1.1.1变化率问题
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令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则 则
f (x2 ) − f (x1) ∆ △x 、△ y 的值可正、可负，但 ∆ x 的值可正、可负， ，式子中△ 值不能为0， 的值可以为0 的△x值不能为 ， △ y 的值可以为 值不能为 2，若函数 (x)为常函数时， △ y =0 ，若函数f 为常函数时， 3, 变式
r (2) −r (1) 气球的平均膨胀率为 ≈ 0.16(dm ), /L 2 −1
r (2) −r (1) ≈ 0.16(dm),
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) − r (V1 ) V2 − V1
问题2 问题 高台跳水
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h (单 单 单位: 位:m)与起跳后的时间 t (单位 s) 存在函数关系 与起跳后的时间 单位
f (x2 ) − f (x1) f (x1 + ∆ x) − f (x1) = x2 − x1 ∆x
思考:
观察函数f(x)的图象
f(x2 ) − f ( x1 ) 平均变化率 y x2 − x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的斜率
O
练习: 练习
1.甲用 年时间挣到 万元 乙用 个月时间挣到 万 甲用5年时间挣到 万元, 乙用5个月时间挣到 个月时间挣到2万 甲用 年时间挣到10万元 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 已知函数 的平均变化率. 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率 (1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .
2.求函数的平均变化率的步骤 求函数的平均变化率的步骤: 求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量∆f=∆y=f(x2)-f(x1); 求函数的增量
(2)计算平均变化率 ∆ y f (x2 ) − f (x1) 计算 = ∆x x2 − x1
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 需要用瞬时速度描述运动状态。
定义: 定义
f (x2 ) − f (x1) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率: 平均变化率 式子 x2 − x1 的平均变化率. 的平均变化率
1.1.1 变化率问题
问题1 问题 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何 描述这种现象呢? 描述这种现象呢 气球的体积V(单位 单位:L)与半径 单位 单位:dm)之间的函数关系是 气球的体积 单位 与半径r (单位 之间的函数关系是 4 3 V(r) = π r . 3 3 3V 随着 . 表示为体积V的函数 的函数, 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) = 4π 气球体积 当空气容量V从 增加到 增加到1L 当空气容量 从0L增加到 , 气球半径增加了 逐渐变大, 逐渐变大 r (1) −r (0) ≈ 0.62(dm), 它的平均 r (1) −r (0) 气球的平均膨胀率为 /L ≈ 0.62(dm ), 膨胀率逐 1− 0 当空气容量V从 增加到 增加到2 当空气容量 从1L增加到 L , 气球半径增加了 渐变小
做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+∆x,-2+∆y),则 ∆y/∆x=( ) D A、3 B、 3∆x-(∆x)2 C 、 3-(∆x)2 D 、3-∆x 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+∆x
小结： 小结：
∆ y f (x2 ) − f (x1) = 1.函数的平均变化率 函数的平均变化率 ∆x x2 − x1
h(2) − h(1) = −8.2(m ); v= /s 2 −1
探 究:
65 这段时间里的平均速度, 计算运动员在 0 ≤ t ≤ 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题: 并思考下面的问题
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
h(t) = −4.9t + 6.5t +10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: 动状态 那么 h(0.5) − h(0) 这段时间里, 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里 v = 这段时间里 = 4.05(m ); /s 0.5 − 0 这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里 这段时间里
f (x2 ) − f (x1) ∆ △x 、△ y 的值可正、可负，但 ∆ x 的值可正、可负， ，式子中△ 值不能为0， 的值可以为0 的△x值不能为 ， △ y 的值可以为 值不能为 2，若函数 (x)为常函数时， △ y =0 ，若函数f 为常函数时， 3, 变式
r (2) −r (1) 气球的平均膨胀率为 ≈ 0.16(dm ), /L 2 −1
r (2) −r (1) ≈ 0.16(dm),
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) − r (V1 ) V2 − V1
问题2 问题 高台跳水
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h (单 单 单位: 位:m)与起跳后的时间 t (单位 s) 存在函数关系 与起跳后的时间 单位
f (x2 ) − f (x1) f (x1 + ∆ x) − f (x1) = x2 − x1 ∆x
思考:
观察函数f(x)的图象
f(x2 ) − f ( x1 ) 平均变化率 y x2 − x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的斜率
O
练习: 练习
1.甲用 年时间挣到 万元 乙用 个月时间挣到 万 甲用5年时间挣到 万元, 乙用5个月时间挣到 个月时间挣到2万 甲用 年时间挣到10万元 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 已知函数 的平均变化率. 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率 (1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .
2.求函数的平均变化率的步骤 求函数的平均变化率的步骤: 求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量∆f=∆y=f(x2)-f(x1); 求函数的增量
(2)计算平均变化率 ∆ y f (x2 ) − f (x1) 计算 = ∆x x2 − x1
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 需要用瞬时速度描述运动状态。
定义: 定义
f (x2 ) − f (x1) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率: 平均变化率 式子 x2 − x1 的平均变化率. 的平均变化率
1.1.1 变化率问题
问题1 问题 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何 描述这种现象呢? 描述这种现象呢 气球的体积V(单位 单位:L)与半径 单位 单位:dm)之间的函数关系是 气球的体积 单位 与半径r (单位 之间的函数关系是 4 3 V(r) = π r . 3 3 3V 随着 . 表示为体积V的函数 的函数, 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) = 4π 气球体积 当空气容量V从 增加到 增加到1L 当空气容量 从0L增加到 , 气球半径增加了 逐渐变大, 逐渐变大 r (1) −r (0) ≈ 0.62(dm), 它的平均 r (1) −r (0) 气球的平均膨胀率为 /L ≈ 0.62(dm ), 膨胀率逐 1− 0 当空气容量V从 增加到 增加到2 当空气容量 从1L增加到 L , 气球半径增加了 渐变小
做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+∆x,-2+∆y),则 ∆y/∆x=( ) D A、3 B、 3∆x-(∆x)2 C 、 3-(∆x)2 D 、3-∆x 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+∆x
小结： 小结：
∆ y f (x2 ) − f (x1) = 1.函数的平均变化率 函数的平均变化率 ∆x x2 − x1
h(2) − h(1) = −8.2(m ); v= /s 2 −1
探 究:
65 这段时间里的平均速度, 计算运动员在 0 ≤ t ≤ 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题: 并思考下面的问题
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
h(t) = −4.9t + 6.5t +10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: 动状态 那么 h(0.5) − h(0) 这段时间里, 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里 v = 这段时间里 = 4.05(m ); /s 0.5 − 0 这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里 这段时间里