湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第6章数列 第2节等差数列

题组二回源教材
5.(湘教版选择性必修第一册习题1.2第12题改编)一个梯形两底边长分别
为12 cm和22 cm,将梯形一腰10等分,过每一分点作平行于梯形底边的直线,
则这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度之和为 153 cm .
解析 设这些直线夹在梯形两腰间的线段长度以及两底边长度按照从小到
大的顺序排列构成数列{an},其前n项和为Sn,由梯形的几何性质可知,数列
a1=13.5,a12=2.5,设从冬至到夏至过程中,日晷长的变化量为d,则
2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷
长为a13=13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日晷长的和为
(10.5+1.5)×10
=60.
2
提示 令 Sn=a1+a2+…+an,则 Sn=an+an-1+…+a1,两式相加结合等差数列的性
质得 2Sn=n(a1+an),于是
(1 + )
Sn= 2 ,再将 an=a1+(n-1)d
(-1)
Sn=na1+ 2 d.这种求和方法通常称为“倒序相加法”.
代入可得
3.等差数列的常用性质
[对点训练1](2023·全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
1 + = 11,
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意,得
解得
101 + 45 = 40,
1 = 13,
所以 ap+q=(p+q-1)+(p+q-1)×(-1)=0.
-
(方法二)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 d=
+ -
d=
(+)-
=
+ -

=-1,得 ap+q=0.
-
=
-
=-1,
-
题组三连线高考
8.(2022·全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差
= -2,
所以 an=a1+(n-1)d=15-2n.
(2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则
由(1)可知,an=15-2n,令 an≥0,解得 n≤
(1 + )
Sn= 2
=
(13+15-2)
2
=14n-n
,
2
15
,所以该数列的前 7 项是正数,从第 8 项
2
起为负数,
当 n≤7 时,Tn=Sn=14n-n2;当 n≥8 时,Tn=-Sn+2S7=n2-14n+98.
{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为
1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和
(1 + )
Sn=
2
=
(1+6-5)
=3n2-2n.
2
(方法二 不定方程法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即
都是它前一项与后一;an-1=2an
(n∈N+,n≥2).
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
2.等差数列的有关公式
公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率
通项公式 an=a1+(n-1)d
等差数列,则其公差为( D )
A.ln d
B.ln 2d
2
C.ln3
3
D.ln2
解析 因为 ln a1,ln a3,ln a6 是等差数列,所以 2ln a3=ln a1+ln a6,即 ln 32 =ln a1a6,
所以32 =a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d).又 d≠0,所以 a1=4d,所以公差为
Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形
石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公
差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以
S3n=S27=27×9+
27 × 26
× 9=3 402.故选C.
7.(湘教版选择性必修第一册1.2.2节例6改编)已知等差数列{an}满足
ap=q,aq=p(p,q∈N+,p≠q),则ap+q= 0
.
1 + (-1) = ,
解析 (方法一)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则
1 + (-1) = ,
1 = + -1,
解得
= -1.
ln a3-ln
3
1 +2
6
3
a1=ln =ln =ln4=ln2.故选
1
1
D.
(3)(2024·福建福州模拟)“二十四节气”是上古农耕文明的产物,它是上古先
民顺应农时,通过观察天体运行,认知一岁中时令、气候、物候等变化规律
所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影
偶

.
+1
4.若等差数列{an}的项数为奇数 2n+1,公差为 d,则 S 奇-S 偶=an+1,S 奇
S奇
=(n+1)an+1,S =
偶
+1
.

5.若数列{an},{bn}均为等差数列且其前 n 项和分别为

Sn,Tn,则

=
S 2 -1
T 2 -1
.
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
.
解析 (方法一)因为{an}是等差数列,所以a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9组成
等差数列,即2(a2+a5+a8)=(a3+a6+a9)+(a1+a4+a7),解得a3+a6+a9=27.
(方法二)设等差数列{an}的公差为d,由a1+a4+a7=39,得3a4=39,由
a2+a5+a8=33,得3a5=33,所以3d=-6,所以a3+a6+a9=3a6=3a5+3d=33-6=27.
(1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (m,n∈N+).
(2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.
但若am+an=ap+aq,却不一定有m+n=p+q
特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap.
ap为am和an的等差中项
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为
14-2 , ≤ 7,
综上所述,Tn= 2
-14 + 98, ≥ 8.
考向2两个等差数列的公共项问题
例2(2020·新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到
数列{an},则{an}的前n项和为 3n2-2n .
解析 (方法一 观察归纳法)数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列
11 × (12 + 22)
{an}是等差数列,且a1=12,a11=22,所以S11=
=187,故夹在梯形
2
两腰间的线段的长度和为187-12-22=153 cm.
6.(湘教版选择性必修第一册习题1.2第4题改编)在等差数列{an}
中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= 27
第2节 等差数列
课标解读
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知
识解决相应的问题.
4.理解等差数列与一次函数的关系.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于
环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729
块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( C )
A.3 699块
B.3 474块
C.3 402块
D.3 339块
解析 由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首
项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为
同一个常数 ,那么这个数列称为等差数列.这个常数叫作等差数
定义
列的
公差 ,通常用字母d表示.定义表达式
为 an+1-an=d(n∈N+,d为常数)
等差 在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M称为a与b的等差
中项 中项
微点拨1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)
子的长度,二十四个节气及日晷长变化如图所示,相邻两个节气日晷长的变
化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为
13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( C )
A.58.5尺
B.59.5尺
C.60尺
D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1,小寒日晷长为a2,以此类推芒种日晷长为a12,因此
2
d=
.
解析 设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得
d=2.
9.(2020·全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下
三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石
板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一
前 n 项和 Sn=( 1 + )
2
(-1)
公式
na1+ 2
Sn=
微思考1.在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,
an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
2.等差数列前n项和公式是如何推导的?这种方法通常称为什么方法?
断和成等差数列,注意不是Sm,S2m,S3m,…构成等差数列.
常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q∈R),则数列{an}一定是等差数
列,且公差为p.
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是
Sn=an2+bn(a,b∈R).
S奇
3.若等差数列{an}的项数为偶数 2n,公差为 d,则 S 偶-S 奇=nd,S =
3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1(t=1,2,3,…),则n=3t-2.at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即
an=6n-5.故{an}的前 n 项和为
(1 + )
Sn=
2
=
(1+6-5)
=3n2-2n.
2
[对点训练2](多选题)(2024·山东德州模拟)我国古代数学名著《孙子算经》
md
的等差数列.
在等差数列中下标成等差的
项组成的新数列仍为等差数列
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是
等差
数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
S
(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列

是
等差 数列.
误区警示等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列,即数列的片
2
2 研考点 精准突破
考点一 等差数列的基本量运算(多考向探究预测)
考向1求解等差数列的基本量
例1(1)(2024·山东聊城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,
a1+S11=67,则a3a10是{an}中的( A )
A.第30项
B.第36项
C.第48项
D.第60项
解析 设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;①
1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列
是等差数列.( × )
2.在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.( × )
3.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
4.“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{an}的通项公式是关于n的一
次函数”.( × )
载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数
之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组
成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}
11 × 10
由a1+S11=67,得12a1+
d=67,
2
即12a1+55d=67.②
由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,
于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.故选A.
(2)已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是