2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
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（1） 平面 ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）证明 平面 即得证；
（2）证明 平面 ， 即得证.
【详解】（1）由题得 又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ，
所以 ,
又 ， 平面 , ,
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行（垂直）位置关系的判定和证明一般有两种方法.
【分析】（1）先判断函数单调性，再由函数单调性的定义证明，即可得出结论；
（2）先假设存在 ，使 为奇函数，由 求出 ，再验证，即可得出结果.
【详解】（1） 在定义域上是减函数；证明如下：
因为 ，定义域为 ，
任取 ，则
，
因为 ，指数函数 是增函数，所以 ， ，
则 ，
所以 在定义域上是减函数；
（2）假设存在 ，使 为奇函数，因为定义域为 ，
C． ， ， ， ， 的最大值D． ， ， ， ， 的中位数
【答案】B
【分析】根据各个统计量的含义，即可判断.
【详解】标准差反映了各数据对平均数的偏离，
反映了一组数据的离散程度，在本题中即稳定程度，
而其他的统计量则不能反映稳定程度，
故选：B
10．已知向量 ， ，则 （）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】利用向量坐标运算求出夹角的余弦值，即可得出夹角.
【详解】 ，
，
， .
故选：D.
11．某班有50名学生，其中有45名学生喜欢乒乓球或羽毛球，32名学生喜欢乒乓球，26名学生喜欢羽毛球，则该班既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球的学生数占该班学生总数的比例是（）
A．38%B．26%C．19%D．15%
，故C错误；
对D， ，
，故D错误.
故选：B.
8．已知函数 ， ， 的图像如图所示，则（）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】D
【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，根据奇偶性可得对应函数解析式.
【详解】由 的图象关于 轴对称可知 为偶函数，故 ，
由 的图象可知， 为非奇非偶函数，故 ，
22．某校为实施垃圾分类，设计了甲､乙两种方案.为了解该校学生对这两种方案的支持程度，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案甲
480人
120人
320人
80人
方案乙
500人
100人
350人
50人
假设所有学生对方案是否支持相互独立，则据此估计
（1）该校男生中支持方案甲的概率为___________；
【详解】因为 ， ，
所以 .பைடு நூலகம்
故选：C
3．若 为 的边 的中点， （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的三角形法则得到 ， ，将两个等式相加可得结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又因为 为 的边 的中点，所以 ，
所以 ，即 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用向量加法的三角形法则求解是解题关键.
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积.即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积.《算数书》中将圆周率 近似取为3，则该困盖的体积(单位：立方丈)约为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选择条件①， 的周长为 ；条件② 的周长为 .
【分析】根据题干条件，再分别选择条件①和条件②，结合正弦定理和余弦定理，直接解三角形即可.
【详解】选择条件①： ，
根据 ，由正弦定理可得 ，
由余项定理可得： ，
所以 ，
即 ，由 ，可得 ，
所以 ， ，
依题意可知 ， ， ，
因为 ，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用和事件与积事件的概率关系求解是解题关键.
12．已知 ， 是不共线的两个向量，若 ， ， ，则（）
A． ， ， 三点共线B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线D． ， ， 三点共线
【答案】D
【分析】由于向量 、 以及 之间没有数量关系，所以考查
所以有 ，则 ，
此时 ，因此 ，
即满足 为奇函数，
因此，存在 ，使 为奇函数.
【点睛】方法点睛：
用定义法判断函数 在区间 上单调性的一般步骤：
（1）取值：任取 ，且 ；
（2）作差：计算 ；
（3）定号：通过化简整理，得到 的正负；
（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.
由 可得 ,即 是方程 的一个根，所以 是 的必要条件，
所以 是 的充分必要条件
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握充分必要条件的定义是本题解题关键.
6．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方关系式求出 ，再根据商数关系式求出 即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：掌握平方关系式和商数关系式是本题解题关键.
7．已知 ， ， ，下列命题为真命题的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】利用特殊值或者不等式的性质即可依次判断.
【详解】解：对A，满足 ，但若 ，则 ，故A错误；
对B， ，
，故B正确；
对C， ，
【分析】根据底面周长求出底面半径，即可求出体积.
【详解】设圆锥底面半径为 ，
则 ， ，
.
故选：A.
5．已知命题 是方程 的一个根， ，则 是 的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】由 是方程 的一个根，可得 ,即 ，所以 是 的充分条件；
D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
【分析】根据图象可得周期，求出 ，根据图象上最低点求出 ，再根据平移变换可得结果.
【详解】由图象可知周期 ，所以 ，
又图象上一个最低点为 ，所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以为了得到函数 ，只要把 上所有的点向右平行移动 个单位长度.
故选：A
（1） ， ， 中最大的为___________；
（2） ， ， 中最小的为___________.
【答案】
【分析】作差比较大小可得答案.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
，所以 ，
所以 .
所以 ， ， 中最大的为 ； ， ， 中最小的为 .
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：利用作差法比较大小是本题解题关键.
17．已知 ， ， 是三条直线， 是一个平面，下列命题不正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BC
【分析】根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解.
【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确；
对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；
【答案】C
【分析】根据直方图计算最右边两个矩形的面积可得结果.
【详解】“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为 .
故选：C
14．记函数 (其中 ， )的图像为 ，已知 的部分图像如图所示，为了得到函数 ，只要把 上所有的点（）
A．向右平行移动 个单位长度
B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据周期公式计算可知 、 正确； 不正确；根据 的图象可知 正确.
【详解】对于 ， ，故 正确；
对于 ， ，故 正确；
对于 ， ，故 不正确；
对于 ，因为 的图象是由 的图象进行翻折变换得到的，所以 的最小正周期为 .故 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据 的图象求最小正周期是本题解题关键.
由 的图象关于原点对称可知 为奇函数，故 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的奇偶性是本题解题关键.
9．为做好精准扶贫工作，需关注贫困户的年收入情况.经统计，某贫困户近5年的年收分别为 ， ， ， ， .下面给出的指标可以用来评估该贫困户年收入的稳定程度（）
A． ， ， ， ， 的平均数B． ， ， ， ， 的标准差
（2）该校学生中支持方案乙的概率为___________.
【答案】
【分析】（1）用支持方案甲的男生人数除以男生总人数可得结果；
（2）用支持方案乙的人数除以该校学生总人数可得结果.
【详解】（1）该校男生中支持方案甲的概率为 .
（2）该校学生中支持方案乙的概率为 .
故答案为： ； .
五、解答题
23．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点.求证
， ，可得 ，即可得解.
【详解】由 ，
，
故 ，
所以 ， ， 三点共线.
故选：D.
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了50根棉花的纤维长度(单位：mm)，其频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，估计事件“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为（）
A．0.30B．0.48C．0.52D．0.70
【点睛】关键点点睛：根据图象求出 和 是解题关键.
15．设函数 则满足 的 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分段讨论结合解析式即可求解.
【详解】当 ，即 时， ，解得 或 ，
，
当 ，即 时， ，解得 ，
，
综上，不等式的解集为 .
故选：D.
二、多选题
16．下列函数中最小正周期为 的是（）
所以 周长为 ；
选择条件②： ，
由 可得： ，所以 ，
根据 ，由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的周长为 .
25．已知函数 ， 为自然对数的底数.
（1）判断 在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在 ，使 为奇函数？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） 在定义域上是减函数；证明见详解；（2）存在， .
三、填空题
19．已知向量 ， ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可解得结果.
【详解】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：
20．若函数 在 时取得最大值，则 的一个取值为___________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】将 化为 ，根据正弦函数的最值可得 ， ，从中任取一个值作答即可得解.
2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题
1．设复数 满足 ，则 的共轭复数 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出复数 ，即可得出共轭复数.
【详解】 ， ，
.
故选：D.
2．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据交集的概念进行运算可求得结果.
方法一（几何法）：线线平行（垂直） 线面平行（垂直） 面面平行（垂直），它体现的主要是一个转化的思想.
方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.
24． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 .已知 ， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 的周长.
条件①： ；条件②： .
【答案】B
【分析】记“喜欢乒乓球“为事件 ，“喜欢羽毛球”为事件 ，则“喜欢乒乓球或羽毛球”为事件 ，“既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球”为事件 ，根据题意求出 、 、 ，再根据 可求得结果.
【详解】记“喜欢乒乓球“为事件 ，“喜欢羽毛球”为事件 ，则“喜欢乒乓球或羽毛球”为事件 ，“既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球”为事件 ，
【详解】因为
，
所以当 ， ，即 ， 时， 取得最大值，
所以 ， ，
所以 可以取 .
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：根据正弦函数的最值求解是解题关键.
四、双空题
21．设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数､几何平均数､调和平均数，古希腊数学家帕波斯(Paps)于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时 ， ， 的大小关系，则
对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.
故选：BC
18．已知函数 ，则（）
A． 是偶函数B． 在区间 上是增函数
C． 的最大值为0D． 在 内有2个零点
【答案】AC
【分析】根据偶函数的定义可知 正确；根据 在 上是增函数，在 上是减函数可知 不正确，利用单调性求出最大值可知 正确；利用解析式求出零点可知 不正确.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为偶函数，故 正确；
因为 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 时， 取得最大值 ，故 不正确， 正确；
由 得 ，得 ，得 ，即 在 内只有一个零点，故 不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：掌握函数奇偶性的定义、对数型复合函数的单调性、以及零点的概念是本题解题关键.
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）证明 平面 即得证；
（2）证明 平面 ， 即得证.
【详解】（1）由题得 又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ，
所以 ,
又 ， 平面 , ,
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行（垂直）位置关系的判定和证明一般有两种方法.
【分析】（1）先判断函数单调性，再由函数单调性的定义证明，即可得出结论；
（2）先假设存在 ，使 为奇函数，由 求出 ，再验证，即可得出结果.
【详解】（1） 在定义域上是减函数；证明如下：
因为 ，定义域为 ，
任取 ，则
，
因为 ，指数函数 是增函数，所以 ， ，
则 ，
所以 在定义域上是减函数；
（2）假设存在 ，使 为奇函数，因为定义域为 ，
C． ， ， ， ， 的最大值D． ， ， ， ， 的中位数
【答案】B
【分析】根据各个统计量的含义，即可判断.
【详解】标准差反映了各数据对平均数的偏离，
反映了一组数据的离散程度，在本题中即稳定程度，
而其他的统计量则不能反映稳定程度，
故选：B
10．已知向量 ， ，则 （）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】利用向量坐标运算求出夹角的余弦值，即可得出夹角.
【详解】 ，
，
， .
故选：D.
11．某班有50名学生，其中有45名学生喜欢乒乓球或羽毛球，32名学生喜欢乒乓球，26名学生喜欢羽毛球，则该班既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球的学生数占该班学生总数的比例是（）
A．38%B．26%C．19%D．15%
，故C错误；
对D， ，
，故D错误.
故选：B.
8．已知函数 ， ， 的图像如图所示，则（）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】D
【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，根据奇偶性可得对应函数解析式.
【详解】由 的图象关于 轴对称可知 为偶函数，故 ，
由 的图象可知， 为非奇非偶函数，故 ，
22．某校为实施垃圾分类，设计了甲､乙两种方案.为了解该校学生对这两种方案的支持程度，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案甲
480人
120人
320人
80人
方案乙
500人
100人
350人
50人
假设所有学生对方案是否支持相互独立，则据此估计
（1）该校男生中支持方案甲的概率为___________；
【详解】因为 ， ，
所以 .பைடு நூலகம்
故选：C
3．若 为 的边 的中点， （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的三角形法则得到 ， ，将两个等式相加可得结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又因为 为 的边 的中点，所以 ，
所以 ，即 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用向量加法的三角形法则求解是解题关键.
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积.即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积.《算数书》中将圆周率 近似取为3，则该困盖的体积(单位：立方丈)约为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选择条件①， 的周长为 ；条件② 的周长为 .
【分析】根据题干条件，再分别选择条件①和条件②，结合正弦定理和余弦定理，直接解三角形即可.
【详解】选择条件①： ，
根据 ，由正弦定理可得 ，
由余项定理可得： ，
所以 ，
即 ，由 ，可得 ，
所以 ， ，
依题意可知 ， ， ，
因为 ，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用和事件与积事件的概率关系求解是解题关键.
12．已知 ， 是不共线的两个向量，若 ， ， ，则（）
A． ， ， 三点共线B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线D． ， ， 三点共线
【答案】D
【分析】由于向量 、 以及 之间没有数量关系，所以考查
所以有 ，则 ，
此时 ，因此 ，
即满足 为奇函数，
因此，存在 ，使 为奇函数.
【点睛】方法点睛：
用定义法判断函数 在区间 上单调性的一般步骤：
（1）取值：任取 ，且 ；
（2）作差：计算 ；
（3）定号：通过化简整理，得到 的正负；
（4）得出结论：根据函数单调性的定义，得出结论.
由 可得 ,即 是方程 的一个根，所以 是 的必要条件，
所以 是 的充分必要条件
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握充分必要条件的定义是本题解题关键.
6．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方关系式求出 ，再根据商数关系式求出 即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：掌握平方关系式和商数关系式是本题解题关键.
7．已知 ， ， ，下列命题为真命题的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】利用特殊值或者不等式的性质即可依次判断.
【详解】解：对A，满足 ，但若 ，则 ，故A错误；
对B， ，
，故B正确；
对C， ，
【分析】根据底面周长求出底面半径，即可求出体积.
【详解】设圆锥底面半径为 ，
则 ， ，
.
故选：A.
5．已知命题 是方程 的一个根， ，则 是 的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】由 是方程 的一个根，可得 ,即 ，所以 是 的充分条件；
D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
【分析】根据图象可得周期，求出 ，根据图象上最低点求出 ，再根据平移变换可得结果.
【详解】由图象可知周期 ，所以 ，
又图象上一个最低点为 ，所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以为了得到函数 ，只要把 上所有的点向右平行移动 个单位长度.
故选：A
（1） ， ， 中最大的为___________；
（2） ， ， 中最小的为___________.
【答案】
【分析】作差比较大小可得答案.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
，所以 ，
所以 .
所以 ， ， 中最大的为 ； ， ， 中最小的为 .
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：利用作差法比较大小是本题解题关键.
17．已知 ， ， 是三条直线， 是一个平面，下列命题不正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BC
【分析】根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解.
【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确；
对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；
【答案】C
【分析】根据直方图计算最右边两个矩形的面积可得结果.
【详解】“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为 .
故选：C
14．记函数 (其中 ， )的图像为 ，已知 的部分图像如图所示，为了得到函数 ，只要把 上所有的点（）
A．向右平行移动 个单位长度
B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据周期公式计算可知 、 正确； 不正确；根据 的图象可知 正确.
【详解】对于 ， ，故 正确；
对于 ， ，故 正确；
对于 ， ，故 不正确；
对于 ，因为 的图象是由 的图象进行翻折变换得到的，所以 的最小正周期为 .故 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据 的图象求最小正周期是本题解题关键.
由 的图象关于原点对称可知 为奇函数，故 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的奇偶性是本题解题关键.
9．为做好精准扶贫工作，需关注贫困户的年收入情况.经统计，某贫困户近5年的年收分别为 ， ， ， ， .下面给出的指标可以用来评估该贫困户年收入的稳定程度（）
A． ， ， ， ， 的平均数B． ， ， ， ， 的标准差
（2）该校学生中支持方案乙的概率为___________.
【答案】
【分析】（1）用支持方案甲的男生人数除以男生总人数可得结果；
（2）用支持方案乙的人数除以该校学生总人数可得结果.
【详解】（1）该校男生中支持方案甲的概率为 .
（2）该校学生中支持方案乙的概率为 .
故答案为： ； .
五、解答题
23．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点.求证
， ，可得 ，即可得解.
【详解】由 ，
，
故 ，
所以 ， ， 三点共线.
故选：D.
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了50根棉花的纤维长度(单位：mm)，其频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，估计事件“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为（）
A．0.30B．0.48C．0.52D．0.70
【点睛】关键点点睛：根据图象求出 和 是解题关键.
15．设函数 则满足 的 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分段讨论结合解析式即可求解.
【详解】当 ，即 时， ，解得 或 ，
，
当 ，即 时， ，解得 ，
，
综上，不等式的解集为 .
故选：D.
二、多选题
16．下列函数中最小正周期为 的是（）
所以 周长为 ；
选择条件②： ，
由 可得： ，所以 ，
根据 ，由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的周长为 .
25．已知函数 ， 为自然对数的底数.
（1）判断 在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在 ，使 为奇函数？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） 在定义域上是减函数；证明见详解；（2）存在， .
三、填空题
19．已知向量 ， ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可解得结果.
【详解】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故答案为：
20．若函数 在 时取得最大值，则 的一个取值为___________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】将 化为 ，根据正弦函数的最值可得 ， ，从中任取一个值作答即可得解.
2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题
1．设复数 满足 ，则 的共轭复数 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出复数 ，即可得出共轭复数.
【详解】 ， ，
.
故选：D.
2．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据交集的概念进行运算可求得结果.
方法一（几何法）：线线平行（垂直） 线面平行（垂直） 面面平行（垂直），它体现的主要是一个转化的思想.
方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.
24． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 .已知 ， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 的周长.
条件①： ；条件②： .
【答案】B
【分析】记“喜欢乒乓球“为事件 ，“喜欢羽毛球”为事件 ，则“喜欢乒乓球或羽毛球”为事件 ，“既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球”为事件 ，根据题意求出 、 、 ，再根据 可求得结果.
【详解】记“喜欢乒乓球“为事件 ，“喜欢羽毛球”为事件 ，则“喜欢乒乓球或羽毛球”为事件 ，“既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球”为事件 ，
【详解】因为
，
所以当 ， ，即 ， 时， 取得最大值，
所以 ， ，
所以 可以取 .
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：根据正弦函数的最值求解是解题关键.
四、双空题
21．设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数､几何平均数､调和平均数，古希腊数学家帕波斯(Paps)于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时 ， ， 的大小关系，则
对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.
故选：BC
18．已知函数 ，则（）
A． 是偶函数B． 在区间 上是增函数
C． 的最大值为0D． 在 内有2个零点
【答案】AC
【分析】根据偶函数的定义可知 正确；根据 在 上是增函数，在 上是减函数可知 不正确，利用单调性求出最大值可知 正确；利用解析式求出零点可知 不正确.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为偶函数，故 正确；
因为 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 时， 取得最大值 ，故 不正确， 正确；
由 得 ，得 ，得 ，即 在 内只有一个零点，故 不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：掌握函数奇偶性的定义、对数型复合函数的单调性、以及零点的概念是本题解题关键.