控制工程基础第三章参考答案.

第三章 习题及答案
传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。

发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?
解： 41min, =0.25min T T = 1111()=1-e
0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T
21T
22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-，
210.9
ln
2.20.55min 0.1
r t t t T T =-===
2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求：
⑴系统的零输入响应y x (t )；
⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )；
⑶激励f (t ) e 3t
(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。

解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++
)
()e 2
5e 223()()()( )
()e 2
1e 223()()()( )()e e 2()(2
112233)( )2(;
0 ,e 3e 4)( 34
221e e )( 2x 2222x 212
121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t t
t
εεεε------------+=+=+-==-=⇒+-+=
+++=
-=⇒⎩⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧--=+=⇒+=∴* )
()e
4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y t
t
t t t f f εεε------=+=-==*
3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e
4t t
ε-时，系统
的全响应)()e 6
1e 27e
3
14()(42t t y t t t
ε-----=。

试求零输入响应y x (t )与零状态响应y f (t )、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。

解：
.
, )();
()e 2
7e 314(: );(e 61:)( )()e 3e 4()()()()( )()e 3
221e 61( )
()]e 1(e 2
1)e 1(e 32[)(]e 2e 2[e )(),()e e 2()( ,2
112233
)(242x 24223 0 )(2)(422
}{不含稳态响应全为暂态自由响应强迫响应零状态响应零状态响应t y t t t t y t y t y t e t t d t y t t h p p p p p p H t t t t t t t t t t t t t
t t t t f f εεεεεετετττ----------------------=-=∴+--=---=-=-=+-+=+++=
⎰
4. 设系统特征方程为：0310126234
=++++s s s s 。

试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的
稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有
3
1210
010600
3
121001064=
∆
061>=∆
0621011262>=⨯-⨯=∆
051210110366101263>=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=∆ 015365123334>=⨯=∆=∆
所以，此系统是稳定的。

5. 试确定下图所示系统的稳定性.
解：210
110(1)
(1)(). ()210(21)1(1)
s s s s a G s s s s s s s +++=⋅=⨯+++
232()= (21)10(1)21101D s s s s s s s +++=+++
3 21
0. 1 10 21 1
2101
>0
21
1
Routh s s s s -
系统稳定。

210
10(2)
(). ()10(101)102101(2)s s b s s s s s s φ+==++++
+
2()= 10210D s s s ++
满足必要条件，故系统稳定。

6.已知单位反馈系统的开环传递函数为)
12.001.0()(2
++=s s s K
s G ξ，试求系统稳定时，参数K 和ξ的取值关系。

解：2
()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=
32()201001000D s s s s k ξ=+++=
321
0: 1 100
200 1002000100 0
20 1000
Routh s s k
k s s k ξξξ>->>
由Routh 表第一列系数大于0得0
020k k ξξ
>⎧⎪
>⎨⎪<⎩
，即)0,0(20>><k k ξξ
-1，求K 值应取的范围。

解：系统特征方程为
0)1.01)(2.0.1(=++K s s s
要使系统特征根实部小于1-，可以把原虚轴向左平移一个单位，令1+=s w ，即 1-=w s ，代入原特征方程并整理得
072.046.024.002.02
3
=-+++K w w w 运用劳斯判据，最后得
24.672.0<<K
8. 设系统的闭环传递函数为 222
()2n
c n n
G s s s ωξωω=++，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间
tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。

解：∵%100%2
1⨯=--ξξπ
σe
=9.6%
∴ξ=0.6 ∵t p =
πωξ
n 12
-＝0.2
∴ωn =
πξ
t p 131402106
2
2
-=
-=...19.6rad/s
9.设单位负反馈系统的开环传递函数为 )
6(25
)(+=
s s s G k
求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；
（2）系统的峰值时间t p 、超调量σ％、 调整时间t S (△=0.02)；
解：系统闭环传递函数2562525)6(25)
6(251)6(25
)(2++=++=++
+=s s s s s s s s s G B 与标准形式对比，可知 62=n w ξ ，252
=n w
故 5=n w ， 6.0=ξ
又 46.01512
2
=-⨯=-=ξn d w w 785.04
==
=
π
π
d
p w t
33.14
%
5.9%100%100%2
2
6.016.01==
=⨯=⨯=----n
s w t e
e
ξσπ
ξ
ξπ
10. 一阶系统结构图如下图所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数
21,K K 的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数
111)(212211211
+=+=+
=ΦK K s
K K K s K s
K K s K s
令闭环增益21
2
==
ΦK K ， 得：5.02=K
令调节时间4.03
32
1≤=
=K K T t s ，得：151≥K 。

11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程：T c t c t r t r t ••
+=+()()()()τ近似描述，其中，
1)(0<-<τT 。

试证系统的动态性能指标为：
T T T t d ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+=τln 693.0； t T r =22. ； T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入s
s R 1
)(= 当初始条件为0时有：
1
1
)()(++=Ts s s R s C τ 1
11
11)(+--
=
⋅
++=
∴
Ts T s s Ts s s C τ
τ C t h t T T
e t T
()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时
h t T T
e t t
d ()./==-
--051τ
12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴
T T T t d τln 2ln
2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)
当 T
t e
T
T t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T
t e T
T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==2109
01
22ln ... 3) 求 t s
T
t s s e T
T t h /195.0)(---
==τ
]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln
T
T T T T T T T T t s τ
ττ-+=+-=--=∴
12. 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε
124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434⨯-= 32348
316⨯-= 0 S 2
424316
4
12⨯-⨯= 48 S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s S 0 48
系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(4
5
=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
13.已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为)(1t 、t 和2
t 时系统的稳态误差。

⑴)15.0)(11.0(10
)(++=
s s s G
⑵)
22)(4()
3(7)(2
++++=
s s s s s s G 解： ⑴ 1010
()0
(0.11)(0.51)K G s v s s =⎧=
⎨
=++⎩
()(0.11)(0.51)100D s s s =+++=经判断系统稳定
()1()1111ss r t t A e K ==+
2
()()ss ss
r t t
r t t e e ===
∞
⑵ 2
73217(3)()428(4)(22)1
K s G s s s s s v ⨯⎧==+⎪
=⨯⎨+++⎪
=⎩ 2()(4)(22)7(3)0D s s s s s s =+++++=
经判断：系统不稳定。

14.已知单位负反馈系统的开环传递函数如下： )
2(100
)(+=
s s s G K
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；
（2）试求输入为t t r 31)(+=时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式
)
15.0(50
)2(100)(+=+=
s s s s s G K
可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50；
（2）讨论输入信号，t t r 31)(+=，即A ＝1，B ＝3 误差06.006.0050
3
111=+=+∞+=++=V p ss K B K A e
15. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下： )
2.0)(1.0(2
)(2
++=
s s s s G K 求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；
（2）试求输入为2
425)(t t t r ++=时，系统的稳态误差。

解：（1）将传递函数化成标准形式
)
15)(110(100
)2.0)(1.0(2)(22++=++=
s s s s s s s G K
可见，v ＝2，这是一个II 型系统 开环增益K ＝100； （2）讨论输入信号，2
425)(t t t r ++=，即A ＝5，B ＝2, C=4 误差04.004.000100
4
2151=++=+∞+∞+=+++=
a V p ss K C K B K A e
16.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。

⑴若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ ⑵当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a ）系统： 1
101
110)(+=
+=
s s K s G a ， 时间常数 10=T 632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；
对（a ）系统：1101
10101100
10110100
)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=
T 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a ）系统： 1)
()
()(==
s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。

对（b ）系统： 101101
101
1010011)
()
()(++=++
==
Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.0101
1
1.0≈⨯。

)(t h 和调节时间t s 。

解：依题，系统闭环传递函数
)1)(1(4)
4)(1(4
454)(2
12
T s T s s s s s s ++
=++=++=
Φ ⎩⎨
⎧==25
.01
21T T
4
1)4)(1(4
)()()(210++++=++=
Φ=s C s C s C s s s s R s s C
1)
4)(1(4
lim
)()(lim 00
0=++=Φ=→→s s s R s s C s s
34
)4(4lim
)()()1(lim 0
1
1-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
3
1
)1(4lim
)()()4(lim 0
4
2=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
t t e e t h 43
1
341)(--+-=
42
1
=T T ， ∴3.33.3111==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T T T t t s s 。

18. 设下图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。

试确定系统参数,1K 2K 和a 。

解：由系统阶跃响应曲线有
⎪⎩⎪
⎨⎧=-===∞o
o o o
p t h 3.33)34(1.03)(σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2122
12)(n
n n s s K K as s K K s ωξωω++=++=Φ （1） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧
===-=--o o o
o n
p e t 3.331.012
12
ξξπσωξπ 联立求解得 ⎩⎨⎧==28.3333.0n ωξ 由式（1）⎩
⎨⎧====2221108
2
1n n a K ξωω
另外 3lim 1
)(lim )(21
22100
==++=⋅
Φ=∞→→K K as s K K s s s h s s
19. 设角速度指示随动系统结构图如下图所示。

若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？
解 依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。

写出系统闭环传递函数
K
s s K
s 101010)(2++=Φ
闭环特征多项式
2
0022
02
1211010)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=K T T 101102
2
00 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s
20.单位反馈系统的开环传递函数为：)
12)(1()
1()(+++=
s Ts s s K s G 。

试在满足 1,0>>K T 的条件下，
确定使系统稳定的T 和K 的取值范围，并以T 和K 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。

解 特征方程为：
0)1()2(2)(2
3
=+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>⇒T S 2 T +2 K 2->⇒T S T
TK K +-+221 1
4
2-+
<⇒K T S 0 K 0>⇒
K
综合所得条件，当1>K 时，使系统稳定的参数取值 范围如图中阴影部所示。

21.温度计的传递函数为
1
1
+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
1
1
)(+=
ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T h 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
Ts s s s G 1
)(1)()(=Φ-Φ=
⎩⎨⎧==1
1v T K
用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T K
e ss ︒===
5.21010。

解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有
1
111)()(1)()()(+=+-=-==
ΦTs Ts
Ts s R s C s R s E s e C T s
Ts Ts s
s R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.21010
1lim )()(lim 20
22.系统结构图如图所示。

试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为 )
1()
12(10)(2
++=
s s s s G ∞==∞
→)(lim s G K s p
∞==→)(lim 0
s sG K s v
10)(lim 20
==→s G s K s a
局部反馈加入后，系统开环传递函数为
)20()12(1012011(10
12)(2+++=++
+⋅+=s s s s s s s s s s G ）
（）
∞==→)(lim 0
s G K s p
5.0)(lim 0
==→s sG K s v
0)(lim 20
==→s G s K s a
23.已知单位反馈系统的开环传递函数为:)
22)(4()
1(7)(2++++=
s s s s s s G 。

试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2
t 时系统的稳态误差[)()()(t c t r t e -=]。

解 )22)(4()
1(7)(2++++=s s s s s s G ⎩⎨⎧==1
7v K
由静态误差系数法
)(1)(t t r =时， 0=ss e t t r =)(时， 14.17
8
===
K A e ss
2)(t t r =时， ∞=ss e
24.系统结构图如图3-59所示，要使系统对)(t r 而言是II 型的，试确定参数0K 和τ的值。

解 )1()1)(1()
1()
1)(1()1(1)1)(1()1()(02121021+-+++=
+++-
+++=s K K s T s T s K s T s T s K K s T s T s K s G ττττ )
1()()
1(0021221K K s K K T T s T T s K -+-+++=
ττ
依题意应有：⎩⎨⎧=-+=-001021
0τK K T T K K 联立求解得 ⎩⎨⎧+==2101T T K
K τ
此时系统开环传递函数为 2
2121)()(s
T T K
s T T K s G ++=
考虑系统的稳定性，系统特征方程为
0)()(21221=+++=K s T T K s T T s D
当 1T ，2T ，0>K 时，系统稳定。

25.大型天线伺服系统结构图如图所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15s 。

⑴当干扰)(110)(t t n ⋅=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01º，试确定a K 的取值； ⑵当系统开环工作（a K =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ⋅=引起的系统响应稳态值。

解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为
2
222)2)(1()1()()
()(n
a n n n en K s s s s s s N s E s ωωξωττω+++++-==Φ )(110)(t t n ⋅=时， 令
a
en s en s ssn K s s s s s N s e 10
)(10lim )()(lim 0
=Φ⋅⋅
=Φ⋅⋅=→→01.0≤ 得： 1000≥a K
（2）此时有
)
2(10)()2()()(22
22
222n n n
n n n s s s s N s s s s C s E ωξωωωξωω++-=⋅++-=-= -∞==∞=→)(lim )(0
s sE e e s ss
26.已知控制系统结构图如图所示，试求：
⑴按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数)(s n Φ； ⑵当干扰)(1)(t t n ⋅∆=时，系统的稳态输出；
⑶若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求)(t n 对输出)(t c 稳态值影响最小的适合K 值。

解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为
25
65
20)5)(1(5)()()(2+++=++++==
Φs s s s s s s N s C s n （2）5
)(lim )()(lim )(0
∆=∆⋅Φ=⋅Φ=∞→→s s s s N s s c n s n s n （3）有顺馈时，系统误差传递函数为
25
6205)
5)(1(2012520111)()()(2++-+=+++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-
+=
=Φs s K s s s s K s s N s C s n
令 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∆=∆⋅
Φ=⋅Φ=∞→→25205)(lim )()(lim )(0
K s s s s N s s c n s n s n =0 得 25.0=K
27.试求图中所示系统总的稳态误差。

解：(a). 2
()
1(0.51)
()200()0.52001(0.51)
e E s s s s R s s s s s φ+=
==++++
2()
1(0.51)
()200()0.52001(0.51)
en E s s s s N s s s s s φ+=
==+++
+
120
lim ()()lim ()()ss ss ss e en s s e e e s s R s s s N s φφ→→=+=⋅⋅+⋅⋅
220
0(0.51)1(0.51)0.1
lim lim 00.52000.5200s s s s s s s s s s s s s s
→→++=⋅
⋅+⋅⋅=++++
(b). 2
21(1)()111(1)
e s s s s s s s s φ++==+++
+
2
1(1)
()11
1(1)
en s s s s s s s φ+=
=
+++
+ 212
22200(1)1(1)1
lim lim 111ss ss ss s s s s s s e e e s s s s s s s s
→→++=+=⋅⋅+⋅⋅=++++
28.设复合校正控制系统结构图如图3-65所示，其中N(s)为可量测扰动。

若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置G c1(s)和串联校正装置G c2(s)。

解 （1）求)(1s G c 。

令
[]0)
()1()1()()
1()(1)()1(11)()()(221111122
21112
112=++++-+=++++-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++==Φs G K K Ts K Ts s s G K K s K Ts s s G K K s K s G Ts s K K s K Ts K s N s C s c c c c n 得：
1
1
1)(K K s s G c +=。

（2）求)(2s G c 。

令
)()1()1(1)(()
1()(11)
()()(2211122111
s G K K Ts K Ts s Ts K s Ts s s G K K s K s K s R s E s c c e ++++++=++
++
==Φ）
当)(1)(t t r =作用时，令 0)
(lim 1
)(lim 2211100
=+=⋅
Φ=→→s G K K K K s s s e c s e s ss
明显地，取 s
s G c 1
)(2= 可以达到目的。

29.复合控制系统结构图如图所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。

⑴确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件；
⑵当输入t V t r 0)(=时，选择校正装置)(s G C ，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数
2
1211221212122
)1)(1()1)(()1)(1()
1)(1(1)
()1(1)()
()(K K s T s T s s T s G K s T s T s s T s T s K K s G s T s K s R s E s c c e ++++-++=
+++
+-
==Φ 212
213
21)()(K K s s T T s T T s D ++++= 列劳斯表
2
10
212
121211212
12
2130
1K K s T T K K T T T T s K K T T s T T s +-++
因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。

（2）令 212112212
00
)1)(1()1)(()1)(1(lim )()(lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s
V s s R s s e c s e s ss ++++-++⋅⋅
=⋅Φ=→→ 0)(1lim
2210
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=→s s G K K K V c s 可得 2)(K s s G c =
30.系统结构图如图所示。

⑴为确保系统稳定，如何取K 值？
⑵为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左侧，K 应取何值？ ⑶若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差25.0≤ss e ，K 应取何值？ 解 )5)(10(50)(++=
s s s K
s G ⎩⎨⎧=1
v K
（1） K s s s s D 505015)(2
3
+++=
Routh ：
501515)
15(5050155010
1
2
3>→<→-K K
s K K s
K
s s
系统稳定范围： 150<<K
（2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s
K s s s s D 50)1(50)1(15)1()(2
3
+-'+-'+-'='
)3650(231223-+'+'+'=K s s s
Routh ： 72
.050
36
36
5024.650312
125031236
50122310
1
2
3=>→-'=<
→-'-''K K s K K
s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0<<K （3）由静态误差系数法
当 22)(+=t t r 时，令 25.02
≤=K
e ss 得 8≥K 。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K
31.判断下列系统的能控性。

1) u x x x x
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x
解：
1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=0111A ，所以
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==1011Ab b
U C
显然有
[]n Ab b
U C ===2rank rank
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。

2)由于该系统控制矩阵为
100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
系统矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010
A
则有，
010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
从而系统的能控性矩阵为
21001110111171117115C U B
AB
A B -⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
有
n U C ==3rank
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。

32.判断下列系统的能观测性。

⑴
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21210111x x x x []⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=21 11x x y
⑵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321 342100010x x x x x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32121 121110x x x y y
解
⑴系统的观测矩阵[]11=C ，系统矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=0111A ，得 [][]120111 11=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=CA
系统能观性矩阵为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211 CA C U O
可知
n CA C U O ==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2rank rank
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

⑵系统的观测矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121110C ，系统矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010
A ，于是
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=132442342100010 121110CA ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=0228148342100010 1324422CA
系统能观性矩阵为
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0228148132442121110
2CA CA C U O
易知
n CA CA C U O ==⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3rank rank 2
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

33.试确定当p 与q 为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。

u p x x x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011212121 []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=21 1x x q y
解 系统的能控性矩阵为
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--==p p p Ab b U C 1
12 其行列式为
[]12det 2-+=p p Ab b
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即[]0det ≠Ab b ，可知4
-≠p 或3≠p 。

系统能观测性矩阵为
1112O c q
U cA q q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
其行列式为
2det 121c q q cA ⎡⎤
=--⎢⎥⎣⎦
根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即det 0c cA ⎡⎤≠⎢⎥⎣⎦
，可知31
≠q 或
4
1
-≠q 。

34.将下列状态方程化为能控标准形
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 解 该状态方程的能控性矩阵为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-==7111Ab b
U C 知它是非奇异的。

求得逆矩阵有，
()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡-=-818
1
81871C U 由[]
[
]
1
11 100--=b A Ab b P n 得 []()[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-==-8181818
1
8187
10101
1C U P 同理，由A P P 12=得
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=434
1
2P 从而得到P
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4341
818121P P P ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----=-814
18143811
P 由此可得，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-==-5101064132164132
3 4321 434181811
PAP A C
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-==1011 434
1818
1Pb b C
所以，
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 此即为该状态方程的能控标准形。

□
35.将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。

u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121111
[]x y 11-=
解 给定系统的能观性矩阵为
1102O c U cA -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
知它是非奇异的。

求得逆矩阵有，
()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡
-=-2102111
O U 由此可得，
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡-=212110 2102111T
根据求变换矩阵T 公式有，
[]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==121
02111
AT T T ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-11021T
代入系统的状态表达式。

分别得
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-212012102
1 1111 11021AT T A O
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1412 11021
b T b O
[][]1
02
11 01112
O c cT ⎡⎤
⎢⎥
==-=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
所以该状态方程的能观标准型为
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=142120
[]x y 10=
36.系统传递函数为()12
221228
223++++=
s s s s s G
1) 建立系统能控标准形实现。

2) 建立系统能观测标准形实现。

解
1) 将()s G 分子分母同时除以2，可得()s G 的首项为一的最小公分母为
()61162332213+++=+++=s s s a s a s a s s ψ
则，
()()()43221+=++==s b s b s b s G s s P ψ
由于()s G 阵的p q >，可采用能控性实现为
1100010001006116p p l p l p
p pl pl
I A I a I a I a I -⨯⎡⎤
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥---⎢
⎥⎣⎦---⎢⎥⎣
⎦ ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯10000p
pl p I B [][]01411==⨯-pl q l l
b b b C
验证由以上A ，B ，C 构成的状态空间表达式，必有()()s G B IA s C =--1
，从而此为该系统的能控
性实现。

2) 将()s G 分子分母同时除以2，可得()s G 的首项为一的最小公分母为
()61162332213+++=+++=s s s a s a s a s s ψ
则，
()()()43221+=++==s b s b s b s G s s P ψ
由于()s G 阵的p q >，可采用能观性实现为
110
006010110160
l q q
l q q
q ql ql
a I I a I A I a I -⨯-⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦ ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯-01411p
ql l l b b b B
[]
[]10000==⨯ql
q q
I C
验证由以上A ，B ，C 构成的状态空间表达式，必有()()s G B IA s C =--1
，从而此为该系统的能观
性实现。