）AΒιβλιοθήκη B. C. D.『答案』B
『解析』
则函数 零点位于 故选：B
5.已知集合 ，集合 ，则 等于（）
A. B. C. D.
『答案』B
『解析』因为 ， ，
由 可得 所以 故选：B
6.下列不等式中正确的是（）
A.如果 ，那么 B.如果 ，那么
C.如果 ，那么 D.如果 ，那么
『答案』C
『解析』当 时， ， ，则AD错误；
因为 ，所以B错误；
因为 ，所以 ，则 故选：C
7.下列四组函数中是同一函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
『答案』B
『解析』对A项， 的定义域为 ， 的定义域为R，定义域不一致，则A错误；