高二数学期末复习10

常熟市浒浦高级中学 高二数学期末复习（10）
综合卷（4） 期末考试倒计时：8天
姓名：____________
1．已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则
x
y
的范围为_____________． 2．已知命题p ：实数m 满足m 2
＋12a 2
<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋2
2y m
-＝1
表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________． 3．观察下列等式 1=1 2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 ．
4．某校高三年级从2名教师和4名学生中选出3人，分别组建成不同的两支球队进行双循环师生友谊赛.要求每支球队中有且只有一名教师,则不同的比赛方案共有 种.
5．52
()x x
+的二项展开式中，3
x 的系数是__________（用数字作答）．
6．一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为
2
3
,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为 .
7．在三棱锥BCD A -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射 影为BCD ∆的中心， 若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为
BCD A -外接球的表面积为__________．
8．在圆2
2
260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为AC 与BD ,则四边形
9．已知直线:l 2
2(1)440mx m y m +---=，若对任意m ∈R ，直线l 与一
定圆相切，则该定圆方程为 ．
10．如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x
y 82
=及圆()2
2
216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则
FAB ∆的周长的取值范围是_______________.
11
．
已
知
()
21211n
n
n x a x a x a x +=+++
+，
n N *
∈且
122n n S a a na =++
+，n N *
∈，当3n =时，3S = ； 当n N *
∈时，
1
n
i i S ==∑ .
12．形如1
(0)x y x x =>的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数——两边对x 求导——代入还原；例如：(0)x y x x =>，取对数ln ln y x x =，对x 求导
1
l n 1
y x y
'=+，代入还原(ln 1)x y x x '=+；给出下列命题: ①当1α=时，函数1
(0)x y x x α
=>的导函数是()1
2
1ln 0x x
y x x x
-'=⨯>；②当0α>时，函数1
(0)x y x x α
=>在1
0,e α
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单增，在
1,e α⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单减；③当11
e b e α>时，方程()
0,1,0,0x b x b b x αα=>≠≠>有根
；
④当
α<时，若方程
()log 0,1,0b x x b b x α
=>≠>有两根，则1
1e
e
b α<<；
其中正确的命题是
13．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2
＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等
式x 02
＋2ax 0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a 的取值范围．
14．在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45︒的变换R 所对应的矩阵为M ,
T 所对应的矩阵为N ． （1）求矩阵M 的逆矩阵1
M
-；
（2）求曲线1xy =先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程．
15．如图,四棱柱1
111A B C D
A B C D -中
,1DD ABCD ⊥底面.ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=︒, 12 2.3AB AD DD ===, ,E F 分别是AB 与1D E 的中点.
(1)求证:CE DF ⊥;
(2)求二面角A EF C --的平面角的余弦值.
16．在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．
(1)求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ; (2)若4-=⋅,求证：直线AB 恒过定点；
(3)当8=AB 时，设圆)0)1(:2
2
2
>=-+r r y x D （,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？
C 1
C
A 1
17．湛江为建设国家卫生城市，现计划在相距20 km的赤坎区（记为A）霞山区（记为B）两城区外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对市区的影响度与所选地
点到市区的距离有关，对赤坎区和霞山区的总影响度为两市区的影响度之和，记C点到赤坎区的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影
响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在AB的中点时，对两市区的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到赤坎区的距离；若不存在，说明理由．
18．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点在x()
0,2．（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的长轴为直径作圆O，设T为圆O上不在坐标轴上的任意一点，M为x轴上一点，过圆心O作直线TM的垂线交椭圆右准线于点Q．问：直线TQ能否与圆O总相切，如果能，求出点M的坐标；如果不能，说明理由．
参考答案
1
．⎡⎣
【解析】
试题分析：因为3
2=-z 表示以(2,0)C
x y
表示圆上的点到坐标原点连线的斜率,所以x y
的范围为过原点作圆的两切线斜率之间，
即
[tan(60),tan 60]3,.⎡-=-⎣
考点：复数几何意义 2．[
13，3
8
] 【解析】由a>0，m 2
－7am ＋12a 2
<0，得3a<m<4a ，即命题p ：3a<m<4a ，a>0.由21x m -＋
22y m -2
2y m
-＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m>m －1>0，解得1<m<
32，即命题q ：1<m<3
2
.因为p 是q 的充分不必要条件，所以31342a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩或31
342
a a ≥⎧⎪
⎨<⎪⎩解得13≤a≤38，所以实数a 的取值范围是
[
13，3
8
]． 3．5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】
试题分析：根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第n 个等式的左边是从n 开始的（2n ﹣1）个数的和，进而可得答案． 解：根据题意，观察可得，
第一个等式的左边、右边都是1，
第二个等式的左边是从2开始的3个数的和， 第三个等式的左边是从3开始的5个数的和， …
其规律为：第n 个等式的左边是从n 开始的（2n ﹣1）个数的和，
第五个等式的左边应该是从5开始的9个数的和，即5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可得，其结果为81；
故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
点评：本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可． 4．12
【解析】首先把两名教师分成甲乙两组,仅有一种方案.然后从4名学生中选两名加入甲组组成一支球队,其余两名加入乙组组成另一支球队,
共有
种方案.由于比赛实行双循环制,两
支球队共比赛两场.根据乘法计数原理,不同的比赛方案共有1××2=12种
5．10 【解析】
试题分析：52()x x +的二项展开式的通项为5521552()(2)r r r r r r
r T C x C x x
--+==，则当3x 时，1r =，3x 的系数为11
5(2)10C =
考点：二项展开式的通项 6．
2027
【解析】
试题分析：有已知条件可知分为三类情况：第一次第一次答对的概率为
224339
⨯=； 第一次答对第二次答错第三次答对的概率为
212433327
⨯⨯=； 第一次答错第二次答对第三次答对的概率为1224
33327
⨯
⨯=；那么该生“通过面试”的概率为 444202727927++=，故答案为2027
. 考点：相互独立事件的概率. 7．π6 【解析】
试题分析：设M 是BCD ∆中心，即AM ⊥面BCD ，∴AEM ∠是AE 与面BCD 所成角，EM 是
BCD ∆的内切圆半径r ，01164sin 6022BCD S r ∆=⨯=⨯
，3
r EM ==，
在Rt AEM ∆
中，tan AEM ∠=
=
，∴AM =， 三棱锥BCD A -外接球球心O 在AM 上，在Rt ODM ∆
中，OM R =
-，
022sin 60MD =，
即MD =
222)R R +=
，即R =
，即2
46S R ππ==球. 考点：勾股定理、三棱锥的外接球的表面积. 8
．
【解析】点(0,1)E 在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为圆的直径及与该直径垂直的弦.如图所示AC 为直径，BD 是与AC 垂直的弦，由
1101
312
BD AC k k -=-
=-=--得，直线BD 的方程为112y x =-+，由圆的几何性
质得，
BD ===
=.
所以答案应填：
考点：1、圆的几何性质；2、直线的斜率与方程；2、点到直线的距离. 9．()()2
2
224x y -+-= 【解析】
试题分析：取特殊值0,1m m ==±，三条直线分别为4,4,0y x x ===，这三条直线只与圆
22(2)(2)4x y -+-=都相切，经验证，对任意m R ∈，直线l 都与这个圆相切.
考点：圆的切线. 10．()8,12. 【解析】
试题分析：易知圆()2
2
216x y -+=的圆心坐标为()2,0，则圆心为抛物线28y x =的焦点，
圆()2
2
216x y -+=与抛物线28y x =在第一象限交于点()2,4C ，
作抛物线2
8y x =的准线2x =-，过点A 作AD 垂直于直线2x =-，垂足为点D ，由抛物线的定义可知
AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()2
2216x y -+=与x 轴
的交点()6,0时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值为4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以
812BF BD <+<，因此FAB ∆的周长的取值范围是()8,12.
11．12；()121n
n -⋅+.
【解析】
试题分析：在等式
()
21211n
n n x a x a x a x +=++++两边求导得
()
1
11212n n n n x a a x na x --+=+++，令1x =得，11222n n n S a a na n -=+++=⋅，所以
2
33212S =⨯=，0111
12222n
n i i S n -==⨯+⨯+
+⋅∑，
令01112222n n T n -=⨯+⨯++⋅，
则()11212122n n n T n n -=⨯+
+-⋅+⋅，
下
式
-
上
式，
得
()()0
1
1
1
1
112222
22222
2
12
n n n n
n n
n T n n n ---=---
-+⋅=⋅-++
+=⋅-
-
()()221121n
n
n
n n =⋅--=-⋅+，()1
121n
n i i S n =∴=-⋅+∑.
考点：1.导数；2.错位相减法求和 12．①②④ 【解析】
试题分析：对①，当1α=时，函数1
(0)x y x x α
=>即为1x
y x =，两边取对数得1
ln ln y x x
=
，两边求导得21
ln 1x x x y y x ⨯-'⨯=，将1
x
y x =代入即得()12
1ln 0x x y x x x
-'=⨯>；正确. 对②，当0α>时，函数1
(0)x y x x =>两边取对数得ln ln x
y x α
=
，两边取对数得11211ln 1(1ln )x x x x x x y y x y x x α
ααααα-+⨯-''⨯=⇒=-.由1ln 0x α->得1x e α<，所以1
(0)x y x x α
=>在1
0,e
α
⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单增，在1
,e α⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单减，正确； 对③，由x b x α
=得ln ln ln ln ,
b
x x b x x αα
==
.令ln x y x =，则2
1ln 0x
y x e x
-'=>⇒<，所以ln 1x x e ≤.所以当ln 1b e α≤时，x b x α=有解.由ln 1
b e
α≤得1
1
e b e α≤，故③错； 对
④
，
由
l
o
g b x x α=得ln ln x
b x α
=
.令
ln ()x f x x α
=
，则
121
1ln 1ln ()x x x x
x f x x x α
ααααα-+⨯--'==.因为0α<，所以ln ()x f x x α=在10,e α⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单减，
在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单增，1ln 1()()x f x f e x e ααα=≥=.所以当1ln b e α>时，若方程
()log 0,1,0b x x b b x α
=>≠>有两根.由1
ln b e
α>得，1
e b e α>.又结合图象易得，当1b >时方程()log 0,1,0b x x b b x α
=>≠>只有一个根，所以11e
e
b α<<.
考点：新定义及导数的应用. 13．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】解：由2x 2＋ax －a 2
＝0得(2x －a)(x ＋a)＝0， ∴x ＝
2
a
或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时|
2
a
|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足x 02
＋2ax 0＋2a≤0”，
即抛物线y ＝x 2
＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，
∴Δ＝4a 2
－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴p 假q 假，∴|a|>2，∴a>2或a<－2. 即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
14．（1
）2222⎡⎢⎢⎢-⎢⎣⎦
;（2）224y x -= 【解析】 试题分析：（1）在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45︒的变换R 所对应的矩阵为M .所以由旋转变换得到的公式即可求得矩阵M.再根据逆矩阵求出结论.
（2）将每个点横、
T 所对应的矩阵为N ,由于曲线1xy =先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程.所以1111NM -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
.所以在曲线1xy =上任取一点,通过NM 的变换即可得到结论.
（1
）
222
2M -
⎢⎥=⎥
⎢⎥⎣
⎦，1M =
，112
2222222M M -⎡⎡⎢⎢⎢⎢∴==⎢⎢--⎢⎢⎣⎦⎣⎦
． 4分
（2
）
00
N ⎤
=⎢⎣
，M ⎥=⎥⎥⎦
， 1111NM -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
x x y y x y '=-⎧∴⎨'=+⎩⇒2
2
x y x x y y ''+⎧=⎪⎪⎨
''
-+⎪=⎪⎩代入1xy =中得：224y x ''-=． 故所求的曲线方程为：224y x -=． 7分 考点：1.矩阵的逆.2.曲线通过矩阵变换. 15．(1)见解析
(2) 13
-
【解析】
试题分析：(1) 先证明△ADE 为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE ⊥DE ，CE ⊥DD 1 ，最后得到CE ⊥平面DD 1E, 即可证明出CE ⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
然后根据点坐标求出法向量(0,m =-
，(3,n =-，再
利用夹角公式求出二面角A EF C --
的平面角的余弦值cos θ=. (1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE 为正△ 在△CDE 中,由余弦定理可求
又22212+=.由勾股定理逆定理知CE ⊥DE
又DD 1⊥平面ABCD, CE ⊂平面ABCD. ∴CE ⊥DD 1 ∴CE ⊥平面DD 1E, 又DF ⊂平面DD 1E. ∴CE ⊥DF.
(2)以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0), D 1
(
12
), C 5(2 可求平面AEF
的一个法向量为(0,m =- 平面CEF
的一个法向量为(3,n =- ∴平面角θ满足||130
|cos |||||
m n m n
θ⋅=
= 又θ为纯角 ∴cos θ=
注:本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.
考点：余弦定理；勾股定理逆定理；线面垂直的性质与判定定理；法向量；夹角公式. 16．（1）准线方程：1y =-，焦点坐标(0,1)F ；（2）证明见解析；（3）3r >. 【解析】
试题分析：（1）根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向，焦点为(0,1)，准线方程为1y =-；（2）本题实质是直线与抛物线相交问题，一般是设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立方程组，消去y 可得2440x kx b --=，再设1122(,),(,)A x y B x y ，则有124x x k +=，124x x b =-，而12
12
O AO B x x yy ⋅=+，把刚才求出的1212,x x x x +代入可得,k b
的关系，本题中求得2b =为常数，因此直线AB A 一定过定点(0,2)；（3）由（2）利用8AB =可求出,k b
的关系式，12AB x x =-
8=
2=，而直线AB 与圆相切，则圆心到直线
的距离d 等于圆的半径r
，即r d ===
，由题意，作为关于k 的方
程，此方程只有两解，设1t =，则有3
4
r t
t =
-，由于34()f t t t =-在1t ≥时是减
函数，且0f =，即函数34
r t t
=
-
在1t ≤≤时递减(03)r <≤
，在t ≥(0)r >，因此为了保证k 有两解，即t 只有一解，故要求3r >.
（1）准线方程：1-=y +2分 焦点坐标：)1,0(F +4分 （2）设直线AB 方程为b kx y += ,),(),,(2211y x B y x A
⎩⎨⎧=+=y
x b kx y 42 得 0442
=--b kx x ⎩⎨
⎧-==+∴b x x k x x 442121 +6分 4162
22
1212121-=+=+=⋅x
x x x y y x x 821-=∴x x 84-=-∴b +8分
2=b 直线 2+=kx y 过定点（0，2） +10分
（3）81616122
=++=b k k
AB 2122=++b k k +12分
r k b d =+-=
2
11 +14分 1
11
4
222
+--+=
k k k r 令112
≥+=k t
t t
r -=
3
4
当21<≤t 时， t t r -=34单调递减，30≤<r +15分 当2>
t 时， 34
t
t r -
=单调递增，0>r +16分 k 存在两解即t 一解 3>∴r +18分
考点：（1）抛物线的性质；（2）直线与抛物线相交问题；（3）圆的切线的条数与方程的解. 17．（1）22
49
(020)400y x x x =
+<<-；（2）116.
【解析】
试题分析：（1）根据条件中描述：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k ，而y 表示建在C 处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y ，因此可设
22
4400k y x x =
+-，根据题意当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对两市区的总影响度为0.065可求得k 的值；（2）由(1)，2249
(020)400y x x x =+<<-，可求得422322
188(400)'(400)
x x y x x --=-，进而可以得到y 的在(0,20)上的单调性，从而求得y 的最小值.
(1)如图，由题意知AC ⊥BC ，AC ＝x km ，则22
400BC x =-，
22
4(020)400k y x x x =
+<<- 2分
由题意知，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，
即当x =时，y ＝0.065，代入22
4400k
y x x =
+-得k ＝9.所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x
=
+<<-． 6分； （2）由于2249
400y x x =+-，∴422322322
809-2x 188(400)'(400)(400)
x x y x x x x -⋅--=-+=--（） 8分
令'0y =
得x =
或x =-舍去)， 9分
当0x <<时，42
2
188(400)x x <-，即'0y <，此时函数为单调减函数；
当
20x <<时，422188(400)x x >-，即'0y >，此时函数为单调增函数 12
分
所以
当0x =时，即当C 点到赤坎区的距离
为时，函数
22
49
(020)400y x x x =
+<<-
有最小值116f = 14分.
考点：1、具体情境下函数解析式的求解；2、利用导数判断函数的单调性求最值. 18．(1) 22
194
x y +=；
（2
）能，点M . 【解析】
试题分析：（1
）求椭圆方程，一般要找到两个条件，本题中有离心率为
3
，即3c a =，另
外椭圆过点(0,2)，说明2b =，这样结论易求；（2）存在性命题，问题假设存在，设(,0)M c ，
再设00(,)T x y ，首先有000x y ≠，22
009x y +=，00TM y k x c
=
-，于是00OQ x c
k y -=-，写出
直线OQ 方程为00x c y x y -=-
，让它与椭圆右准线相交，求得0
Q ，TQ 与圆O 相切，则有TQ OT ⊥，即1
TQ OT
k k =-
，这是关于00,x y 的恒等式，由此利用恒等式
的知识可求得c =c ，说明假设错误，M 不存在.
（1）设椭圆方程为22
221(,0)x y a b a b
+=>，因为经过点()0,2，所以，2b =，
又因为c e a =
=
,3c a x =，所以，222244b a c x =-==，即1x =， 所以椭圆的标准方程为22
194
x y +=． 6分
（2
）存在点M 7分
设点00(,)T x y ，(,0)M c ，因为T 在以椭圆的长轴为直径作圆O 上，且不在坐标轴上的任意点， 所以 000x y ≠且22009x y +=，又因为0
0TM y k x c
=-， 由OQ TM ⊥，所以，00OQ x c k y -=-
，所以直线OQ 的方程为0
x c
y x y -=-， 10分
因为点Q
在直线x
上，令x=
，得
y=
即
Q， 12分
所以
TQ
y
k
)
2
59x x c
-+-
=，
又0
OT
y
k
x
=，TQ与圆O总相切，故OT TQ
⊥，于是有1
OT TQ
k k⋅=-，
TQ
x
k
y
=-
)
2
59
x x c x
y
-+-
=
-恒成立，解之可得c，
即存在这样点M，使得TQ与圆O总相切． 16分考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆、圆的综合性问题.。