湖北省鄂州市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷含解析

湖北省鄂州市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列运算正确的是（ ） A ．a 3•a 2=a 6
B ．a ﹣2=﹣
2
1
a C ．33﹣23=3 D ．（a+2）（a ﹣2）=a 2+4
2．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
3．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A ．30和 20
B ．30和25
C ．30和22.5
D ．30和17.5
4．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)．若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有( )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
5．如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ）
A ．310
B ．3
C ．9
D ．92
6．如图，在ABCD Y 中，E 为边CD 上一点，将ADE V 沿AE 折叠至AD'E △处，'AD 与CE 交于点F ，
若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则'FED ∠的大小为（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．36°
D ．40°
7．如图所示，数轴上两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则下列四个数中最大的一个数是（ ）
A ．a
B ．b
C ．1
a
D ．
1b
8．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）
A ．4
B ．23
C ．12
D ．43
10．函数y ＝mx 2+（m+2）x+1
2
m+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A ．0
B ．0或2
C ．0或2或﹣2
D ．2或﹣2
11．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为( )
A ．2πcm
B ．4πcm
C ．6πcm
D ．8πcm
12．下列各式计算正确的是( )
A ．633-=
B ．1236⨯=
C ．3535+=
D ．1025÷=
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为4时，阴影部分的面积为_____．
14．在矩形ABCD 中，AB=4， BC=3， 点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的
处，则AP 的长为__________．
15．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是_____(填“甲”或“乙”)． 16．如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l //，则12∠-∠=__________．
17．在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为23，则a 的值是_____．
18．如图所示，点A 1、A 2、A 3在x 轴上，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3，分别过点A 1、A 2、A 3作y 轴的平行线，
与反比例函数y=
k
x
（x ＞0）的图象分别交于点B 1、B 2、B 3，分别过点B 1、B 2、B 3作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点C 1、C 2、C 3，连接OB 1、OB 2、OB 3，若图中三个阴影部分的面积之和为49
9
，则k= ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.
（1）求证：BE＝CE
（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；
③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.
20．（6分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米2？该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
21．（6分）鲜丰水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售.
()1据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于多少元?
()2在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒水果礼盒的售价
比(1)中最高售价减少了1
%
5
m，月销量比(1)中最低月销量800盒增加了%
m，结果该月水果店销售该水
果礼盒的利润达到了4000元，求m的值.
22．（8分）为纪念红军长征胜利81周年，我市某中学团委拟组织学生开展唱红歌比赛活动，为此，该校随即抽取部分学生就“你是否喜欢红歌”进行问卷调查，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和扇形统计图．
态度非常喜欢喜欢一般不知道
频数90 b 30 10
频率 a 0.35 0.20
请你根据统计图、表，提供的信息解答下列问题：
（1）该校这次随即抽取了名学生参加问卷调查：
（2）确定统计表中a、b的值：a= ，b= ；
（3）该校共有2000名学生，估计全校态度为“非常喜欢”的学生人数．
23．（8分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A （2,1）.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
如图（1）当射线DN经
过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当
△DEF的面积等于△ABC的面积的1
4
时，求线段EF的长．
26．（12分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=3
4
x+b都与双曲线y=
k
x
交于点A（1，m），这两条直线分别与x
轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
27．（12分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）
分别求出y 1、y 2的函数关系式（不写自变
量取值范围）；通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案． 【详解】
A 、a 3•a 2=a 5，故A 选项错误；
B 、a ﹣2=
2
1
a ，故B 选项错误； C 、3﹣33C 选项正确； D 、（a+2）（a ﹣2）=a 2﹣4，故D 选项错误， 故选C ． 【点睛】
本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．D 【解析】
分析：先根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．
点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
3．C
【解析】
【分析】
将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．
【详解】
将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30，
所以该组数据的众数为30、中位数为=22.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．C
【解析】
试题分析：过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．
考点：等腰三角形的性质；勾股定理．
解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P′，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P′D=P′B ，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD+PE 最小，为BE 的长度．∵直角△CBE 中，∠BCE=90°，BC=9，CE=
1
3
CD=3，∴BE=2293+=310．故选A ．
点睛：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P 点位置是解题的关键． 6．C 【解析】 【分析】
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴D B 52∠∠==︒，
由折叠的性质得：D'D 52∠∠==︒，EAD'DAE 20∠∠==︒，
∴AEF D DAE 522072∠∠∠=+=︒+︒=︒，AED'180EAD'D'108∠∠∠=︒--=︒， ∴FED'1087236∠=︒-︒=︒； 故选C ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED′是解决问题的关键． 7．D 【解析】 【详解】
∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大． ∴
1
a ＜a ＜
b ＜1b
， 故选D ．
试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.
9．D
【解析】
分析：
由图1、图2结合题意可知，当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=3，这样如图3，过点P 作PD⊥AB于点P，连接AD，结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.
详解：
由题意可知：当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=3，如图3，过点P作PD⊥AB于点P，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，
∴∠ABC=60°，AD⊥BC，
∵DP⊥AB于点P，此时DP=3，
∴BD=
3
32 sin60
PD
=÷=
o
，
∴BC=2BD=4，
∴AB=4，
∴AD=AB·sin∠B=4×sin60°=23，
∴S△ABC=1
2
AD·BC=
1
23443
2
⨯⨯=.
故选D.
点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短3是解答本题的关键. 10．C
【解析】
【分析】
根据函数y＝mx2+（m+2）x+1
2
m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，
本题得以解决．【详解】
解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+1
2
m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+1
2
m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（1
2
m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
11．B
【解析】
【分析】
首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，根据已知条件可得：OA=2OC，进而求出∠AOC的度数，则圆心角∠AOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长．
【详解】
解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=6，OC=3，
∴OA=2OC，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴劣弧AB的长=1206
180
π
⨯⨯
=4π，
故选B．【点睛】
本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．
12．B
【解析】
A 选项中，∵63、不是同类二次根式，不能合并，∴本选项错误；
B 选项中，∵123=36=6⨯，∴本选项正确；
C 选项中，∵35=35⨯，而不是等于3+5，∴本选项错误；
D 选项中，∵10102=
5÷≠，∴本选项错误； 故选B.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．4π﹣1
【解析】
分析：连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
详解：
连接OC ∵在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是»AB 的中点，
∴∠COD=45°，
∴22，
∴阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积
=22451(42)43602
π⨯⨯-⨯=4π-1． 故答案是：4π-1.
点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
14．32或94
【解析】
【详解】
①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，设AP=x ，则BP=4﹣x ，∵BP 2=BA′2+PA′2，
∴（4﹣x ）2=x 2+22，
解得：x=32，∴AP=32； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，
∴△DAP ∽△ABC ，
∴
AD AB AP BC =， ∴AP=AD BC AB g =334
⨯=94． 故答案为32或94．
15．甲．
【解析】
乙所得环数的平均数为：
0159105++++=5， S 2=1n
[21x x （－）+22x x （－）+23x x （－）+…+2n x x （－）] =1
5
[205（－）+215（－）+255（－）+295（－）+2105（－）] =16.4，
甲的方差＜乙的方差，所以甲较稳定.
故答案为甲.
点睛：要比较成绩稳定即比方差大小，方差越大，越不稳定；方差越小，越稳定.
16．72
【解析】
分析：延长AB 交2l 于点F ，根据12//l l 得到∠2=∠3,根据五边形ABCDE 是正五边形得到∠FBC=72°
,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB 交2l 于点F ，
∵12//l l ，
∴∠2=∠3，
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为：72°
. 点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
17．2
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：过P 点作PE ⊥AB 于E ，过P 点作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，连接PA ．
∵PE ⊥AB ，3，半径为2，
∴AE=123PA=2， 根据勾股定理得：PE=1， ∵点A 在直线y=x 上，
∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD 是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
∴2
∵⊙P 的圆心是（2，a ），
∴2．
【点睛】
本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x 或直线y=-x 与x 轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．
18．1．
【解析】
【分析】
先根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到112233OB C OB C OB C 11S S S |k |k 22
∆====V V ,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到用含k 的代数式表示3个阴影部分的面积之和，然后根据三个阴影部分的面积之和为
4918，列出方程，解方程即可求出k 的值． 【详解】 解：根据题意可知，112233OB C OB C OB C 11S S S |k |k 22
∆====V V 11223112233,//////OA A A A A A B A B A B y ==Q 轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为123,,S S S ， 则112
s k =， 11223OA A A A A ==Q ，
222333:1:4,:1:9OB C OB C S S S S ∴==V V
2311,818
S k S k ∴== 11149281818
k k k ∴++= 解得：k=2．
故答案为1．
考点：反比例函数综合题．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）详见解析；（1）①详见解析；②1；③624
.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；
（1）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；
②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（1）①解：如图1中，
由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，
∴S△BMN=1 2•x
（4-x）=-
1
2
（x-1）1+1，
∵-
1
2
＜0，
∴x=1时，△BMN的面积最大，最大值为1．
③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=3m，EB=6m．
∴3（3m，
∵S△BEG=
1
2
•EG•BN=
1
2
•BG•EH，
∴EH=
3?(13)
m m
+3+3
m，
在Rt△EBH中，sin∠EBH=
3+3
62
2
6
EH
EB m
+
==．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，
20．(1)2000；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x
-= 4 解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得，
（20﹣3x ）（8﹣2x ）=56
解得：x=2或x=263
（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．
21．（1）若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于20元；（2）m 的值为25.
【解析】
【分析】
（1）设每盒售价应为x 元，根据月销量=980-30×超出14元的部分结合月销量不低于800盒，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；
（2）根据总利润=每盒利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：()1设每盒售价x 元.
依题意得：()9803014800x --≥
解得：20x ≤
答：若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于20元
()2依题意：()1201%12125%5m ⎡⎤⎛⎫--⨯+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
()8001+m%4000⨯= 令：%m t =
化简：240t t -= 解得：10t =（舍）214
t = 25m ∴=，
答：m 的值为25.
【点睛】
考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系或不等关系是解题的关键.
22．（1）200,；（2）a=0.45，b=70；（3）900名.
【解析】
【分析】
（1）根据“一般”和“不知道”的频数和频率求总数即可（2）根据（1）的总数，结合频数，频率的大小可得到结果（3）根据“非常喜欢”学生的比值就可以计算出2000名学生中的人数.
【详解】
解：（1）“一般”频数30，“不知道”频数10，两者频率0.20，根据频数的计算公式可得，总数=频数/频率
=3010
200
0.20
+
=（名）；
（2）“非常喜欢”频数90，a=90
0.45
200
=b2000.3570
=⨯=;
（3）20000.45900
⨯=.
故答案为（1）200,；（2）a=0.45，b=70；（3）900名.
【点睛】
此题重点考察学生对频数和频率的应用，掌握频率的计算公式是解题的关键.
23．40%
【解析】
【分析】
先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为500（1-x）元，第二次降价后的价格为500（1-2x），根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【详解】
第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，
根据题意得：500（1﹣x）（1﹣2x）＝240，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.3＝130%．
则第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可．
24．(1) B（-1.2）;(2) y=57
x?
66
x
-;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；
（2）根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA 解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可
得到四边形ABOP 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P 点的坐标．
【详解】
（1）如图1，过A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ，
∵△AOB 为等腰三角形，
∴AO=BO ，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD ，
在△ACO 和△ODB 中
AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACO ≌△ODB （AAS ），
∵A （2，1），
∴OD=AC=1，BD=OC=2，
∴B （-1，2）；
（2）∵抛物线过O 点，
∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，
把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得5676a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝， ∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=
56x 2-76x ； （3）∵四边形ABOP ，
∴可知点P 在线段OA 的下方，
过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，
设直线AO解析式为y=kx，∵A（2，1），
∴k=1
2
，
∴直线AO解析式为y=1
2
x，
设P点坐标为（t，5
6
t2-
7
6
t），则E（t，
1
2
t），
∴PE=1
2
t-（
5
6
t2-
7
6
t）=-
5
6
t2+
5
3
t=-
5
6
（t-1）2+
5
6
，
∴S△AOP=1
2
PE×2=PE═-
5
6
（t-1）2+
5
6
，
由A（2，1）可求得5
∴S△AOB=1
2
AO•BO=
5
2
，
∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-5
6
（t-1）2+
5
6
+
5
2
=()2
510
1
63
t
--+，
∵-5
6
＜0，
∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，-1
3），
综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，-1
3）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25．（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出
BD DF
=
CE ED
，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的1
4
，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可
【详解】
解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDF∽△CED．
∴BD DF
=
CE ED
．
∵BD=CD，
∴CD DF
=
CE ED
，即
CD CE
=
DF ED
．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=1
2
BC=1．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，∴AD=2．
∴S△ABC=1
2
•BC•AD=
1
2
×3×2=42，
S△DEF=1
4
S△ABC=
1
4
×42=3．
又∵1
2
•AD•BD=
1
2
•AB•DH，
∴
AD BD8624 DH
AB105
⋅⨯
===．
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD．
∵DH⊥BF，DG⊥EF，
∴∠DHF=∠DGF．
又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）．
∴DH=DG=24
5
．
∵S△DEF=1
2
·EF·DG=
1
2
·EF·
24
5
=3，
∴EF=4．
【点睛】
本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．
26．（1）
3
y
x
=；（2）x＞1；（3）P（﹣
5
4
，0）或（
9
4
，0）
【解析】
分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=1
4
BC=
7
4
，或BP=
1
4
BC=
7
4
，
即可得到OP=3﹣7
4
=
5
4
，或OP=4﹣
7
4
=
9
4
，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=3
x
；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=3
4
x+b，可得3=
3
4
+b，
∴b=9
4
，
∴y2=3
4
x+
9
4
，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=1
4
BC=
7
4
，或BP=
1
4
BC=
7
4
∴OP=3﹣7
4
=
5
4
，或OP=4﹣
7
4
=
9
4
，
∴P（﹣5
4
，0）或（
9
4
，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
27．（1）y1＝
2
7
3
x
-+;y2＝
1
3
x2﹣4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大为
7
3
．
【解析】
【分析】
（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；
（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．【详解】
解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，
35
63
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
3
7
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
．
∴y1＝﹣2
3
x+1．
设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，
4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝1
3
．
∴y2＝1
3
（x﹣6）2+1，即y2＝
1
3
x2﹣4x+2．
（2）收益W＝y1﹣y2，
＝﹣2
3
x+1﹣（
1
3
x2﹣4x+2）
＝﹣1
3
（x﹣5）2+
7
3
，
∵a＝﹣1
3
＜0，
∴当x＝5时，W最大值＝7
3
．
故5月出售每千克收益最大，最大为7
3
元．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法。