高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解20 三角函数的图象与性质

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解
专题20三角函数的图象与性质
考点知识
1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，
理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性. 基础知识融会贯通
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭
⎫3π2，－1，(2π，0)．
(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭
⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )
【知识拓展】
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14
个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则：
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2
＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
重点难点突破
【题型一】三角函数的定义域和值域
【典型例题】
求下列函数的定义域：
（1）y ；
（2）y ＝lg （2sin x ﹣1）；
（3）y ．
【解答】解：（1）要使y 有意义，可得cos x ≥0，解得{x |，k ∈Z }；
（2）要使y ＝lg （2sin x ﹣1）有意义，
可得2sin x ﹣1＞0，即：sin x ，
解得{x |，k ∈Z }；
（3）要使y有意义，可得sin x≠﹣1．
所以函数的定义域为：{x|x2kπ，k∈Z}．
【再练一题】
函数y＝tan（sin x）的值域为（）
A．[，] B．[，]
C．[﹣tan 1，tan 1] D．以上均不对
【解答】解：∵﹣1≤sin x≤1，
且函数y＝tan t在t∈[﹣1，1]上是单调增函数，
∴tan（﹣1）≤tan t≤tan1，
即﹣tan1≤tan（sin x）≤tan1，
∴函数y＝tan（sin x）的值域为[﹣tan1，tan1]．
故选：C．
思维升华(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域．
【题型二】三角函数的单调性
命题点1求三角函数的单调性
【典型例题】
函数f（x）＝sin x，x∈[0，π]的单调减区间为（）
A．[2kππ，2kππ]，k∈Z B．[2kππ，2kππ]，k∈Z
C．[0，π] D．[]
【解答】解：对于函数f（x）＝sin x2sin（x），令2kπx2kπ，求得2kπx≤2kπ，
可得函数的减区间为[2kπ，2kπ]，k∈Z．
再根据x∈[0，π]，可得函数的单调减区间为[]，
故选：D．
【再练一题】
已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）
A．B．C．D．2
【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，
则：φ．
所以：f（x）＝cos（ωx），
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于函数在上单调递减，
故：，
当k＝0时，
整理得：，
故：，
所以最大值为．
故选：C．
命题点2根据单调性求参数
【典型例题】
已知f（x）＝sinωx cosωx（ω＞0）在区间[]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[7，]
C．[7，]∪[] D．（0，]∪[]
【解答】解：f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx），
由2kπωx2kπ，k∈Z，
得2kπωx≤2kπ，k∈Z，
即x，即函数的单调递增区间为[，]，k∈Z，∵f（x）在区间[]上单调递增，
∴，即，
即12k﹣5≤ω≤8k，
∵ω＞0，
∴当k＝0时﹣5≤ω，此时0＜ω，
当k＝1时，7≤ω，
当k＝2时，19≤ω≤16，此时不成立，
综上ω的范围是0＜ω或7≤ω，
即（0，]∪[7，]，
故选：B．
【再练一题】
已知函数f（x）cos x﹣sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥﹣1，则α的取值范围为（）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【解答】解：函数f（x）cos x﹣sin x＝2cos（x）在（0，α）上是单调函数，∴α≤π，∴0＜α．
又f（α）≥﹣1，即cos（α），则α∈（，]，∴α∈（0，]，
故选：C．
思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
【题型三】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
命题点1三角函数的周期性
【典型例题】
函数的最小正周期为（）
A．4πB．C．2πD．π
【解答】解：函数sin2x•sin（2x）的
最小正周期为π，
故选：D．
已知函数，其中ω为常数，且ω∈（1，2），若f（x+π）＝f（π﹣x），则f（x）的最小正周期为（）
A．8πB．C．D．
【解答】解：∵函数，其中ω为常数，且ω∈（1，2），若f（x+π）＝f（π﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x＝π对称，∴ωπkπ，k∈Z，∴ω，
则f（x）的最小正周期为，
故选：C．
命题点2三角函数的奇偶性
【典型例题】
使函数是偶函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵函数2sin（2x+θ）是偶函数，
∴θkπ，即θ＝kπ，k∈Z①，故可取θ，
此时，f（x）＝2sin（2x）＝cos2x，且在上，2x∈[0，]，f（x）是减函数，
故选：B．
已知函数f（x）＝sin2（x+φ）（φ＞0）是偶函数，则φ的最小值是．
【解答】解：f（x）＝sin2（x+φ）＝sin（2x+2φ）是偶函数，
则2φkπ，k∈Z，
即φ，k∈Z，
当k＝0时，φ取得最小值，为，
故答案为：．
命题点3三角函数图象的对称性
【典型例题】
下列各点中，可以作为函数y＝sin x cos x+1图象的对称中心的是（）
A．（）B．（）C．（）D．（）
【解答】解：∵函数y＝sin x cos x+1＝2sin（x）+1，令x kπ，可得x＝kπ，k∈Z，
故函数的图象的对称中心为（kπ，1），
故选：A．
【再练一题】
已知f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）部分图象如图，则f（x）的一个对称中心是
（）
A．（，﹣1）B．C．（）D．（，0）
【解答】解：根据f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）部分图象，可得A+B＝1，﹣A+B＝﹣3，
求得A＝2，B＝﹣1．
再根据•，∴ω＝2，
再根据五点法作图可得2φ，∴φ，∴f（x）＝2sin（2x）﹣1．
令2x kπ，求得x，故函数的图象的对称中心为（，0），k∈Z，
结合所给的选项，
故选：A．
思维升华(1)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
(2)求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π
|ω|
，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
π|ω|
.
基础知识训练
1．【天津市部分区2019届高三联考一模】设函数()()sin 3f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ）
A ．()f x 的一个周期为2π
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 在区间2,63
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的一个零点为6
x π
=
【答案】D 【解析】
()sin 3cos f x x x = 23sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
()f x 周期22,1
T A π
π=
=正确； ()f x 的最大值为2，B 正确， 25,,,63
326
x x πππππ⎛⎫⎛⎫
∈∴+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， ()f x ∴在2,
63
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，C 正确； 6
x π
=
时，1032f x f ππ⎛⎫
⎛⎫+
==≠ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 6
x π
=
不是3f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的零点，D 不正确. 故选D.
2．【天津市红桥区2019届高三一模】已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>，x R ∈，在曲线
()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为
3
π
，则()f x 的最小正周期为（ ）
A ．π
B ．
2
π C ．
3
π D ．
4
π 【答案】A 【解析】
解：函数f （x ）3=sin ωx +cos ωx ＝2（3
sin ωx 12+cos ωx ）＝2sin （ωx 6π+），
令2sin （ωx 6π
+
）＝1， 化为sin （ωx 6π+）1
2=，
解得ωx 6π+=2k π6π+或ωx 6π+=2k π56
π
+，k ∈Z ．
∵在曲线y ＝f （x ）与直线y ＝1的交点中，相邻交点距离的最小值是
3
π
， ∴
566
ππ
-+2k π＝ω（21x x -），令k ＝0， ∴21233
x x ππω-=
=， 解得ω＝2． ∴T 22
π
=
=π． 故选：A ．
3．【天津市部分区2019届高三联考一模】函数()()()
sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）
A ．512
x π=
B ．23
x π=
C ．4
x π
=
D ．12
x π=
【答案】D 【解析】
()sin 2y x ϕ=+过,06π⎛⎫
⎪⎝⎭，
()3
k π
ϕπϕπ∴
+=<，k Z ∈,
3
ϕπ
∴=-
或23ϕπ=
， 又
()200,3
f πϕ>∴=
， ∴()2sin 23f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
向右平移6π
个单位， 得()2sin 263g x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-
+
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 即()sin 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令23
2
x k π
π
π+
=+
，212
k x ππ
=
+，k Z ∈, 0k =时，12
x π
=
为()y g x =的一条对称轴的方程，故选D. 4．【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的最小正
周期为π，则该函数图象（ ）
A ．关于直线4
x π
=
对称
B ．关于直线3
x π
=
对称
C ．关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】D 【解析】
由最小正周期可得：22π
ωπ=
= ()sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ 当4
x π
=
时，
523
6x π
π+=
，可知4x π=不是()f x 的对称轴，,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
不是()f x 的对称中心，则A ，C 错误；
当3
x π
=
时，23x π
π+
=，且03f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可知3
x π
=
不是()f x 的对称轴，,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的对称中心，则B 错误，D 正确. 本题正确选项：D
5．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】将函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像向右平移6π
个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 31
B ．函数()g x 的最小正周期为π
C ．函数()g x 的图象关于直线3
x π
=
对称
D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递增 【答案】D 【解析】
函数()f x 向右平移
6π
个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
()g x 最大值为2，可知A 错误；
()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；
3
x π
=
时，66
x ππ-
=，则3x π
=不是()g x 的对称轴，可知C 错误；
当2,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，0,62
x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣
⎦
，此时()g x 单调递增，可知D 正确.
本题正确选项：D
6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移
6π
个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2
π的值域为（ ） A ．[1,2]- B ．[1,1]-
C ．[3,2]
D ．[3,3]-
【答案】A 【解析】
()f x 向左平移6π
个单位得：()2sin 22sin 263g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又()g x 为偶函数 3
2
k π
π
ϕπ∴
+=
+，k Z ∈ 6
k π
ϕπ∴=
+，k Z ∈
0ϕπ<< π6∴=
ϕ ()2sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ 当0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ ()[]1,2f x ∴∈-
本题正确选项：A
7．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=+>的相邻对称
轴之间的距离为
2
π，将函数图象向左平移6π
个单位得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）
A ．sin()3
x π
+ B ．sin(2)3x π+
C ．cos 2x
D ．cos(2)3
x π
+
【答案】C 【解析】
解：函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=+>的相邻对称轴之间的距离为
2
π， 则：
22
T π=， 解得：T π=， 所以：ω
π
π2=
，解得2ω=，
将函数()sin(2)6
f x x π
=+图象向左平移6
π个单位，
得到()sin 2()sin 2cos 26
636g x x x x π
πππ⎛⎫
⎛
⎫=++
=++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的图象， 故选：C ．
8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><，
其图象相邻两条对称轴之间距离为2
π，将函数()y f x =的向右平移6π
个单位长度后，得到关于y 轴
对称，则（ ） A ．()f x 的关于点(,0)6
π
对称 B ．()f x 的图象关于点(,0)6
π
-对称
C ．()f x 在ππ
(,)63-
单调递增 D ．()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 【答案】C 【解析】
∵函数()sin()(0,)2f x x π
ωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间距离为1222
ππ
ω⋅=，∴2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+.
将函数()y f x =的向右平移
6π
个单位长度后，可得sin(2)3
y x πϕ=-+的图象， 根据得到的图象关于y 轴对称，可得3
2
k π
π
ϕπ-+=+
，k Z ∈，∴6
π
ϕ=-
，()sin(2)6
f x x π
=-
.
当6
x π
=
时，1()2f x =
，故()f x 的图象不关于点(,0)6
π
对称，故A 错误；
当6
x π
=-时，()1f x =-，故()f x 的图象关于直线6
x π
=-
对称，不关于点(
,0)6
π
对称，故B 错
误；
在ππ(,)63
-
上，2[,]622x πππ
-∈-，()f x 单调递增，故C 正确；
在2(,)36ππ
-
-上，32[,]622
x πππ-∈--，()f x 单调递减，故D 错误， 故选：C ．
9．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模】己知函数()3sin cos (>0)f x x x ωωω=+的零点构成一个公差为
2
π的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π
个单位，得到函数()
g x 的图像，关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ） A ．在[,]42
ππ
上是增函数 B ．其图像关于4
x π
=-
对称
C ．函数()g x 是奇函数
D ．在区间2[,]63
ππ
上的值域为[-2，1]
【答案】D 【解析】
解：()3sin cos f x x x ωω=+可变形为()2sin()6
f x x π
ω=+，
因为()y f x =的零点构成一个公差为2
π
的等差数列， 所以()y f x =的周期为π， 故ω
π
π2=
，解得2ω=，
所以()2sin(2)6
f x x π
=+
，
函数()f x 的图像沿x 轴向左平移
6
π
个单位后得到， sin(())sin()cos()()()22x 22x 22x 6
6
2
g x f x 6
π
π
π
π
+
+
=+
==+
=，
选项A ：,2k 2x 2k k z πππ-+≤≤∈，
解得：,k x k k z 2
π
ππ-
+≤≤∈，
即函数()y g x =的增区间为[,],2
k k k z π
ππ-+∈
显然[,][,]42
2
k k π
ππππ⊄-
+，
故选项A 错误；
选项B ：令2,x k k z π=∈，
解得：,k x k z 2
π
=
∈， 即函数()y g x =的对称轴为,k x k z 2
π
=
∈ 不论k 取何值，对称轴都取不到4
x π
=，
所以选项B 错误；
选项C ：()y g x =的定义域为R ， 因为cos ()g 02020==≠， 所以函数()y g x =不是奇函数， 故选项C 错误； 选项D ：当2[
,]63
x ππ
∈时，
故[
,
]42x 33π
π∈，
根据余弦函数图像可得，cos()[,)](22x g x 21∈-=， 故选项D 正确. 故本题应选D.
10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】将函数()πsin 23f x x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
π
2
个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）
A ．函数()g x 的最小正周期是π
B ．()g x 图像关于直线7π
12
x =
对称 C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递减 D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭对称
【答案】C 【解析】
由题意，将函数()f x 的图象向右平移
2
π
个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233
g x x x πππ
=-+=-，
对于A ,函数的最小正周期为2=2
π
π，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772(
)sin(2)sin 1121232
g ππππ
=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712
x π
=，对称是正确的；
对于C 中，[,]63x ππ
∈-
，则22[3
x π
π-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63
ππ
-上先减后增，∴不正确；
对于D 中，令3
x π
=
，则2()sin(2)sin 00333g πππ
=⨯-==，
()g x ∴图象关于点(,0)3
π
对称是正确的，
故选：C ．
11．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知将函数
()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝
⎭的图象向右平移3π
个单位长度得到函数()g x 的图
象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，则⋅=ωϕ______.
【答案】34
π
-
【解析】
由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫
⎛⎫
=-
=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称
,42,4
32k k Z k k Z π
πωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈
06ω<< 3ω∴= ,4
k k Z π
ϕπ∴=-
+∈
又22ππϕ-
<< 4
π
ϕ∴=- 34πωϕ∴⋅=- 本题正确结果：34
π
-
12．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】已知函数
()()()2sin 0f x x ωϕω=+>满足24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω
的值有_________个. 【答案】9 【解析】
由题意知函数()f x 的周期T ，由24f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，()0f π=，结合正弦函数图像的特征可知3424
T kT π+=，k ∈N ， 故312T k π=
+，()2123k ω+=，k ∈N ；又因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调， 所以
3
4
2T π
π
-
<
，故6T π
>，所以212T πω=<，即()212123
k +<，
∴17
2
k <
，k ∈N ，∴0,1,2,8k =符合条件的ω的值有9个.
13．【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】函数2
2sin 23cos 02y x x x x π⎛
⎫
=-≤≤ ⎪⎝
⎭
的值域为______.
【答案】[1,2]- 【解析】
由(1cos 2)3212sin 26y x x x π⎛⎫
=-=-+
⎪⎝
⎭
，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，所以[1,2]y ∈-.
14．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则(1)(2)(3)(2019)g g g g ++++=___________.
21 【解析】
依题意，
482T T ==，，所以4πω=，故()sin 4
4f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()(1)sin sin 4
444g x f x x x π
πππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，因为 ( 1 ) ( 2 )((8 3))0g g g g +
+++=，
所以()()()()()()()123+
+g 20191+2321g g g g g g ++=+=.
15．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知函数
()2cos cos sin 44f x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，若对任意实数x ，恒有()()()12f a f x f a ≤≤，则
()12cos a a -=____．
【答案】14
- 【解析】
()2cos
cos sin 2
4
4
f x x
x
x
2sin cos sin 4
4
x
x
x
2cos 2sin 2sin sin 1x x
x x
sin [1,1]x ∈-
9()2,
8
f x 对任意实数x ，恒有()()()12f a f x f a ≤≤ 则1
2
,928f a f a 即1sin 1a ，2
1sin 4
a 10cos a
122112
cos
cos cos sin
si 1
10
(1)44
n
a 16．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】若函数
()2sin()(0,0)f x x ωϕϕϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，且相邻两条对称轴间的距离为2π.
则()4
f π
的值为______．
3【解析】
因为相邻两条对称轴的距离为
2π，所以
2π
πω
=，2ω∴=， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数的图象经过点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 0ϕπ<<，π6∴=
ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，所以
2sin 3426f πππ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
317．【上海市崇明区2019届高三三模】已知向量113
,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
和向量()()1,b f x =，且//a b .
（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；
（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛
⎫
-= ⎪
⎝
⎭7BC ，21sin 7
B =，求A
C 的长度.
【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【解析】
由//a b 得：
()113
sin 22f x x x = 则：()sin 32sin 3f x x x x π⎛
⎫
==+ ⎪⎝
⎭
（1）()f x 最小正周期为：221
T π
π== 当sin 13x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时，()max 2f x = （2）由33f A π⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭2sin 3A =3sin A = 由正弦定理可知：
sin sin BC AC
A B =，即21
7sin 72sin 3
BC B AC A
⋅===
18．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考】已知函数231
()2cos 22
f x x x =--. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值.
【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π.（2）1a =，2b = 【解析】
（1）231
()2cos 2
f x x x =
--
31cos 212222
x x +=
-- 31
2cos 212
x x =
-- sin 216x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
所以函数()f x 的最小正周期为π. （2）由()0f C =，得sin 216C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 因为0C π<<， 所以1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， 所以26
2
C π
π
-
=
，3
C π
=
，
又sin 2sin B A =，由正弦定理得2b
a
=. ① 由余弦定理，得2
222cos
3
c
a b ab π
=+-，
即223a b ab +-=. ② 由①②解得1a =，2b =.
19．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-，(1,2)b =. （1）若//a b ，求
2
sin cos 13cos θθ
θ
⋅+的值； （2）若a b =，0θπ<<，求θ的值. 【答案】（1）465（2）2π或34
π
【解析】
(1)因为a b ∥，所以2sin cos 2sin θθθ=-，于是4sin cos θθ=； 当cos 0θ=时，sin 0θ= ，与22sin cos 1θθ+=矛盾，所以cos 0θ≠， 故1tan 4
θ=
，
所以
2222sin cos sin cos tan 4
13cos sin 4cos tan 465
θθθθθθθθθ⋅⋅===+++
(2)由||||a b =知，22sin (cos 2sin )5θθθ+-= ， 即214sin cos 4sin 5θθθ-+=，
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos 21θθ+=-，
于是2sin 24πθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭ 又由0θπ<<知，
924
44
π
π
π
θ<+
<
， 所以5244ππθ+=或7244ππθ+=，因此2πθ=或34
π
θ=
. 20．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】已知函数
()()22sin cos 2cos 1f x x x x π=-+- ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）(,1]-∞- 【解析】
（Ⅰ）()()22sin cos 2cos 12sin cos cos 2sin 2cos 2224f x x x x x x x
x x
x ππ=-+-=+=+⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭
所以最小正周期22
T π
π=
= ； （Ⅱ）因为,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦ ，所以2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 所以当2=4
4
x π
π
+
-
，即4
x π
=-
时，sin 24x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭ 有最小值22
-
， 所以()f x 有最小值-1，因为当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()f x m ≥ 恒成立，所以1m ≤- 即m 的取值范围是(,1]-∞-
能力提升训练
1．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】将函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=32sin )(πx x f 的图象向左平移m (0)m 个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的
图象,若对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立,则m 的最小值为（ ） A ．
2324
π
B ．
12
11π
C ．
12
π
D ．
24
π 【答案】D 【解析】
因为函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=32sin )(πx x f 的图象向左平移m (0)m 个单位长度,所以得到函数sin 223y x m π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()
g x 的图象,所以()sin 23g x x m π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，对任意的x ∈R 均有()12g x g π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
成立， 所以()g x 在12
x π
=
时，取得最大值，所以有 22()()12
3
2
24
m k k Z m k k Z π
π
π
π
ππ++
=+
∈⇒=+
∈而0m >，所以m 的最小值为
24
π. 2．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】若函数
()()()()3sin 2cos 20πf x x x θθθ=+++<<的图象关于π,02⎛⎫
⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在
ππ,46⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是（ ） A ．1-
B ．2
1
-
C ．3-
D ．3【答案】C
【解析】
由辅助角公式可得：()2sin 26f x x πθ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，函数图像关于π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称， 则当2
x π
=
时，()726
6x k k Z π
θθππ++
=+
=∈，即()7
6
k k Z θππ=-∈， 由于0πθ<<，故令2k =可得
5
6
， 函数的解析式为()52sin 22sin 266f x x x ππ⎛
⎫=++=- ⎪⎝⎭，
ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ232,x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在定义域内单调递减，
函数的最小值为：2sin 2366f ππ⎛⎫⎛⎫
=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：C .
3．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】若函数()()πsin 103f x x ωω⎛
⎫
=+
-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为2π
3，则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A ．π18x =- B ．5π2x =- C ．7π
18
x =
D ．π
2
x =
【答案】C 【解析】
函数()f x 的最小正周期为2π
2π
3
T ω
=
=
，解得=3ω. ()πsin 313f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
,令()ππ3π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ318k x k =+∈Z ，
取1k =，可得()f x 图象的一条对称轴为7π
18
x =
.故选C. 4．【安徽省1号卷�A10联盟2019届高考最后一卷】已知函数
()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝⎭
的部分图像如图所示，现将()f x 图像上所有点向左
平移
24
π
个单位长度得到函数()g x 的图像，则()g x （ ）
A ．在,212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 B ．在,213ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 C ．在27,36ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 D ．在,313ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上是增函数 【答案】D 【解析】
由图象得，2A =，53488T πππ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，则22T π
ω== 又532282k ππ
ϕπ⨯
+=+，k Z ∈ 24
k πϕπ∴=+，k Z ∈ 2
π
ϕ<
4
π
ϕ∴=
()2sin 24f x x π⎛
⎫
∴=+
⎪⎝
⎭
()2sin 22sin 22443g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
当,212x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，22,332x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时()g x 不单调，可知A 错误；
当,213x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭时，2192,3339x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，此时()g x 不单调，可知B 错误； 当27,36x ππ⎛⎫∈
⎪
⎝⎭
时，582,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()g x 不单调，可知C 错误； 当,313x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，192,
3339x πππ⎛⎫
+∈- ⎪⎝⎭
，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项：D
5．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试】已知曲线sin(2)6
y x π
=+向左平移(0)ϕϕ>个
单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12
π
-，则（ ）
A ．函数()y g x =的最小正周期2
T π
=
B ．函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．曲线()y g x =关于直线6
x π
=对称
【答案】C 【解析】
由题意知：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤
⎛
⎫=++
=++ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝
⎭ 则sin 2112g πϕ⎛⎫
-
== ⎪⎝⎭
222k πϕπ∴=+，k Z ∈ ()cos 26g x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
()g x 最小正周期22
T π
π=
=，可知A 错误； 当1117,1212x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，[]22,36x πππ+∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当23x π时，3262x ππ+=且3cos
02π=，所以2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当6
x π
=
时，()(2)(3)f f f π>->-且cos
02
π
=，所以,02
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
为()g x 的对称中心，可知D 错误.
本题正确选项：C
6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月)】函数()sin (0)f x x ωω=>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，……n A …在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得k t p A A A △是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=（ ）
A ．
40332
π
B ．
40352
π
C ．
40372
π
D ．
40392
π
【答案】C 【解析】 由2
x k π
ωπ=+
，得(21)2k x π
ω
+=
，k Z ∈， 由题意得35(21),,,,2222n x ππππωωωω
-=
⋯， 即1234357,1,,1,,1,,12222A A A A ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
由123A A A 是等腰直角三角形， 得12231A A A A k k ⋅=-， 即221
π
πωω
-⋅=-，得12
π
ω=
，
同理147A A A 是等腰直角三角形得44171A A A A k k ⋅=-，得232π
ω=. 同理6111A A A 是等腰直角三角形得611611A A A A k k ⋅=-，得252
πω= ……
(21)2
n n π
ω-=
则2019(220191)4037
22
πωπ⨯-==，
故选C.
7．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)】已知函数
()22233f x sinxcosx cos x =+
（1）求函数f （x ）的最小正周期； （2）当312x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，时，求证：()3f x ≥- 【答案】（1）π；（2）见解析. 【解析】
（1）()2
2233f x sinxcosx cos x =+232sin x cos x =223sin x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
.
所以f （x ）的最小正周期2T ππω=
=． （2）证明：因为312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，，即2332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，， 所以f （x ）在312ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，上单调递增． 当233x π
π
+=-时，即3x π
=-时，()3min f x =- 所以当312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，时，()3f x ≥- 8．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)】已知向量
()()
sin ,cos ,3cos ,cosx a x x b x ==(),f x a b =⋅. （1）求函数()f x a b =⋅的最小正周期；
（2）在ABC ∆中，7,sin 3sin BC B C =，若()1f A =，求ABC ∆的周长.
【答案】（1）π；（2）47+
. 【解析】
解：（1）()23sin cos cos f x x x x =+ 311cos2222
x x =++ ()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ 所以()f x 的最小正周期22T ππ=
=. （2）由题意可得1sin 262A π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以132666A πππ<+<， 所以52=66A π
π+，故3
A π=. 设角,,A
B
C 的对边分别为,,a b c ，则2222cos a b c bc A =+-.
所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =
故222793c c c =+-，解得1c =.
所以3,b ABC =∆的周长为47+
9．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】已知函数
()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，且cos 2cos 0ϕϕ+=. （1）求ω和()2
f π
的值； （2）若3()(0)25
f ααπ=<<，求sin α． 【答案】（1）2ω=，3；（2343+ 【解析】
（1）∵函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝⎭ 的最小正周期为2π
πω=，∴2ω=．
再根据2cos2cos 2cos 1cos 0ϕϕϕϕ+=-+=，∴cos 1ϕ=-（舍去），或1cos 2ϕ=， ∴3π
ϕ=，故()sin(2)3f x x π
=+， 故3()sin()23f ππ
π=+=（2）∵33()sin()2352
f απ
α=+=<，∴2πα+为钝角， 故24cos()1sin ()335
ππαα+
=--+=-， 故sin sin sin cos cos sin 333333a a ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3143343525+=⋅+=. 10．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】已知函数1(=cos 3sin cos )+2f x x x x -）. （I ）求()3
f π
的值； （II ）当[0,]2x π∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．
【答案】（I ）1 ； （II ）1(1,)2
--.
【解析】
（I ）21(=3sin cos cos +2f x x x x -）31=2cos 222x x -=sin(2)6x π-, 所以()13
f π
=. （II ）因为02x π
≤≤，所以52666x π
π
π-≤-≤.所以1sin 226
x π-≤-≤（）1. 由不等式()2c f x c <<+恒成立， 所以1,221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得 112
c -<<-.
所以实数c 的取值范围为1
(1,)2--.。