人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第7讲分式方程

第7讲分式方程
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】试题解析：∵这组数据的众数为7，
∴x=7，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，
中位数为：1．
故选C．
考点：众数；中位数.
2．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF 的长度为（）
A．2 B．23C．3D．22
【答案】B
【解析】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=3OE=23．
3．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= b
x
的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一
次函数y=bx+ac的图象可能是（）
A．B．C．
D．【答案】B
【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=b
x
的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，
根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.
详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=b
x
的图象在第一象限有一个公共点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c=b，
∴a+c=0，
∴ac＜0，
∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选B.
点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0. 4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．1
2
B．2 C．
5
5
D．
25
5
【答案】A
【解析】分析：连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据正切的定义计算即可．
详解：
连接AC，
由网格特点和勾股定理可知，
AC=2,22,10AB BC ==， AC 2+AB 2=10，BC 2=10， ∴AC 2+AB 2=BC 2， ∴△ABC 是直角三角形， ∴tan ∠ABC=
21
2
22AC AB ==. 点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
5．如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D,E 分别在边AB,AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A′重合,若∠A=70°
,则∠1+∠2= ( )
A ．70°
B ．110°
C ．130°
D ．140°
【答案】D
【解析】∵四边形ADA'E 的内角和为（4-2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A'ED ，∠ADE=∠A'DE ，∠A=∠A'，∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°-∠A-∠A'
=360°-2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE ）=140°． 6．如图，在
ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：
，则DE ：EC=（ ）
A ．2：5
B ．2：3
C ．3：5
D ．3：2
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD
∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ∴△DEF ∽△BAF
∴()2
DEF ABF S S DE AB ∆∆=：：
∵DEF ABF S S 425∆∆=：：
， ∴DE ：AB=2：5 ∵AB=CD ， ∴DE ：EC=2：3 故选B
7．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1 B ．k≥－1
C ．k ＜－1
D ．k≤－1
【答案】C
【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得
故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当
时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当
时，方程没
有实数根．
8．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是
11()1323
x x x ▲
---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。

同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】设这个数是a ，把x=1代入方程得出一个关于a 的方程，求出方程的解即可． 【详解】设这个数是a ， 把x=1代入得：13（-2+1）=1-5a
3
-，
∴1=1-5a 3
-， 解得：a=1． 故选：D ．
本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a 的方程是解此题的关键．
9．已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )
A ．
B ．
C ． D
【答案】D
【解析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围，然后选择即可． 【详解】由题意得，2x+y=10， 所以，y=-2x+10， 由三角形的三边关系得，()2210210x x x x x -+--+⎧⎨⎩＞①
＜②
，
解不等式①得，x ＞2.5， 解不等式②的，x ＜5，
所以，不等式组的解集是2.5＜x ＜5，
正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象． 故选：D ．
10．如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是( )
A ．
32
OB CD
=
B ．
32
αβ= C ．
1232
S S = D ．
12
32
C C =
【解析】A 选项，在△OAB ∽△OCD 中，OB 和CD 不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A 选项不一定成立；
B 选项，在△OAB ∽△OCD 中，∠A 和∠
C 是对应角，因此αβ=，所以B 选项不成立； C 选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C 选项不成立；
D 选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D 选项一定成立. 故选D.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是____．
【答案】1． 【解析】寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，； 右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方： （4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，… ∴a=（36－6）2=1．
12．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是________________
【答案】222()2a b a ab b +=++
【解析】由图形可得：()2
222a b a ab b +=++
13．如图，ABC ∆中，∠BAC 75=︒，7BC =，ABC ∆的面积为14，D 为BC 边上一动点（不与B ，C 重合），将ABD ∆和ACD ∆分别沿直线AB ，AC 翻折得到ABE ∆和ACF ∆，那么△AEF 的面积的最小值为____．
【解析】过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，由折叠可得∠EAG ＝30°，而当AD ⊥BC 时，AD 最短，依据BC ＝7，△ABC 的面积为14，即可得到当AD ⊥BC 时，AD ＝4＝AE ＝AF ，进而得到△AEF 的面积最小值为：
12AF×EG ＝1
2
×4×2＝4. 【详解】解：如图，过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，
由折叠可得，AF ＝AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠FAC ， ∵∠BAC ＝75°， ∴∠EAF ＝150°， ∴∠EAG ＝30°， ∴EG ＝
12AE ＝1
2
AD ， 当AD ⊥BC 时，AD 最短， ∵BC ＝7，△ABC 的面积为14， ∴当AD ⊥BC 时，
1
142
BC AD ⋅=， 即：14274AD =⨯÷=AF AE ==， ∴11
4222
EG AE =
=⨯=. ∴△AEF 的面积最小值为：
12AF×EG ＝12
×4×2＝4， 故答案为：4. 【点睛】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用对应边和对应角相等．
14．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n 根图形需要____________根火柴.
n+
【答案】62
【解析】根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.
【详解】第一个图中有8根火柴棒组成，
第二个图中有8+6个火柴棒组成，
第三个图中有8+2×6个火柴组成，
……
∴组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.
故答案为6n+2
【点睛】
本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.
15．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．
【答案】1或5.
【解析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．
【详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1，
①如图，小正方形平移距离为1厘米；
②如图，小正方形平移距离为4+1＝5厘米．
故答案为1或5，
【点睛】
此题考查了平移的性质，要明确，平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答．
m n的值为16．已知关于x的一元二次方程20
x mx n
++=的两个实数根分别是x1=-2,x2=4，则+
________. 【答案】-10
【解析】根据根与系数的关系得出-2+4=-m ，-2×
4=n ，求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为x 1 =-2,x 2 =4， ∴−2+4=−m ，−2×4=n ， 解得：m=−2，n=−8， ∴m+n=−10， 故答案为：-10 【点睛】
此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键 17．已知关于x 的方程有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ．
【答案】1．
【解析】试题分析：∵关于x 的方程
有两个不相等的实数根，
∴
.
∴m 的最大整数值为1．
考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元一次不等式．
18．已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n m
m n
+= ． 【答案】225
-
． 【解析】试题分析：由m n ≠时，得到m ，n 是方程23650x x +-=的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
试题解析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴2m n +=，53
mn =-
． ∴原式=2
2
m n mn +=2
()2m n mn mn +-=
25
22()
223553
-⨯-=--，故答案为225-．
考点：根与系数的关系． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知：如图，AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠.求证：BC DE =.
【答案】见解析
【解析】先通过∠BAD=∠CAE 得出∠BAC=∠DAE ，从而证明△ABC ≌△ADE ，得到BC=DE ．
【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△ADE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．
∴BC=DE ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS 、SSS 、SAS 、SSA 、HL ．
20．如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，交AC 于点 E ．求证：
DE=CE ． 若∠CDE=35°，求∠A 的度数．
【答案】 (1)见解析;(2) 40°
. 【解析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD ，由DE ∥BC 可得出∠EDC=∠BCD ，进而可得出∠EDC=∠ECD ，再利用等角对等边即可证出DE=CE ；
（2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A 的度数．
【详解】（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．
（2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线．解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出
∠ACB=∠ABC=70°．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为；当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
【答案】解：（129
5
或
5
2
．（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由见解析.
【解析】（1）①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
②若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB 边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与
∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．
【详解】（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，
此时D为AB边中点，AD=
2
2
AC=2．
②当AC=3，BC=4时，有两种情况：
（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，
∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=1．
∴cosA=3
5
．∴AD=AC•cosA=3×
3
5
=
9
5
．
（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．
∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°．
又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD．∴AD=BD．
∴此时AD=AB=1
2
×1=
5
2
．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为9
5
或
5
2
．
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：如图所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=DB=1
2 AB，
∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,求证：AC•CD=CP•BP；若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）25 3
.
【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP AB
CD CP
=，即AB•CD=CP•BP，
由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴BP AB CD CP
=，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴BA BP BC BA
=．
∵AB=10，BC=12，
∴10
1210
BP
=，
∴BP=25
3
．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
23．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是事件；（可能，必然，不可能）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
【答案】（1）不可能事件；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可．
试题解析：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为
21 126
=．
考点：列表法与树状图法．
24．在同一副扑克牌中取出6张扑克牌，分别是黑桃2、4、6，红心6、7、8.将扑克牌背面朝上分别放在甲、乙两张桌面上，先从甲桌面上任意摸出一张黑桃，再从乙桌面上任意摸出一张红心.表示出所有可能出现的结果；小黄和小石做游戏，制定了两个游戏规则：
规则1：若两次摸出的扑克牌中，至少有一张是“6”，小黄赢；否则，小石赢.
规则2：若摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时，小黄赢；否则，小石赢.
小黄想要在游戏中获胜，会选择哪一条规则，并说明理由.
【答案】（1）：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（2）小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1，理由见解析
【解析】（1）利用列举法，列举所有的可能情况即可；
（2）分别求出至少有一张是“6”和摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时的概率，进行选择即可.
【详解】（1）所有可能出现的结果如下：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；
（1）摸牌的所有可能结果总数为9，至少有一张是6的有5种可能，
∴在规划1中，P （小黄赢）59
=； 红心牌点数是黑桃牌点数的整倍数有4种可能， ∴在规划2中，P （小黄赢）49=
. ∵5499
>，∴小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1. 【点睛】
考查列举法以及概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比. 25．有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？
【答案】规定日期是6天．
【解析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x 天，则若单独做，甲队需x 天，乙队需x+3天，根据题意列方程得
1122133
x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭ 解方程可得x=6，
经检验x=6是分式方程的解．
答：规定日期是6天．
26．先化简，再求值：2214422
x x x x x x x -÷-++++，其中1．
1．【解析】试题分析：
试题解析：原式=
2
2
21 (2)2
x x x
x x x
+-
⨯-
++
=
1
22 x x
x x
-
-
++
=
1
2 x+
当1时，原式1
=. 考点：分式的化简求值．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如右图,⊿ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°则∠C的大小为（）
A．62°B．56°C．60°D．28°【答案】A
【解析】连接OB．
在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），
∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；
又∵∠OAB=28°，
∴∠OBA=28°；
∴∠AOB=180°-2×28°=124°；
而∠C=1
2
∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠C=62°；
故选A
2．3的倒数是（）
A．3B．3-C．1
3
D．
1
3
-
【答案】C
【解析】根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
4．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=1
2
∠COB即可解决问题.
【详解】如图，连接OC，
∵AB=14，BC=1，
∴OB=OC=BC=1，
∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠CDB=1
2
∠COB=30°，
故选B．【点睛】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【答案】C
【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
试题解析：连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：AC=BC=5，AB=10．
∵（5）1+（5）1=（10）1．
∴AC1+BC1=AB1．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
考点：勾股定理．
6．将1、2、3、6按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）
A6B．6 C2D3
【答案】B
【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第
m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．
【详解】第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，
…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，
根据数的排列方法，每四个数一个轮回，
由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第5个数是6， （13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第1个就是6，
则（1，5）与（13，1）表示的两数之积是1．
故选B ．
7．化简
221x -÷11
x -的结果是( ) A ．21x + B ．2x C ．21x - D ．2(x ＋1)
【答案】A 【解析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式=
211x x +-（）（）•（x ﹣1）=21
x +． 故选A ．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( ) A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【解析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.
【详解】A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；
B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；
C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；
D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.
9．下列各数中最小的是（）
A．0 B．1 C D．﹣π
【答案】D
【解析】根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可判断．
【详解】﹣π0＜1．
则最小的数是﹣π．
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，理解任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小是关键．
10．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为
A．180180
1
(150%)
x x
-=
+
B．
180180
1
(150%)x x
-=
+
C．180180
1
(150%)
x x
-=
-
D．
180180
1
(150%)x x
-=
-
【答案】A
【解析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
180 x ﹣
180
150%x
+
（）
=1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问
人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，则可列方程为__________．
【答案】8374x x -=+
【解析】根据每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，可以列出相应的方程，本题得以解决
【详解】解：由题意可设有x 人,
列出方程：8374x
x +﹣＝， 故答案为8374x
x +﹣＝． 【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．若点A(1，m)在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________． 【答案】3
【解析】试题解析：把A （1，m ）代入y ＝
3x
得：m=3. 所以m 的值为3.
13．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 水平，BC 与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm ，CD=40cm ，BC=40cm ，那么该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线长为____cm ．
【答案】20310(140)33
cm π-+ 【解析】试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象．
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO 1，线段O 1O 2，圆弧23O O ，线段O 3O 4四部分构成． 其中O 1E ⊥AB ，O 1F ⊥BC ，O 2C ⊥BC ，O 3C ⊥CD ，O 4D ⊥CD ．
∵BC 与AB 延长线的夹角为60°，O 1是圆盘在AB 上滚动到与BC 相切时的圆心位置，
∴此时⊙O 1与AB 和BC 都相切．
则∠O 1BE=∠O 1BF=60度．
此时Rt △O 1BE 和Rt △O 1BF 全等，
在Rt △O 1BE 中，BE=1033cm ． ∴OO 1=AB-BE=（60-1033
）cm ． ∵BF=BE=1033
cm ， ∴O 1O 2=BC-BF=（40-
1033）cm ． ∵AB ∥CD ，BC 与水平夹角为60°，
∴∠BCD=120度．
又∵∠O 2CB=∠O 3CD=90°，
∴∠O 2CO 3=60度．
则圆盘在C 点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm 的圆弧23O O ．
∴23O O 的长=60360×2π×10=103
πcm ． ∵四边形O 3O 4DC 是矩形，
∴O 3O 4=CD=40cm ．
综上所述，圆盘从A 点滚动到D 点，其圆心经过的路线长度是:
（60-1033）+（40-1033）+103π+40=（140-2033
+103π）cm ． 14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10，8），则点E 的坐标为 .
【答案】（10，3）
【解析】根据折叠的性质得到AF=AD ，所以在直角△AOF 中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x ，则EF=DE=8-x ，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E 的坐标．
【详解】∵四边形AOCD 为矩形,D 的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE 折叠，使D 落在BC 上的点F 处，
∴AD=AF=10，DE=EF ，
在Rt △AOF 中,OF=22AF AO - =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x ，则DE=EF=8−x ，
在Rt △CEF 中,EF 2=EC 2+FC 2，
即(8−x)2=x 2+42，
解得x=3，即EC 的长为3.
∴点E 的坐标为(10,3).
15．如图，四边形ABCD 是菱形，☉O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE ，若∠D=78°，
则∠EAC=________°.
【答案】1．
【解析】解:∵四边形ABCD 是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=12
（180°-∠D ）=51°， 又∵四边形AECD 是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=1°.
故答案为:1°
16．化简))201720182121的结果为_____． 2【解析】利用积的乘方得到原式＝[21）2）]2017•（2），然后利用平方差公式计算．
【详解】原式＝[21）2）]2017•2）＝（2﹣1）2017•22．
2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝
3
2
，cosB＝
1
2
，则∠C＝_____．
【答案】60°．
【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=
3
2
，cosB=
1
2
，
∴∠A=∠B=60°．
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°．
故答案为60°．
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____．
【答案】5 3
【解析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．
【详解】设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt △DEF 中，由勾股定理得：
EF 2=DE 2+DF 2，
即x 2=（3-x ）2+12，
解得：x=53
， 故答案为53． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W （L ）与滴水时间t （h ）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求W 与t 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？
图 ① 图②
【答案】（1）0.3 L ；（2）在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.
【解析】（1）根据点()0,0.3的实际意义可得；
（2）设W 与t 之间的函数关系式为W kt b =+，待定系数法求解可得，计算出24t =时W 的值，再减去容器内原有的水量即可.
【详解】（1）由图象可知，容器内原有水0.3 L.
（2）由图象可知W 与t 之间的函数图象经过点（0，0.3），
故设函数关系式为W ＝kt ＋0.3.
又因为函数图象经过点（1.5，0.9），
代入函数关系式，得1.5k ＋0.3＝0.9，解得k ＝0.4.
故W 与t 之间的函数关系式为W ＝0.4t ＋0.3.
当t ＝24时，W ＝0.4×24＋0.3＝9.9（L ），9.9－0.3＝9.6（L ），
即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.
20．已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）
画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐
标；以点B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比为2︰1，并直接写出C 2点的坐标及△A 2BC 2的面积．
【答案】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（2，－2）．（2）如图，△A 2BC 2即为所求，C 2（1，0），△A 2BC 2的面积：10
【解析】分析：（1）根据网格结构，找出点A 、B 、C 向下平移4个单位的对应点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点1C 的坐标；（2）延长BA 到2A 使A 2A =AB ，延长BC 到2C ，使C 2C =BC ，然后连接A 2C 2即可，再根据平面直角坐标系写出2C 点的坐标，利用△2A B 2C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
本题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2)
(2)如图,△2A B 2C 为所求,2C (1,0)，
△2A B 2C 的面积： 6×4−12×2×6−12×2×4−12
×2×4=24−6−4−4=24−14=10， 21．如图，在△ABC 中，BC ＝12，tanA ＝34
，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．。