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河北省衡水中学高三数学第四次调研考试试题

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2019-2020学度河北衡水中学高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学度河北衡水中学高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学度河北衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、15．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、49．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、1211．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c 的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．2019-2016学年河北省衡水中学高三〔上〕四调数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D、【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；应选：D【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m∉P，应选B、【点评】此题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin〔45°﹣30°〕=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30〔+〕，∴建筑物的高度为PBsin45°=30〔+〕×=〔30+30〕m，应选A、【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，应选：B【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a 7+a14≥2=2=2=20．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a1•a20=a7•a14=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．应选：A、【点评】此题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决此题的关键．注意均值定理的合理运用．6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：那么A〔1，1〕，B〔2，4〕，∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，假设a=0，那么y=z，此时满足条件，假设a＞0，那么目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，假设a＜0，那么目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，应选：B、【点评】此题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决此题的关键．注意要进行分类讨论．7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x∈[0，π]，那么和．故答案为：D【点评】此题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f〔y〕max=4，令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，从而可得答案．【解答】解：令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，那么f〔y〕≤|y+4﹣y|=4，即f〔y〕max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f〔y〕max=4，∴a≥﹣〔2x〕2+4×2x=﹣〔2x﹣2〕2+4恒成立；令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，∴常数a的最小值为4，应选：D、【点评】此题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，那么进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．应选C、【点评】此题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB 的平面与SC垂直是此题的解题关键，常考题型．10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、12【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出〔4﹣〕2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，〔4﹣〕2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．应选：C、【点评】此题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．11．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f〔x〕=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈〔0，1〕，再求出g〔x〕的导函数的范围，然后把过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f〔x〕=﹣e x﹣x，得f′〔x〕=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈〔0，1〕，由g〔x〕=ax+2cosx，得g′〔x〕=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．应选：A、【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】令F〔x〕=x2f〔x〕，利用导数的运算法那么，确定f′〔x〕=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f〔x〕满足，∴令F〔x〕=x2f〔x〕，那么F′〔x〕=，F〔2〕=4•f〔2〕=．由，得f′〔x〕=，令φ〔x〕=e x﹣2F〔x〕，那么φ′〔x〕=e x﹣2F′〔x〕=．∴φ〔x〕在〔0，2〕上单调递减，在〔2，+∞〕上单调递增，∴φ〔x〕的最小值为φ〔2〕=e2﹣2F〔2〕=0．∴φ〔x〕≥0．又x＞0，∴f′〔x〕≥0．∴f〔x〕在〔0，+∞〕单调递增．∴f〔x〕既无极大值也无极小值．应选D、【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的必要不充分条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕【考点】充要条件．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；假设m⊂a，m⊥β，那么根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用导函数求解函数值即．【解答】解：函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=log3〔10﹣1〕+2﹣1+1=2+1=3．故答案为：3．【点评】此题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为1．【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，〔n∈N*〕，假设，可得a n==2〔〕．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】此题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥M﹣PSQN，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如下图；所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．故答案为：．【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】〔1〕利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．〔2〕利用正弦定理把角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．【解答】解：〔1〕依题．又，那么，故当即时，f〔x〕max=3．〔2〕由〔1〕知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，那么b2+c2﹣bc=bc即〔b﹣c〕2=0，故b﹣c=0．【点评】此题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：〔1〕取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD、〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由〔1〕可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】此题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔I〕利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．〔II〕，由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】〔Ⅰ〕解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．〔Ⅱ〕，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．〔3〕利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB 1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解答】〔1〕证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；〔2〕解：由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈〔0，π〕，∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】此题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】〔1〕先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h〔x〕=的最小值即可．〔3〕分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：〔1〕∵f′〔x〕=1+lnx，∴f′〔e〕=1+lne=k﹣3∴k=5，〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么ax02＞x0lnx0，∴a＞设h〔x〕=那么h′〔x〕=，当x∈[1，e]时，h′〔x〕≥0〔仅当x=e时取等号〕∴h〔x〕在[1，e]上单调递增，∴h〔x〕min=h〔1〕=0，因此a＞0．〔3〕由题意xlnx＞〔k﹣3〕x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F〔x〕=，∴F′〔x〕=，令m〔x〕=x﹣lnx﹣2，那么m′〔x〕=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，且m〔3〕=1﹣ln3＜0，m〔4〕=2﹣ln4＞0，所以在〔1，+∞〕上存在唯一实数x0〔x0∈〔3，4〕〕使m〔x〕=0当1＜x＜x0时m〔x〕＜0即F′〔x〕＜0，当x＞＜x0时m〔x〕＞0即F′〔x〕＞0，所以F〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增，F〔x〕min=F〔x0〕===x0+2∈〔5，6〕故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】此题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题．【分析】〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF 的长度；〔2〕根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．〔2〕假设圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT那么PT2=PB•PO=2×4=8，即【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．〔Ⅱ〕由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…〔3分〕解得函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣4〕∪〔3，+∞〕；…〔5分〕〔Ⅱ〕不等式f〔x〕≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|〔x﹣1〕﹣〔x+2〕|=3，…〔8分〕∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是〔﹣∞，﹣5]．…〔10分〕【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

河北省衡水中学2018-2019学年高三年级上学期四调考试数学(理)试卷(含解析)

河北省衡水中学2018-2019学年高三年级上学期四调考试数学(理)试卷(含解析)

2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A．0 B．1 C．2 D．32．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A．B．3 C．D．43．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．4．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有A．40条B．60条C．80条D．120条5．函数的图象大致是A．B．C．D．6．若，则A．B．2 C．D．7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为A．72 B．56 C．57 D．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．9．已知函数，下列结论不正确的是A．的图象关于点中心对称B．既是奇函数，又是周期函数C．的图象关于直线对称D．的最大值为10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A．B．C．D．11．已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，，则A．B．C．4 D．312．已知是减函数，且有三个零点，则的取值范围为A．B．C．D．二、解答题13．数列满足，（）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前999项和.14．在四棱锥，，，，平面平面，分别是中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.15．在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求.16．如图，直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17．如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）求的取值范围.18．已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.三、填空题19．已知向量夹角为，且，，则_______.20．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥中，平面，为正三角形，外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为______.2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前项和公式，代入即可求出，再利用等差数列通项公式就能算出.【详解】∵是公差为1的等差数列，，∴解得，则，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前项和公式的运用，是基础题。

河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)

河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)

数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间为120分钟。

第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。

2021届河北省衡水中学高三上学期新高考四调考试数学(理)试题及答案

2021届河北省衡水中学高三上学期新高考四调考试数学(理)试题及答案

绝密★启用前衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>，则mn=（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A B C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+ B ．21a b+的最小值为2 C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++ 11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________． 15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，sin sin A B =，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。

河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。

河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷及答案

河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷及答案

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知z =i(3−i)2+i，则z 在复平面内对应的点位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一、三象限的角平分线上D ．第二、四象限的角平分线上2．已知向量a ，b 满足|a |=2，b =(1，1)，|a +b |=10，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为A ．(22,22)B ．(1,1)C ．(−1,−1)D ．(−22,22)3．在Rt ΔABC 中，A =90∘，B =60∘，AB =2，则AB ⋅BC =A ．−4B ．4C ．−8D ．84．已知A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC 的夹角为钝角”是“|AB +AC |<|BC |”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2 000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为5−12．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，且点E 为线段BO 的黄金分割点，则BF =A +B +C +D 6．已知复数z 满足z ⋅z +4i ⋅z =5+ai ，则实数a 的取值范围是A ．[−4,4]B ．[−6,6]C ．[−8,8]D ．[−12,12]7．已知点P 是ΔABC 所在平面内一点，有下列四个等式：①PA +PB +PC =0；②PA ⋅(PA −PB)=PC ⋅(PA −PB)；③|PA|=|PB|=|PC|；④PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．①B ．②C ．③D ．④8．对于给定的正整数n ，设集合X n ={1,2,3,⋯,n }，A ⊆X n ，且A ≠∅．记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2023)=A ．2023×22023+1 B ．2023×22022+1 C ．2022×22022+1D ．2022×22023+1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试题(含解析)

河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试题(含解析)

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知i(3i)2i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.实轴上B.虚轴上C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上2.已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b，a b += ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为（）A.22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B.()11， C.()1，1--D.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3.在直角三角形ABC 中，90,60,2A B AB === ，则AB BC ⋅=（）A.4- B.4C.8- D.84.设A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC的夹角为钝角”是“AB AC BC +< ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L10.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD，12BE BO -=，则BF =（）A.35210BA BG+B.35210BA BG+C.15210BA BG --+D.325BA BG +6.已知复数z 满足4i 5i z z z a =++⋅，则实数a 的取值范围为（）A .[4,4]- B.[6,6]- C.[8,8]- D.[12,12]-7.已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PA PB PC ++= ；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ；丙：PA PB PC == ；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲B.乙C.丙D.丁8.对于给定的正整数n ，设集合{}123n X n = ，，，，，n A X ⊆，且A ≠∅．记()I A 为集合A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的所有()I A 的和记为()S n ，则()2023S =（）A.2023202321⨯+ B.2022202321⨯+ C.2022202221⨯+ D.2023202221⨯+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设非零向量,a b 的夹角为c θ，为任意非零向量，定义运算sin a b a b θ*= ，则下列结论正确的是（）A.若0a b *=，则//a bB.()a b c a b a c*+=*+* C.()()222sin 2a b a b a b θ*= D.若1a b == ，则a b *的最大值为110.已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅，则下列结论正确的是（）A.若12z z =，则12z z =± B.1212z z z z +≤+C.若12z z =，则2212z z = D.1212z z z z =⋅11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，则OB OC ⋅的值可能是（）A.1B.1-C.2D.2-12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（）A.()01f =B.()f x '必为奇函数C.()()00f x f +≥ D.若()112f =，则()2023112n f n ==∑第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21i 1z z-=+，则z 的虚部是_______．14.若函数()sin cos f x a x x =+的图像关于直线6x π=对称，则=a ___________.15.在ABC 中，AB AC AB AC ==- ，P 是线段BC 上的动点，有下列三个结论：①2AP ≥；②··AB AC AP AC ≥ ；③··AB AP AC AP ≥．则所有正确结论的序号是__________．16.已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b a =- ，2c b c a -=- ，则向量c b - 与a 的夹角的最大值是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈.（1）若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值；（2）求12z z +的取值范围．18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =，且tan tan cos AB C C+=．（1）求B 和b 的值；（2）求ABC 面积的最大值．19.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，3BAD π∠=，E 为CD 中点，AF AD λ=，()01λ≤≤．（1）若AE BF ⊥，求实数λ的值；（2）求BF FE ⋅的取值范围．20.若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21.治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．（1）写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N∈的表达式；（2）设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．22.已知函数()ln(1)1,f x x =+-（1）求证：(1)3f x -≤-；（2）设函数21()(1)()12=+-+g x x f x ax ，若()g x 在(0,)+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围．河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i(3i)2i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.实轴上B.虚轴上C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算得出1i z =+，然后在利用复数的几何意义即可求解.【详解】因为i(3i)(13i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z -+-+====+++-，所以z 在复平面内对应的点的坐标为()11，，位于第一、三象限的角平分线上．故选：C .2.已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b，a b += ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为（）A.22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B.()11， C.()1，1--D.22⎛- ⎪⎝⎭，【答案】B 【解析】【分析】根据a b += 及相关公式求出2a b =，再根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由(1,1)=b，得b ==，则a b +== 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b bb==.故选：B .3.在直角三角形ABC 中，90,60,2A B AB === ，则AB BC ⋅=（）A.4- B.4C.8- D.8【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为ABC 为直角三角形，且60,2B AB ==o ，所以4BC =,且,120AB BC =︒,所以1cos1202442AB BC AB BC ⎛⎫=⨯︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u r uu u r uu u r uu u r g g .故选:A.4.设A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC的夹角为钝角”是“AB AC BC+< ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】设AB 与AC的夹角为θ，,,AB c AC b BC a === ，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设AB 与AC的夹角为θ（[]0,θπ∈），,,AB c AC b BC a === ，当AB 与AC的夹角为钝角时，cos 0θ<因为AB AC +====，BC a ==所以AB AC BC+< ，当AB AC BC+< 时，22AB AC BC+< 所以2222AB AC AB AC BC ++⋅< ，所以22222cos 2cos c b bc b c bc θθ++<+-，所以cos 0θ<，所以θ为钝角或θπ=，所以“AB 与AC的夹角为钝角”是“AB AC BC+< ”的充分不必要条件，故选：B5.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为10.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，12BEBO -=，则BF = （）A.35210BA BG + B.35210BA BG -+C.15210BA BG --+D.325BA BG +【答案】D 【解析】【分析】由黄金分割比可得12EO BE -= ，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE == ，因12BEBO =，由黄金分割比可得2113)222EO BE BO --=== ，于是得52BGBO OG BO EO -=+=+=，即有510BOBG +=，同理有12AF AO -= ，而AO BO BA=- ，即15210()AF BG BA -+=- 512BG BA =-- ，从而有132525BA BA BF BA AF BA BG BG+---=+==+ ，所以325BF BA BG =+.故选：D6.已知复数z 满足4i 5i z z z a =++⋅，则实数a 的取值范围为（）A.[4,4]- B.[6,6]- C.[8,8]- D.[12,12]-【答案】D 【解析】【分析】设i,,R z x y x y =+∈，由复数相等，得出,,x y a 的关系式，消去x 得到关于y 的一元二次方程有实数解，利用0∆≥，求解即可得出答案.【详解】设i,,R zx y x y =+∈，则()22+4i i 5+i xy x y a +-=，整理得：2244i 5i x y y x a +++=+,所以22454x y y x a⎧++=⎨=⎩，消去x 得22+45016a y y -+=,因为方程有解，所以21645016a ⎛⎫∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得：1212a -≤≤.故选：D.7.已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PA PB PC ++=；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ；丙：PA PB PC == ；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】【分析】先根据向量等式推导出甲中P 为△ABC 的重心，乙中△ABC 为直角三角形，丙中P 为△ABC 的外心，丁中P 为△ABC 的垂心，故得到当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：0PA PB PC ++= ，则PA PB PC +=-，故P 为△ABC 的重心；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- ，则()0PA PB CA BA CA -⋅=⋅=，故AB AC ⊥，即△ABC 为直角三角形；丙：点P 到三角形三个顶点距离相等，故P 为△ABC 的外心；丁：PA PB PB PC⋅=⋅ ，则()0PA PC PB CA PB -⋅=⋅= ，同理可得：0BA PC CB PA ⋅=⋅=，即P 为△ABC 的垂心，当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B ．8.对于给定的正整数n ，设集合{}123n X n = ，，，，，n A X ⊆，且A ≠∅．记()I A 为集合A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的所有()I A 的和记为()S n ，则()2023S =（）A.2023202321⨯+ B.2022202321⨯+C.2022202221⨯+ D.2023202221⨯+【答案】D 【解析】【分析】根据()I A 的定义，推出()S n 的表达式，再计算即可.【详解】根据题意知A 为集合n X 的非空子集，满足()1I A =的集合只有1个，即{}1；满足()2I A =的集合有2个，即{2}，{12}；满足()3I A =的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足()I A n =的集合有12n -个，所以()21122322n S n n -=+⨯+⨯++⋅ ，则()()2312122232122n n S n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，两式相减得()21122...22212n n n n S n n n --=++++-⋅=--⋅，所以()()121n S n n =-+ ，所以()20232023202221S =⨯+；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设非零向量,a b 的夹角为c θ，为任意非零向量，定义运算sin a b a b θ*= ，则下列结论正确的是（）A.若0a b *=，则//a bB.()a b c a b a c*+=*+* C.()()222sin 2a b a b a b θ*= D.若1a b == ，则a b *的最大值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据a b *的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A ，因为sin a b a b θ*= ，并且0,0a b ≠≠ ，所以sin 0θ=，解得0θ=或θπ=，所以//a b，故选项A 正确；对于B ，不妨取()()()1,0,0,1,0,1a b c ===- ，设a与b的夹角2πθ=，a 与b c +的夹角为α，a 与c 的夹角为β2π=，则()sin 10sin 0a b c a b c αα*+=+=⨯⨯= ，sin sin 2a b a c a b a c θβ*+*=+=，此时()a b c a b a c*+≠*+* ，故选项B 错误；对于C ，()()()()222222sin cos 2sin cos sin 2a b a b a b a b a b a b θθθθθ*===，故选项C 正确；对于D ，当1a b == 时，sin sin 1a b a b θθ*==≤ ，当且仅当2πθ=时取等号，所以()max1a b*= ，故选项D 正确；故选：ACD.10.已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅≠，则下列结论正确的是（）A.若12z z =，则12z z =± B.1212z z z z +≤+C.若12z z =，则2212z z = D.1212z z z z =⋅【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设121z i z =+=，则())22221212122z z z i i z ===+===-，，不满足12=±z z ，也不满足2212z z =，故选项AC 错误；对于B ，设12z z ，在复平面内对应的向量分别为12OZ OZ ，，且120OZ OZ ≠，，由向量加法的几何意义知1212OZ OZ OZ OZ +≤+，故1212z z z z +≤+，故选项B 正确；对于D ，设12z a bi z c di a b c d R =+=+∈，，，，，，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，所以12z z ==，1212z z z z ⋅==，故选项D 正确；故选：BD.11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，则OB OC ⋅的值可能是（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】AC 【解析】【分析】设OAD θ∠=，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，可得出,B C 的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.【详解】设π(02OADθθ∠=≤<，因为1AD =，所以cos OA θ=，sin OD θ=，π2BAx θ∠=-，故πcos cos()cos sin 2B x θθθθ=+-=+，πsin()cos 2By θθ=-=，所以(cos sin ,cos )OB θθθ=+．同理可得(sin ,cos sin )C θθθ+，所以(sin ,cos sin )OC θθθ=+，所以()()·cos sin ,cos ·sin ,cos sin 1sin 2OB OC θθθθθθθ=++=+ ．因为02πθ≤<，所以0sin 21θ≤≤，则12OB OC ≤≤ ，故OB OC ⋅ 的值可能是1，2．故选：AC12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（）A.()01f = B.()f x '必为奇函数C.()()00f x f +≥ D.若()112f =，则()2023112n f n ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得(),Nf n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B,当(0)0f =时，令0y =，则()()()()200f x f x f x f +=⋅=，则()0f x =，故()0f x '=，函数()f x ¢既是奇函数又是偶函数；当()01f =时，令0x =，则()()()2f y f y f y +-=，所以()()-=f y f y ，()f x 为偶函数，则()f x ¢为奇函数；综合以上可知()f x ¢必为奇函数，B 正确；对于C ，令x y=，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥。

河北衡水中学2020-2021学年度高三上学期新高考第四次调研考试-数学试题及答案

河北衡水中学2020-2021学年度高三上学期新高考第四次调研考试-数学试题及答案
19解：（1）取 中点 ，连结 ， .
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，且 .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 为平行四边形，
∴ .
又 平面 ，且 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， .设 ，
由（1）得 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，同理∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
【详解】
设 ，则 ， ，
，即 在 上单调递减，
，即 ，
即 ，故选项A不正确； ，
即 ，即 ，故选项D不正确；
，即 ，即 ．
故选项B不正确；故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．A
设椭圆方程为 ，
双曲线方程为 ，
20【答案】（1） ；（2）过定点（2，-1）.
【分析】
（1）设点 ，根据MA，BM的斜率之积为 ，可得 ，又M在椭圆上，所以 ，联立方程，可解得 ，又根据题意 ，即可求得椭圆方程.
（2）设 ， ，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可得 的表达式，根据题意 ，代入求解可得 ，代入直线，即可求得定点坐标.
3．若双曲线 ( )的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C．4D．
因为 ( )可化为 ( )，
所以 ，则 ，即 .故选：D.
4．B由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为 ，
底面积为 ，所以，该正四棱锥的侧面积为 ，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 ，则有 ，所以， ，设内切球的半径为 ，则如图，

河北省衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试(理数)

河北省衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试(理数)

河北省衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合)}ln(|{},0)1(|{a x y x B x x x A -==≤-=，若A B A = ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)0,(-∞B ．]0,(-∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 2．已知线段AB 是抛物线x y 22=的一条焦点弦，4||=AB ，则AB 中点C 的横坐标是 ( ) A ．21 B ．23 C ．2 D ．253．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 ( )A ．630 B ．33C ．55D ．664．已知βα,都为锐角，且721sin =α，1421cos =β，则=-βα ( )A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．6π5．设∈a R ，)2,0[π∈b ，若对任意实数x 都有)sin(33sin b ax x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π，则满足条件的有序实数对（a ，b ）的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知F 是双曲线154:22=-y x C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OF OP =，则△OPF 的面积为 ( ) A ．23 B ．25 C ．27 D ．29 7．如图，在△ABC 中，点P 满足3=，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若>>==μλμλ,0(,AC AN AB AM )0，则μλ+的最小值为 ( )A ．122+ B ．123+ C ．23 D ．258．已知等差数列}{n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若2793,,S S S 成等比数列，则=39S S ( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 9．如图，点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，则下 列四个结论：①三棱锥PC D A 1-的体积不变；②//1P A 平面;1ACD③1BC DP ⊥；④平面⊥1PDB 平面1ACD ．其中正确结论的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．过三点)7,1(),2,4(),3,1(-C B A 的圆被直线02=++ay x 所截得的弦长的最小值等于( )A ．32B ．13C ．34D ．132 11．如图，三棱柱111C B A ABC -的高为6，点D ，E 分别在线段C B C A 111,上，E B C B DC C A 111114,3==．点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成 体积不相等的两部分，若底面ABC ∆的面积为6，则所切得的较大部分的几何体的体积为 ( )A ．22B ．23C ．26D ．2712．设2)2()(22++-+-=a a e a x D x，其中28718.2≈e ，则D 的最小值为 ( )A ．2B ．3C ．12+D ．13+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数⎩⎨⎧≤->=-,0,24,0,log )(2x x x x f x则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛81f f . 14．已知21,F F 分别为椭圆1925:22=+y x C 的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2，0)．若AM 为21AF F ∠的平分线，则=||2AF .15．如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边4=AB ，D 为AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到如图②所示的三棱锥BD A C '-，若三棱锥BD A C '-的外接球的半径为5，则='∠DB A .16．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x =/ 时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 点为函数)(x h y =的“类对称中心点”，则函数x ex x f ln 2)(22+=的“类对称中心点”的坐标是 .三、解答题（共70分。

河北省衡水中学高三数学上学期第四次调研考试

河北省衡水中学高三数学上学期第四次调研考试

2008—2009学年度第一学期四调考试高三年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 集合{}2|-==x y y A ，{}R a a a x x B ∈+-==,23|2，则=B A ()A ．[)+∞,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,41 C ．[)+∞,2D ．φ2. 设2()lg()1f x a x=+-（0≠x ）是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 （ ） A (1,0)- B (0,1) C (,0)-∞ D (,0)(1,)-∞+∞3. 函数|2sin 32cos |x x y -=的一条对称轴方程为 （ ）A 12π=x B 6π=x C 4π=x D 12π-=x4. AB 是抛物线x y 22=的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是 （ ）A 2 B21 C23 D 25 5. 椭圆)0(12222≠=+ab by a x 的离心率为23，有一个焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则b a log 的值为()A 3B 2C 1D 06. 给出平面区域为图中ABOC 内的阴影部分及其边界，目标函数y ax Z -=，若当且仅当1,1==y x 时，目标函数Z 取得最小值，则实数a 的取值范围是（）A 1-<aB 21->a C 211-<<-a D 211-≤≤-a 7. 在ABC ∆中，090=∠C ，030=∠B ，2=AC ，M 为AB 的中点，将ABC∆沿CM 折起，使AB 间的距离为22，则M 到面ABC 的距离为（）A362 B 2 C 1 D 2 8. 已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点，满足0=∙+NP MN 则动点P(x,y)的轨迹方程为（ ）A x y82= B x y 82-= C x y 42= D x y 42-=9. 对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于0，则x 的取值范围是A 1<x<3B x<1或x>3C 1<x<2D x<1或x>210. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,21===AA BC AB ,则1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为（ ）A36 B562C 515 D510 11. 已知数列{}n a 的前n 项和*,21N n n n S n ∈++=,则4a 等于( ) A 301 B 341 C 201 D 32112．双曲线222=-y x的左、右焦点分别为21,F F ，点)3,2,1)(,( =n y x P n n n 在其右支上,且满足2121121|,|||F F F P F P F P n n ⊥=+，则2008x 的值是( ) A 40162 B 40152 C 4016 D 4015第Ⅱ卷（非选择题 共90分，请将答案写在答题纸相应位置上）二、填空题: （每小题5分，共20分） 13.已知)(x f 的反函数)2(log )(21+=-x x f，则方程0)1(=-x f 的根为14..一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。

河北衡水中学第一学期第四次调研考试高三数学试题

河北衡水中学第一学期第四次调研考试高三数学试题

高三数学试题本试卷共 150分, 考试时间 120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：此题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。

在每个小题的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。

1．会合 My y 2 x , Py yx 1，则M P（）A ． y y 1B ． y y 1C ． y yD ． y y2．化简2 cos 21等于（）2 tan() sin 2 ()44A ． cosB ．sinC ．－ 1D ． 13．已知 a =2， b =3， a b = 7 , 则向量 a 与向量 b 的夹角是（ ）A ．6 B ．4C ．3 D ．24．已知直线 mx4 y2 0 与 2x 5 y n 0 相互垂直，垂足为 p 1, p ，则 m n p 的值是（）A ． 24B ． 20C ． 0D ．－ 45．在等差数列 { a n } 中， 2(a 1a 4 a 7 ) 3(a 9a 11 ) =24，则此数列的前13 项之和等于（）A ． 13B ． 26C ． 52D ． 1566．若11 0 ，则以下不等式： ① | a | | b |；② a b ab ；③ ba 2 ；④ a 22a baba bb中，正确的不等式有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7．函数y x 1 2 x 1 的反函数的图象是（）y y yy 4 4443 332 2 2 32 1 1 11o 1 2 3 4 x o x o x1234 o 1 2 3 4 x1234A B CD8．已知三角形ABC 三个极点为A(1,1),B(1 3,0), C (13,0) ，则角A的内角均分线所3在的直线方程为（）A．x y 0 B．y 3x 1 3 2 2C．x y 0或x y 2 0 D．x y 2 09．已知函数y f ( x) 的定义域为R，它的反函数为y f 1 (x) ，假如 y f 1 (x a) 与y f ( x a) 互为反函数且 f (a) a （ a 为非零常数），则 f (2a) 的值为（）A． a B． 0 C．a D ． 2a10．已知双曲线x2 y2 1 ( a 0, b 0) ，被方向向量为k (6,6) 的直线截得的弦的中点a 2 b2为（ 4， 1），则该双曲线离心率的值是（）5B．6 10D． 2A．2 C．3211．设 F1、F2为椭圆x2 y 2 1的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P、 Q 4 3两点，当四边形PF QF 面积最大时，PF1 PF2的值等于（）1 2A． 0 B． 1 C． 2 D． 412．对于函数 f ( x) x 22x, 在使 f (x) M 建立的全部常数M中，我们把 M的最大值M= 12 2叫做 f ( x)x22x 的下确界，则对于 a, bR, 且a,b 不全为 0, 则ab 的下确界( a b) 2为（）A ．1B ． 2C ．1D ． 442第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13．函数 ya sin x bcos x( ab0) 的图像的一条对称轴为 x，则以 a (a, b) 为方向4向量的直线的倾斜角为.x y 1 014．不等式组 xy 0 表示的平面地区的面积是.y15．若直线 2axby 2 0(ab 0 ） 一直均分圆 x 2 y 22x 4 y 1 0的周长 , 则1 1的最小值是.a b16 ．椭圆x 2 y 21(a b 0) 的 两个焦点为F 1 、 F 2 ，点 P 为椭圆上的点，则能使a 2b 2F 1PF 2的点 P 的个数可能有个.（把全部的状况填全）2三、解答题（共 70 分） 17．（本小题满分 10 分）已知向量 a (cos x, sin x), b ( 2,2 ), 若 a b8,且x,542求 sin 2x(1 tan x) 的值 . 1tan x18．（本小题满分 12 分）已知曲线C 的方程为： kx 2 (4 k ) y 2 k 1(k R)（ 1）若曲线 C 是椭圆，求 K 的取值范围；（ 2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.32 100 ，定点A（3,0），M为圆C上19．（本小题满分 12 分）如下图，已知圆x 3y2一动点，点P 在 AM上，点 N 在 CM上，且知足AM 2 AP, NP AM 0，点N的轨迹为曲线 E。

河北省衡水中学高三第四次调研考试数学(文)试题.pdf

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* * * * * * * * * * * * * * * * * 1、如图，在△ABC中，高线BD，CE相交于点H，若∠A=60°，则∠BHC的度数是（ ） A、60° B、90° C、120° D、 150° 2、AD是△ABC的角平分线，自D向AB，AC两边作垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论错误的是（ ） A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 32。

在△ABC中，∠A=350，∠B=450，则与∠C相邻的外角的度数是 A、350 B、450 C、800 D、1000 33．如图，在△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，交AC于点D； 若DC=3，BC=6,则点D到AB的距离是 A、3 B、 C、2 D、6 二.组合开放型 例2.如图，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。

①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF A D B E C F 3、如图，∠A=36° ，∠C=72° ，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数是 ； 4、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是: ， ， (单位：cm)． 40、（6分）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题。

根据已经学过的知识我们知道星形（图1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=，若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

（需要写出解题过程） （2）若再对图2中的角进一步截去，你能由题1中所得的方法或规律，猜想出图3∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？（只要写出结论，不需要写出解题过程。

河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题(含解析)

河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题(含解析)

河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．点P B．点Q6．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有2名、学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（A．49.25 mC．56.74 mf x满足8．已知定义在R上的函数()二、多选题9．热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是2021年9月到2022年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）. Array根据该走势图，下列结论不正确的是（）A．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循三、填空题四、双空题16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC ABBC =，则PA PB PC ++的值为___________.五、解答题(1)证明：BD PC ⊥；(2)若23BD =，7CD AP ==19．已知{}n a 是首项为1的等差数列，公差4283,a b a b ==．参考答案：对于选项A：由题意知P对于选项B：由R Qð是R Pð确.15．4【分析】由递推关系结合基本不等式的性质，得由,,AD AB CD BC AC AC ===，可得ABC ACD △≌△，所以BAC ∠又AO AO =，所以AOB AOD △≌△所以BO OD =，即O 为BD 中点，在等腰PBD △中，可得BD OP ⊥可得(3,0,0),(2,0,0),(0,3,0),A C D --。

2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷(理科)

2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷(理科)

【解答】 解：设第七层有 a 盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数
构成一个以 a 为首项，以 2 为公比的等比数列，
∴由等比数列的求和公式可得
=381，解得 a=3，
∴顶层有 3 盏灯， 故选： B．
4．（5 分）（2013?新课标 Ⅰ）已知双曲线 C：
（a＞ 0， b＞ 0）的离心
率为 ，则 C 的渐近线方程为（
其中真命题的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．10 B．20 C．40 D．60 9．（ 5 分）已知 A，B 是椭圆
长轴的两个端点， M，N 是椭圆
上关于 x 轴对称的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2（ k1k2≠0），若椭圆
【分析】 把已知的等式变形， 然后利用复数代数形式的乘除运算化简， 最后利用
复数模的计算公式求模． 【解答】 解：∵ z（1+i）=i，
∴ z= =
=﹣ ，
∴ | z| =
=，
故选： A．
3．（5 分）（2019?河南二模）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：
“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯
6．（5 分）（2019?洛阳模拟）已知函数 f （x）=Acos（ωｘ+φ）（ω＞0）的部分图
象如图所示，下面结论错误的是（
）
A．函数 f （x）的最小周期为 B．图象 f（x）的图象可由 g（ x） =Acos（ωｘ）的图象向右平移 个单位得到
C．函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称
D．函数 f （x）在区间（ ， ）上单调递增 【分析】由函数图象可求函数的周期， 利用正确公式可求 ω，又由题图可知 （f ）

河北省衡水中学高三数学上学期第四次调考试卷 文(含解

河北省衡水中学高三数学上学期第四次调考试卷 文(含解

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1 B．a≤1C．a＜2 D．a≤22．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2404．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象5．（5分）直线分割成的两段圆孤长之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：46．（5分）已知的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．27．（5分）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣15，+∞）B．[﹣15，+∞）C．[﹣16，+∞）D．（﹣16，+∞）9．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A．（0， 4] B．（0，] C．（0，2）D．[，+∞）11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1 C．f（）＞f （）D．f（）＜f（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是．15．（5分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．16．（5分）方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的正切值；（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．20．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1 B．a≤1C．a＜2 D．a≤2考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，A⊆B，在数轴上表示集合A，分析a的值，可得答案．解答：解：根据题意，A⊆B，而A={x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，必有a≤1，故选B．点评：本题考查集合间的包含关系的运用，难点在于端点的分析，有时需要借助数轴来分析．2．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．解答：解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和平面的位置关系是解决本题的关键．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．解答：解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．解答：解：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选D．点评：本题主要考查三角函数的诱导公式和平移变换．三角函数的平移变换第一步先将函数化为同名函数，然后根据左加右减上加下减的原则平移．5．（5分）直线分割成的两段圆孤长之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：求出圆的圆心，半径r和圆心（1，0）到直线x﹣﹣2=0的距离，由此能求出直线圆相交的弦所对的圆心角，从而能够求出直线分割成的两段圆孤长之比．解答：解：∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心（1，0），半径r=1，∴圆心（1，0）到直线x﹣﹣2=0的距离：d==，设直线圆相交的弦所对的圆心角为α，则cos==，∴=，解得，∴直线分割成的两段圆孤长之比为：=1：2．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．6．（5分）已知的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．2考点：基本不等式；对数的运算性质．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥4，故选A．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．7．（5分）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的定义；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率．解答：解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：B．点评：本题考查椭圆的定义，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣15，+∞）B．[﹣15，+∞）C．[﹣16，+∞）D．（﹣16，+∞）考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：S n==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．解答：解：∵a n=2n+λ，∴a1=2+λ，∴S n===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{S n}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D点评：本题考查了等差数列的性质，结合函数的单调性综合解决．9．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；导数的概念及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．解答：解：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．点评：本题考查双曲线Γ的离心率，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A．（0，4] B．（0，] C．（0，2）D．[，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．解答：解：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）或线段AB．∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1 C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）考点：导数的运算．专题：计算题；导数的综合应用．分析：把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．解答：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选D．点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是3；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是4027．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．解答：解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，b2014=b235×6+4=b4=3，在每一个周期内，含有3个1，2014=671×3+1，∴第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，则671×6+1=4027，故答案为：3；4027点评：本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键．15．（5分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：转化思想．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2故答案是 2点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．16．（5分）方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是①②③．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨取λ=﹣1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，即可得出结论．解答：解：不妨取λ=﹣1，对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x＜0且y≥0时，方程为﹣，即y=3．因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在R上单调递减，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，所以函数y=f（x）与直线y=﹣无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得⑤不正确．故答案为：①②③．点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于难题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；解答：解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．点评：该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（1）仿写一个等式，两式相减得到数列{a n}的递推关系，判断出数列{a n}是等比数列；利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）利用等比数列的前n项和公式求出S n，分离出参数k，构造新数列{c n}，利用后一项减去前一项，判断出数列{c n}的单调性，求出它的最大值，求出k的范围．解答：解：（1）由a n+1=2S n+1①得a n=2S n﹣1+1②，①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），∴a n+1=3a n（n≥2）又a2=3，a1=1也满足上式，∴a n=3n﹣1；（3分）b5﹣b3=2d=6∴d=3∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；（6分）（2），∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，（8分）令，，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，（10分），所以实数k的取值范围是（12分）点评：已知数列的项与前n项和间的递推关系求数列的通项，一般通过仿写作差的方法得到数列的递推关系，再据递推关系选择合适的求通项方法．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的正切值；（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接A1B，交AB1于E，连DE，由矩形的性质及三角形中位线定理，可得DE∥A1C，再由线面平行的判定定理，即可得到A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．我们可以得到∠DGF为二面角B﹣AB1﹣D的平面角．解三角形DGF，即可求出二面角B﹣AB1﹣D的正切值．（Ⅲ）连接A1D，设点C到平面AB1D的距离为d．由=，利用等积法能求出点C到平面AB1D的距离．解答：（Ⅰ）证明：连结A1B，AB1，交于点E，则E是AB1中点，连结DE，∵D是BC的中点，∴DE是△A1BC的中位线，∴DE∥A1C，∵A1C不包含于平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1．又AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥DF．又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG．又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B﹣AB1﹣D的平面角．因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，DF=，在△ABC中，FG=BE=，所以在Rt△DFG中，tan∠DFG==．（Ⅲ）连接A1D，设点C到平面AB1D的距离为d．因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1，所以=，所以=，解得d=．故点C到平面AB1D的距离为．点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面的夹角，解题时要注意空间思维能力的培养．20．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．考点：函数零点的判定定理；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）由函数f（x）=lnx+，求出函数g（x）=f′（x）﹣的解析式，进而根据函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求得m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，则f′（x）=﹣=＜1在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得m的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=lnx+，（x＞0），∴g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，（x＞0），若g（x）只有一个零点，则h（x）=﹣x3+3x﹣3m，（x＞0）只有一个零点，∵h′（x）=﹣3x2+3=0时，x=1，或x=﹣1（舍去），故当x=1时，h（x）取极大值﹣3m+2，若h（x）=﹣x3+3x﹣3m只有一个零点，则﹣3m+2＞0，解得：m＜（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，则f′（x）=﹣=＜1在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，由y=x2﹣x+m的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故＞0，解得：m＞．点评：本题考查的知识点是函数的零点，函数求导，函数恒成立，导数的几何意义，是导数与零点的综合应用，难度中档．21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（﹣1，0）．设直线l的方程为x=my﹣1，将抛物线C的方程y2=4x与直线l的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求得k AT+k BT，设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得k TA+k TB=0，利用韦达定理，即可求得a=1．（2）根据三角形的面积公式得S△AOB=||||sinθ=，算出，进而求出夹角，即可求出答案．解答：解：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（﹣1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my﹣1，代入y2=4x得y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16＞0，得m2＞1，假设存在T（a，0）满足题意，则k AT+k BT====0．∴8m﹣4m（1+a）=0，∴a=1，∴存在T（1，0）（2）S△AOB=||||sinθ=，∴||||=，=x1x2+y1y2=+y1y2==5，∴cos∠AOB==sin∠AOB，∴tan∠AOB=1，∴∠AOB=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查曲线方程的联立，韦达定理的使用，斜率公式的应用，突出考查化归思想与方程思想，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（I）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．（II）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，即可得出．解答：（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．点评：本题考查了圆的切线的性质、四点共圆的性质、勾股定理、圆的面积与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）依题意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．。

河北省衡水中学高三数学上学期第四次调考试卷 理(含解

河北省衡水中学高三数学上学期第四次调考试卷 理(含解

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．252．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．23．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．40966．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1212．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．解答：解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．点评：本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．解答：解：∵z==，∴，则•z=﹣i•i=﹣i2=1．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．解答：解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．点评：本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．解答：解：函数的导数为f′（x）=，则在点（﹣1，﹣1）处切线斜率k=f′（﹣1）=2，则对应的切线方程为y+1=2（x+1），即y=2x+1，故选：A．点评：本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．4096考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可解答：解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′，则f'（0）=a1•a2…a8=（a1a8）4=84=4096．故选D．点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．6．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：双曲线的简单性质；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．解答：解：由题意，a=2，b=1．若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为=1，∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4，距离无最大值，∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故选C．点评：本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算．7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．点评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．解答：解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求解答：解：∵正方体的棱长为1∴∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B点评：本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0考点：函数恒成立问题．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．解答：解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f （0）=0，若f（0）、f 任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f 均不为0，则f（0）、f 异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，∴正确结论的个数是1．故选：A．点评：本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，∴AB=2m≤12．∴AB的最大值为12．故答案为：12．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，由此能求出结果．解答：解：如图，由抛物线的定义知：抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，∴当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，∵F（1，0），Q（2，2），∴[|PM|﹣|PQ|]max=[|PF|﹣|PQ|]max=|QF|==，故答案为：．点评：本题考查两线段之差的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项解答：解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为40点评：本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的②．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：结合选项，正方体的体积否定俯视图可能是四边形，对俯视图可能是圆求出体积判断正误；俯视图可能是扇形求出几何体的体积判断正误；同理俯视图可能是三角形的正误作出判断即可．解答：解：由题意可知，（1）当俯视图是四边形时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，不合题意；（2）当俯视图是圆时，该几何体是圆柱，底面积是S=π×（）2=，高为1，则体积是，不合题意；（3）当俯视是直角三角形时，该几何是直三棱柱，如图，故体积是V=×1×1×1=，这个几何体的俯视图可能是直角三角形．可排除锐角三角形和钝角三角形的情形；（4）当俯视图是扇形时，该几何是圆柱切割而成，其体积是V=π×12×1=，不合题意．综上，则这个几何体的俯视图可能是直角三角形．故答案为：②．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC﹣=b，∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，a=1，∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+[sinB+sin（﹣B）]=1+[sinB+（cosB﹣sinB）]=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）．∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意知，{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求T n．解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，∴a n=2n+1；当n=1时，b1=S1=4；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，对b1=4不成立．∴数列{b n}的通项公式：b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，==（﹣），∴T n=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=+（﹣）=+，当n=1时仍成立．∴T n=+对任意正整数n成立．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．解答：（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m 的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（，1），建立导数关系即可，求实数a的值；（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则要使h（x）的单调减区间是则，解得a=3；另一方面当a=3时，由h'（x）＜0解得，即h（x）的单调减区间是．综上所述a=3．（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），∴．设，则，∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且又∵，∴，且设，则，∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，∴，即h（x1）﹣h（x2），∴，则m的最大值为．点评：本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图，延长DC，AB交于点E，由已知条件推导出∠ECB=60°，∠EBC=90°，∠E=30°，由此利用切割线定理、勾股定理和三角形相似能求出对角线BD、AC的长．解答：解：如图，延长DC，AB交于点E，∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，∴EC=2BC=2×3=6，∴EB=BC=3，∴ED=DC+EC=5+6=11，∵EC×ED=EB×（EB+AB）则6×11=3×（3+AB），解得AB=，∴A C==，∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，∴△EDB∽△EAC，∴，∴BD===7．点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。

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河北省衡水中学2008届高三数学第四次调研考试试题本试卷共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合M {}{2,xy y P y y -====，则M P ⋂=（ ）A ．{}1y y > B ．{}1y y ≥C ．{}0y y >D ．{}0y y ≥2．化简)4(sin )4tan(21cos 222απαπα+--等于 （ ）A ．αcosB ．αsin -C ．－1D ．13．已知→a =2，→b =3，→→-b a =7,则向量→a 与向量→b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p p ，则m n p -+的值是（ ）A ．24B ．20C ． 0D ．－45．在等差数列}{n a 中，)(3)(2119741a a a a a ++++=24，则此数列的前13项之和等于 （ ）A ．13B ．26C ．52D ．1566．若011<<b a ，则下列不等式：① ||||b a >；②ab b a <+；③2>+b a a b ；④b a ba -<22中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个ABCD7．函数()21y x =≥的反函数的图象是（）8．已知三角形ABC 三个顶点为(1,1),(1(1A B C --，则角A 的内角平分线所在的直线方程为（ ）A ．0x y -=B ．1y =+-C ．0x y -=或20x y +-=D ．20x y +-=9．已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为)(1x fy -=，如果)(1a x f y +=-与)(a x f y +=互为反函数且a a f =)(（a 为非零常数），则)2(a f 的值为 （ ）A ．a -B ．0C ．aD ．a 210．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，被方向向量为)6,6(=k 的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是（ ）A ．25 B ．26 C ．310 D ．211．设F 1、F 2为椭圆13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，→--→--⋅21PF PF 的值等于 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．412．对于函数M x f x x x f ≥+=)(,2)(2在使成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值M=1-叫做x x x f 2)(2+=的下确界，则对于222)(,0,,,b a b a b a R b a ++∈则不全为且的下确界为（ ）A ．21 B ．2C ．41 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数sin cos (0)y a x b x ab =-≠的图像的一条对称轴为4x π=，则以(,)a a b =为方向向量的直线的倾斜角为 .14．不等式组1000x y x y y -+≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域的面积是 .15．若直线0(022>>=+-b a by ax ） 始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长, 则ba 11+的最小值是 .16．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的点，则能使12F PF 2π∠=的点P 的个数可能有 个. （把所有的情况填全） 三、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）,24,58b a ),2,2(b ),sin ,(cos a ππ<<=⋅==→→→→x x x 且若已知向量xx x tan 1)tan 1(2sin -+求的值.18．（本小题满分12分）已知曲线C 的方程为：22(4)1()kx k y k k R +-=+∈ （1）若曲线C 是椭圆，求K 的取值范围；（2）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为3π，求此双曲线的方程.19．（本小题满分12分）如图所示，已知圆()223100x y ++=，定点A （3,0），M 为圆C上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0AM AP NP AM ==，点N 的轨迹为曲线E 。

（1）求曲线E 的方程；（2）求过点Q （2,1）的弦的中点的轨迹方程。

20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n nb S 211-=.（1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2） 记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.21．（本小题满分12分）已知函数()log (1)a f x x =+，点P 是函数()y f x =图像上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数()y g x =的图像 （1）当01a <<时，解关于x 的不等式2()()0f x g x +≥；（2）当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知平面上一定点C （4，0）和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且0)2)(2(=-+→--→--→--→--PQ PC PQ PC .（1）问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线1:+=kx y l 与（1）中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：1．C 2．D 3． C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．A 9．B 10．A 1．C 12．A 二、13．34π 14．4115．4 16．0或2或4 三、解答题 17．解：54)4cos(,58sin 2cos 2,58b a =-=+∴=⋅→→πx x x 即 …………2分 ∵43)4tan(,53)4sin(,440,24=-=-<-<∴<<ππππππx x x x ……4分 34)4cot()4tan(-=--=+ππx x2571)4(cos 2)22cos(2sin 2=--=-=ππx x x …………6分∴.7528)34(257)4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin -=-⨯=+⋅=-+πx x x x x …………10分18．解：（1）当014k k k ≠≠-≠且且时,方程为:221114x y k k k k+=++- 它表示椭圆的充要条件是101002244114k k k k k k k k k k +⎧>⎪⎪+⎪>⇔<<<<⎨-⎪++⎪≠⎪-⎩或 （2）方程表示双曲线的充要条件是：40110411><<--<⇔<-+⋅+k k k kk k k 或或 当14k k <->或时两焦点在x 轴上:2211,4k k a b k k ++==-其一条渐近线斜率为：ba=∈∞解得:k=6(4,+)此时双曲线的方程为：2217762x y -= 当10k -<<时，双曲线焦点在y 轴上：2211,4k k a b k k++==--其一条渐近线斜率为：ba=∉解得:k=6(-1,0)综上可得双曲线方程为：2217762x y -= 19．解：（1）∵2,0AM AP NP AM ==∴NP 为AM 的中垂线，NA NM = …………2分又因为10CN NM +=，所以106CN NA +=> 所以动点N 的轨迹是以点(3,0)C -和(3,0)A 为焦点的椭圆， 且210a = …………4分所以曲线E 的方程为：2212516x y +=； …………6分（2）设直线与椭圆交与1122(,),(,)G x y H x y 两点，中点为00(,)S x y 由点差法可得：弦的斜率01212121201616()25()25x y y x x k x x y y y -+==-=--+…………8分 由00(,)S x y ，Q （2,1）两点可得弦的斜率为0012y k x -=-，…………10分 所以0000116225y x k x y -==--， 化简可得中点的轨迹方程为：22162532250x y x y +--= …………12分 20．解：（Ⅰ）∵a 3，a 5是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d>0，∴a 3=5，a 5=9，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ………………3分 又当n=1时，有b 1=S 1=1－.32,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==q b ∴.3211nn n qb b ==- …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211+++=-==n n n n n n n c n b a c …………9分 ∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c ∴.1n n c c ≤+ …………………………12分21．解：由题意知：P 、Q 关于原点对称，设Q （x,y ）是函数y=g(x)图像上任一点，则P （-x,-y ）是f(x)=log a (x+1)上的点，所以-y=log a (-x+1)，于是g(x)=-log a (1-x).(1)0<a<1,2()()0f x g x +≥2101010(1)1x x x x x ⎧+>⎪⇔->⇔-<≤⎨⎪+≤-⎩{}01a ∴<<≥≤时,不等式2f(x)+g(x)0解集为:x -1<x 0(2)[)2()()2log (1)log (1)1.0,1a a y f x g x x x a x =+=+-->∈当时[)2(1)2()()1x f x g x m m x ++≥∈≥-a 恒成立,即在x 0,1时,log 恒成立22(1)(1):log log 11m ma a x x a a x x ++≥∴≤--即恒成立设2(1)4()(1)4,0110,11x x x x x x xϕ+==-+-≤<∴->-- (][)(]4(1)2,011()1x x x xϕ-++∞<-≤∴-可证在0,2且在在0,10min ()1,1,0m x a a m ϕ∴=∴≤=∴≤22．解：（1）设P 的坐标为),(y x ，由0)2()2(=-⋅+得0||4||22=-（2分） ∴（,0)1(4)4222=--+-x y x （4分）化简得.112422=-y x ∴P 点在双曲线上，其方程为.112422=-y x （6分） （2）设A 、B 点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1124122y x kx y 得,0132)3(22=---kx x k （7分）221221313,32kx x k k x x --=-=+∴，（8分） ∵AB 与双曲线交于两点，∴△>0，即,0)13)(3(4422>---k k 解得.213213<<-k （9分） ∵若以AB 为直径的圆过D （0，－2），则AD ⊥BD ，∴1-=⋅BD AD k k ， 即1222211-=+⋅+x y x y ，（10分） ∴12121212(2)(2)0(3)(3)0,y y x x kx kx x x +++=⇒+++= ∴)12.(09323)313)(1(09)(3)1(22221212分=+-⋅+--+⇒=++++kkk k k x x k x x k 解得)213,213(414,872-∈±=∴=k k ，故满足题意的k 值存在，且k 值为414±.（12分）。

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