青岛版初中数学知识点总结
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如果有 n 个数 x1，x2，x3，…，xn，那么 x ＝1n(x1＋x2＋x3＋…＋xn)叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数．
若 n 个数 x1，x2，x3，…，xn 的权分别是 ω1，ω2，ω3，…，ωn，则 x1ωω1＋1＋xω2ω2＋2＋……＋＋ωxnnωn叫做这 n 个数的加权平均数．数据的权能够反映数据的相
2．(简易形式)若关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 有两个根分别 为 x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
考点五 列一元二次方程解应用题 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步 骤一样，即审、找、设、列、解、答六步． 温馨提示： 在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.
对“重要程度”．
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4．方差、标准差与极差
(1)在一组数据 x1,x2,x3,x4,…,xn 中,各数据与它们的平均数 x 的差的
平方的平均数叫做这组数据的方差,即
s2=
1 n
[(x1
－
x
)2+(x2 －
x
)2+…+(xn －
x )2].
(2) 一 组 数 据 的 方 差 的算术 平 方 根 叫 做 这 组 数 据 的标 准 差 ， 即 s＝
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5．比例的等比性质 如果ab＝cd＝……＝mn，且 b＋d＋……＋n≠0，那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝ab.
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同考点分三母的分分式式的相运算加减，分母不变，把分子相加减，即ca±cb＝_a_±c_b__. 异分a母d±的b分c 式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ba±dc ＝____b_d___.
2．分式的乘除法 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即
a c ac b式·相d乘＝，_b_d即__ab_÷.分dc＝式_除_ab_·以__dc分__式＝，__ab把_dc_除_.式的分子、分母颠倒位置后，与被除
3分．式分的式乘的方乘是方把分子、分母各自乘方，即(nm)k＝_nm_kk___(k 是正整数)．
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n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]. (3)极差＝最大值－最小值
(4)极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小，方差(或标
准差)越大，说明这组数据波动 越大 ．
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数根，即 x1＝x2＝－2ba； (3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
温馨提示： 只有一元二次方程，才具有根的判别式.因此在逆用判别式时，一定 要保证二次项系数不等于零.
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考点四 一元二次方程根与系数之间的关系
1．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、 x2，则 x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.
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简记“左减右增”．
增大而减小，简记“左增右减”．
(4)抛物线有最低点，当 x＝－2ba时，y (4)抛物线有最高点，当 x＝－2ba时，
有最小值，y
4ac－b2 ＝ 最小值 4a .
y
有最大值，y
4ac－b2 ＝ 最大值 4a .
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(3)边角之间的关系： sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab， sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba. (1) 互 余 角 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： 若 ∠ A+ ∠ B=90 ° , 那 么 sinA=cosB 或 sinB=cosA. (2)同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1;②tanA=
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4．因式分解法：若 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax2＋bx＋c＝0
的根为 x1＝－fe，x2＝－nm.
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(2)对称轴是 x＝－2ba，顶点坐标是(－ (2)对称轴是 x＝－2ba，顶点坐标是
b 4ac－b2 2a， 4a )．
b 4ac－b2 (－2a， 4a )．
(3)在对称轴的左侧，即当 x＜－2ba时，y (3)在对称轴的左侧，即当 x＜－2ba 性 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴 质 即当 x＞－2ba时，y 随 x 的增大而增大， 的右侧，即当 x＞－2ba时，y 随 x 的
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边为角的对边时，找另一角 边为角的邻边时找 找找边夹夹的边角对的的角另另一一角边
找夹边 (3)已知两角找任意一边 温馨提示： （1）判定三角形全等必须有一组对应边相等； （2）判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定.
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如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC， 如果AACB＝BACC，则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比(即AACB＝ 52－1≈0.618)．
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温馨提示： 对于特殊角 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，可结合以上图 表及定义记忆. 2.30°、45°、60°角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 1、 2、 3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°、45°、60°角的余弦 值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小分别为 3、 2、1，余弦值随 角度的增大而减小. 3.30°、60°角的正切值互为倒数，都和 3有关，45°角的正切值是 1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大.
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项目 端点 可延伸方
类别
个数 向个数
表示
直线
0
两个大写字母或一个 2
小写字母
射线
1
1
两个大写字母
线段
2
两个大写字母或一个 0
小写字母
图形
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考点三一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－
4ac，一般用符号 Δ 表示．
(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，则
x1,2＝－b±
b2－4ac
2a
；
(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实
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如果有 n 个数 x1，x2，x3，…，xn，那么 x ＝1n(x1＋x2＋x3＋…＋xn)叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数．
若 n 个数 x1，x2，x3，…，xn 的权分别是 ω1，ω2，ω3，…，ωn，则 x1ωω1＋1＋xω2ω2＋2＋……＋＋ωxnnωn叫做这 n 个数的加权平均数．数据的权能够反映数据的相
2．(简易形式)若关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 有两个根分别 为 x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
考点五 列一元二次方程解应用题 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步 骤一样，即审、找、设、列、解、答六步． 温馨提示： 在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.
对“重要程度”．
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4．方差、标准差与极差
(1)在一组数据 x1,x2,x3,x4,…,xn 中,各数据与它们的平均数 x 的差的
平方的平均数叫做这组数据的方差,即
s2=
1 n
[(x1
－
x
)2+(x2 －
x
)2+…+(xn －
x )2].
(2) 一 组 数 据 的 方 差 的算术 平 方 根 叫 做 这 组 数 据 的标 准 差 ， 即 s＝
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5．比例的等比性质 如果ab＝cd＝……＝mn，且 b＋d＋……＋n≠0，那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝ab.
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同考点分三母的分分式式的相运算加减，分母不变，把分子相加减，即ca±cb＝_a_±c_b__. 异分a母d±的b分c 式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ba±dc ＝____b_d___.
2．分式的乘除法 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即
a c ac b式·相d乘＝，_b_d即__ab_÷.分dc＝式_除_ab_·以__dc分__式＝，__ab把_dc_除_.式的分子、分母颠倒位置后，与被除
3分．式分的式乘的方乘是方把分子、分母各自乘方，即(nm)k＝_nm_kk___(k 是正整数)．
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n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]. (3)极差＝最大值－最小值
(4)极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小，方差(或标
准差)越大，说明这组数据波动 越大 ．
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数根，即 x1＝x2＝－2ba； (3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
温馨提示： 只有一元二次方程，才具有根的判别式.因此在逆用判别式时，一定 要保证二次项系数不等于零.
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考点四 一元二次方程根与系数之间的关系
1．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、 x2，则 x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.
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简记“左减右增”．
增大而减小，简记“左增右减”．
(4)抛物线有最低点，当 x＝－2ba时，y (4)抛物线有最高点，当 x＝－2ba时，
有最小值，y
4ac－b2 ＝ 最小值 4a .
y
有最大值，y
4ac－b2 ＝ 最大值 4a .
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(3)边角之间的关系： sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab， sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba. (1) 互 余 角 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： 若 ∠ A+ ∠ B=90 ° , 那 么 sinA=cosB 或 sinB=cosA. (2)同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1;②tanA=
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4．因式分解法：若 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax2＋bx＋c＝0
的根为 x1＝－fe，x2＝－nm.
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(2)对称轴是 x＝－2ba，顶点坐标是(－ (2)对称轴是 x＝－2ba，顶点坐标是
b 4ac－b2 2a， 4a )．
b 4ac－b2 (－2a， 4a )．
(3)在对称轴的左侧，即当 x＜－2ba时，y (3)在对称轴的左侧，即当 x＜－2ba 性 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴 质 即当 x＞－2ba时，y 随 x 的增大而增大， 的右侧，即当 x＞－2ba时，y 随 x 的
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边为角的对边时，找另一角 边为角的邻边时找 找找边夹夹的边角对的的角另另一一角边
找夹边 (3)已知两角找任意一边 温馨提示： （1）判定三角形全等必须有一组对应边相等； （2）判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定.
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如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC， 如果AACB＝BACC，则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比(即AACB＝ 52－1≈0.618)．
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温馨提示： 对于特殊角 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，可结合以上图 表及定义记忆. 2.30°、45°、60°角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 1、 2、 3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°、45°、60°角的余弦 值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小分别为 3、 2、1，余弦值随 角度的增大而减小. 3.30°、60°角的正切值互为倒数，都和 3有关，45°角的正切值是 1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大.
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项目 端点 可延伸方
类别
个数 向个数
表示
直线
0
两个大写字母或一个 2
小写字母
射线
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1
两个大写字母
线段
2
两个大写字母或一个 0
小写字母
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考点三一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－
4ac，一般用符号 Δ 表示．
(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，则
x1,2＝－b±
b2－4ac
2a
；
(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实
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