专题23 分类讨论思想(高考押题)-2016年高考理数二轮复习精品资料(解析版)

1．已知实数m 是2，8的等比中项，则曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率为( )
A.2
B.
32
C. 5
D.5或
32
答案：D
2．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧21－
x ，x ≤1，
1－log 2x ，x>1，则不等式f(x)≤2的解集是( )
A ．[0，＋∞)
B ．[－1，2]
C ．[0，2]
D ．[1，＋∞)
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤1，
21－x ≤2，得0≤x≤1；
由⎩
⎪⎨⎪⎧x>1，
1－log 2x ≤2，得x>1，∴解集是[0，＋ ∞)，故选A. 答案：A
3．设函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xcos πx|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎡⎦⎤－12，3
2上的零点个数为( ) A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个
解析：因为当x ∈[0，1]时，f(x)＝x 3. 所以当x ∈[1，2]，(2－x)∈[0，1]， f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3,
当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，1
2时，g(x)＝xcos(πx)；
当x ∈⎣⎡⎦⎤12，32时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x), g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1), f ⎝⎛⎭⎫12＝ g ⎝⎛⎭⎫32＝0，作出函数f(x), g(x)的大致图象，函数h(x)除了0，1这两个零点之外，分别在区间⎣⎡⎦⎤－12，0，⎣⎡⎦
⎤0，1
2，⎣⎡⎦⎤12，1，⎣⎡⎦
⎤1，32上各有一个零点，共有6个零点．故选B.
答案：B
4．经过点P(2，3)且在x ，y 轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y －5＝0，x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －5＝0，3x －2y ＝0
C ．x ＋y －5＝0，x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0
D ．x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0
答案：B
5．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，MN →2＝λAN →·NB →
，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线
解析：考查曲线方程、分类讨论的思想．不妨设|AB|＝2，以AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则A(－1，0)，B(1，0)，设M(x ，y)，则N(x ，0)，MN →＝(0，－y)，AN →
＝(x ＋1，0)，NB →
＝(1－x ，0)，代入已知式子得λx 2＋y 2＝λ，当λ＝1时，曲线为A ：当λ＝2时，曲线为B ；当λ＜0时，曲线为D ，所以选C. 答案：C
6．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1
a
C ．(b －a 3)(b －a 3－1
a )＝0
D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1
a
|＝0
解析：根据直角三角形的直角的位置求解．
若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π
2
，则b ＝a 3≠0.
若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3
－b a
＝－1， 所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1
a
＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 答案：C
7．设点F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三
个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则
|PF 1|
|PF 2|
的值为________．
答案：72
或2
8．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________． 解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况． 答案：43或
83
3 9．已知函数f(x)＝2asin 2x －23asin xcos x ＋a ＋b(a≠0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π
2，值域为[－5，1]，求常数a ，b
的值．
解析：f(x)＝a(1－cos 2x)－3asin 2x ＋a ＋b ＝ －2asin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6＋2a ＋b ，
∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7
6π，
∴－1
2≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，
因此，由f(x)的值域为[－5，1]，
可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－2a×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5，
或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－2a×⎝⎛⎭
⎫－12＋2a ＋b ＝－5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，
b ＝1.
10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且 l 过点T(4，0)．求证：OA →·OB →＝
0.
11．如图所示，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角P-l-Q 的两个面内移动，若AB 和平面P ，Q 所成的角分别为α，β.试讨论α＋β的取值范围．
解析：①当AB ⊥l 时，α＋β＝90°.
②当AB 与l 不垂直且不在l 上时，在平面P 内作AC ⊥l ，C 为垂足，连接BC ， ∵平面P ⊥平面Q ，∴AC ⊥平面Q.
∴∠ABC是AB与平面Q所成的角，即∠ABC＝β.在平面Q内作BD⊥l，垂足为D，
连接AD，同理∠BAD＝α.
在Rt△BDA，
Rt△BCD和Rt△ABC中，BD＜BC，
BD AB＜BC
AB，即sin α＜sin ∠BAC.
∵α和∠BAC均为锐角，
∴α＜∠BAC，而∠BAC＋β＝90°，
∴α＋β＜90°.
③若AB在l上，则α＋β＝0°.
综上可知，0°≤α＋β≤90°.
12．已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′ (x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．
当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；又当x＞x2时，f′(x)＞0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．
13．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a .(a ∈R )，设数列的前n 项和为S n 且1a 1，1a 2，1
a 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；
(2)记A n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ，B n ＝1a 1＋1a 2＋1a 22＋…＋1
a 2n －1
，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．
14.已知f (x )＝x 3x ＋1
，数列{a n }满足a 1＝1
3，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列；
(2)记S n (x )＝x a 1＋x 2a 2＋…＋x n
a n (x >0)，求S n (x )．
解析：(1)由已知得a n ＋1＝a n
3a n ＋1，
∴
1
a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝3＋1a n .∴1a n ＋1－1a n ＝3.
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是首项为3，公差为3的等差数列．
(2)由(1)得1
a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，
∴S n (x )＝3x ＋6x 2＋9x 3＋…＋3nx n .
：。