湖北省沙市中学高三数学上学期第七次周练试题 文 新人教A版

第七次周练文科数学试卷
考试时间：2013年10月
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1．设集合{}
2124,40,2x A x B x x x x R ⎧⎫
=≤≤=->∈⎨⎬⎩⎭
，则()R A C B =
A ．[)1,0-
B ．[]0,2
C ．[]1,4
D ．[]0,4
2．下列说法中，正确的是
A ．命题“若22
am bm <,则“a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“x ∃∈R 2
0x x ,->”的否定是“x R ∀∈，20x x -<” C ． “3x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 D ．命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 3．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是 A ．12
lg x
x x e >>
B ．12
lg x
e x x >> C ．12
lg x
e x x >>
D ．12
lg x
x e x >>
4．某校女子篮球队7名运动员身高（单位：cm ）分布的茎叶图 如图．已知记录的平均身高为175cm ，但有一名运动员的身 高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间[1,480]的人数为 A ．10
B ．14
C ．15
D ．16
6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：
31
现已求得上表数据的回归方程y bx a =+中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工
90个零件所需要的加工时间约为 A ．93分钟
B ．94分钟
C ．95分钟
D ．96分钟
7．在面积为9的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则能使PAB ∆的面积大于3的概率是 A ．
13
B ．
2
3
C ．
1
9
D ．
89
0 1
1 2 x 4 5
1817
第4题图
8．设ω>0，函数sin()3
y x π
ω=+的图象向右平移
4π
3
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是
A ．
34 B ．32 C ．3 D ．94
9．)(x f 是定义在R 上的连续的偶函数，当0x <时,2'
(1)()2()0x f x xf x ++>，且
(2)0f -=，
则不等式0)(>x f 的解集是 A ．(2,0)(2,)-⋃+∞ B.(,2)(0,2)-∞-⋃ C ．(2,2)-
D ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞
10．设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为'()f x ，'()f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x ，若在(,)a b 上，''()0f x <恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知当2m ≤时，
32
11()2262
y f x x mx x ==
-++在(1,2)-上是“凸函数”，则()f x 在(1,2)-上 A ．既没有最大值，也没有最小值
B ．既有最大值，也有最小值
C ．有最大值，没有最小值
D ．没有最大值，有最小值
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号位置
上.书写不清，模棱两可均不得分． 11．已知3
tan 4
α=-，则2sin cos αα+= .
12．直线2y x b =+与曲线3ln y x x =-+相切，则b 的值为 .
13．若,,a b c R +
∈，且,a b c M b c a
≠≠=
++
, N a b c =++，则M 与 N 的大小关系是M N . (从"","","",""><≥≤四个符号中选择一个你认
为最准确的填写)
14．如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，
AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB= . 15．将一颗质地均匀的骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，则函数
13
23
+-=
nx mx y 在[)∞+，
1上为增函数的概率是 . 16．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1
()32
x f x x a =-+，则函数()f x 有
个零点.
17．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在x D ∈，使得()()1f x g x -<，则
称()f x 和()g x 在D 上是“密切函数”。

给出定义域均为(0,1)D =的四组函数如下： ①2(1)()ln 1,()1
x f x x g x x -=-=
+； ②3
(),()31f x x g x x ==-； 第14题图
③()2,()x
f x e x
g x x =-=-； ④25(),()38
f x x
g x x =-=.
其中，函数()f x 和()g x 在D 上是“密切函数”的是 .
三、解答题：本大题共5小题，共65分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分12分) 已知函数()|2|f x x =-． （Ⅰ）解不等式()30xf x +>；
（Ⅱ）对于任意的(3,3)x ∈-，不等式()f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．
19．（本小题12分）已知函数)0,0(3cos 32cos sin 2)(2>>-+=ωωωωa x x x a x f 的
大值为2，21,x x 是集合}0)(|{=∈=x f R x M 中的任意两个元素，且|21x x -|的最小值为
2
π
.
（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴； （II ）若4()3f α=，求sin(4)6
π
α+的值.
20．（本小题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志
愿活动，按年龄分组：第1组 [25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．
（I ）上表是年龄的频数分布表，
求正整数,a b 的值；
（II ）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组
的人数分别是多少？
(III) 在(II)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人年
龄在第3组的概率．
21．(本小题满分14分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：
千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2()(5)2
a
y f x b x x ==
+--, 其中25x <<，,a b 为常数，已知销售价格为4元/千克时，每日可售出该商品5千克； 销售价格为4.5元/千克时，每日可售出该商品2.35千克. （I ） 求()f x 的解析式；
（II ）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获
得的利润()f x 最大.
22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．
（I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若0a <，且()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2-，求a 的值； (III)当1a =-时，试证明：1
|()|ln 2
x f x x x >+
2014届高三年级10月联考文科数学参考答案
一、选择题
1-5 BCCBD 6-10 AABCA 1.
解
析
：[]{}
()21241,2,40,,0(4,)2x A x B x x x x R ⎧⎫
=≤≤=-=->∈=-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭
()[]0,2R A
C B ∴=，选B.
2.解析：对于A,当0m =时，2
2
am bm =, 故“若2
2
am bm <,则“a b <”的逆命题是
假命题；对于B, 命题“x ∃∈R 2
0x x ,->”的否定应该是“x R ∀∈，20x x -≤”；对于D,命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和命题q 至少有一个为真命题，故选C. 3.解析：当)1,0(∈x 时，1x
e >，1
2
01x <<，lg 0x <，故选C.
4.解析：由题意有：175718021705112452x x ⨯=⨯+⨯++++++⇒=，选B.
5.解析：由系统抽样的定义，960人中抽取32人，共需要均分成32组，每组960
3032
=人，区间[1,480]恰好含480
1630
=组，故抽到的32人中，编号落入区间[1,480]的人数为16人.选D
6.解析：由表格，20,30x y -
-==，
(,)x y -
-
在回归直线上，代入得12a =，所以回归直
线为0.912y x =+，90x =时，93y =，选A
7.解析：设PAB ∆边AB 上的高为h ，由11
33222
PAB
S AB h h h =
=⨯>⇒>，故所求概率为321
33
p -=
=，选A. 8.解析：函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后为 44sin ()sin()sin()33333y x x x πππωππωωω⎡
⎤=-+=+-=+⎢⎥⎣
⎦，所以
min 433
2(0),322
k k k ωππωω=>⇒=∴=.选B. 9．解析：构造函数2
2()(1)(),
1g x x f x y x =+=+、()f x 均为偶函数，()g x ∴为偶
函数，又0x <时，2
'()(1)'()2()0g x x f x xf x =++>，()g x ∴在(,0)-∞上单调递增，在
(0,)+∞上单调递减，又(2)5(2)0(2)g f g -=-==，()022f x x >⇔-<<，选C.
10.解析：2
1'()2,''()2
f x x mx f x x m =
-+=-，因为()y f x =在(1,2)-上是“凸函数”，所以''()0f x x m =-<在(1,2)-上恒成立，所以m x >在(1,2)-上恒成立，故2m ≥，
2211
'()22(2)0,22
f x x x x =
-+=->所以()f x 在(1,2)-上既没有最大值，也没有最小值. 选A.
二、填空题
11. 25或2
5
-15.5
6
16，3 17.②④
11.
解
析
：
3tan 4
α=-
，当
α
为第二象限角时，
342
sin ,cos ,2sin cos 555αααα==-+=
，当α为第三象限角时，342sin ,cos ,2sin cos 555
αααα=-=+=-.2
2sin cos 5αα+=±
12.解析：由3ln y x x =-+得3
'121y x x
=-+=⇒=，得切点为(1,1)-，代入切线得
3b =-
13.解析：
M
=++-
(*)N ≥=,
a b c ≠≠，(*)∴中等号不成立，填>.
14.解析：在ACD ∆中,由余弦定理得：925491
cos 2352
ADC +-∠==-⨯⨯，故
120,60,ADC ADB ∠=︒∠=︒在ABD ∆中,由正弦定理得：
sin 60sin 45AB AD AB =⇒=︒︒
15.解析：因为函数13
23
+-=nx mx y 在[)∞+，
1上为增函数，所以2'20y mx n =-≥ 在[)∞+，1上恒成立，
故'
min 202y m n m n =-≥⇒≥，故符合条件的基本事件有（1,1），（1,2），
（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3，3），（3,4），（3,5），（3，6）……（6,6）共30个，而所有的基本事件有36个，故所求概率为305
366
p =
=. 16.解析：因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-，当
0x <时，1
()312
x f x x =--，令()0f x =得1312x x =+，在同一坐标系中分别作出
1
3,1(0)2
x y y x x ==+<的图像，发现有一个交点，故在0x <时，()f x 有一个零点，由奇
函数的对称性知，在0x >时，()f x 有一个零点，又在0x =也是零点，一共有三个零点.
17.解析：要使()f x 和()g x 在D 上是“密切函数”，只需min ()()1f x g x -<.对于①，
令2
22
2(1)14(1)()()()ln 1,'()01(1)(1)
x x y h x f x g x x h x x x x x x --==-=--=-=>+++，所以()h x 在(0,1)D =上单调递增，故其值域为(,1)-∞-，①不是“密切函数”
；对于②，采用和①同样的方法求得3
()()()31y h x f x g x x x ==-=-+在(0,1)D =上的值域为(1,1)-，故②是“密切函数”；对于③，采用和①同样的方法求得()()()x
y h x f x g x e x ==-=-在(0,1)D =上的值域为(1,1)e -，故③不是“密切函数”
；
对于④，令25
()()()38
h x f x g x x =-=
，令
222523(0,1),()13834t y t t t ==--=--，求得其值域为5
[1,)8
--，故④是“密切
函数”，选②④.
三、解答题
18. 解：（I ）230x x -+>20(2)30x x x -≤⎧⇔⎨⋅-+>⎩或20
(2)30x x x ->⎧⎨-+>⎩
…………3分
解得 12x -<≤或2x >∴不等式解集为 （－1，+∞）…………………………6分
（II ）()()f x m x f x x m <-⇔+<，即2x x m -+<，……………………7分
设()2g x x x =-+(33)x -<<，则 2230
()2
022223
x x g x x x x --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪-<<⎩
……………9分 ()g x 在（－3，0]上单调递减，2()8g x ≤< ；()g x 在（2，3）
上单调递增，2()4g x << ∴在（－3，3）上2()8g x ≤<，……………………………………………………11分
故8m ≥时不等式()f x m x <-在（－3，3）上恒成立……………………………12分
19. 解：（I ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=， 由题意知：1,22)(==ωπω
π
π知，由
的周期为x f ……………………………………2分 由)(x f 最大值为2，故232
=+a ，又0>a ，1=∴a ……………………………4分
)
32sin(2)(π
+
=∴x x f ……………………………………… …………………………5分
令232x k πππ+=+，解得()f x 的对称轴为()122
k x k Z ππ=+∈------------7分
（II ）由442()2sin 2,sin 233333f ππααα⎛⎫⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭知即，………………8分
sin 4sin 22cos 226323ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………………10分
2
22112sin 212339πα⎛⎫⎛⎫
=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
………………………………………12分
20. 解：(I)由频率分布直方图可知，0.085500200a =⨯⨯=，………………………2分
0.02550050b =⨯⨯=. ………………………………………………4分 (II) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为50
61300
⨯=，………………………………………………………………5分
第2组的人数为50
61300
⨯=，………………………………………………………………6分
第3组的人数为200
64300
⨯
=，……………………………………………………………7分 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．…………………………………………8分
(III)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：
1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C 13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共15种可能．………………………10分
其中恰有1人年龄在第3组有8种可能，……………………………………………12分
所以恰有1人年龄在第3组的概率为8
15………………………………………………13分
21. 解：（I ）由题意，2(4)35(1),(4.5) 2.35(2)254
a a b
f f =+==+=，联立（1）
（2）解得4,3a b ==，故24
()3(5)2
f x x x =
+--…………………………………………4分 （II ）商场每日销售该商品所获得的利润为
2()(2)()43(2)(5)(25)y g x x f x x x x ==-=+--<<………………………………6分 ''()9(3)(5)y g x x x ==--…………………………………………9分 列表得()'()x g x g x 、、的变化情况：
……………………………………………………………………………………11分
由上表可得，3x =是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点，也是最大值点.……12分 所以，当3x =时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于16.当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.………………………………………………14分
22. 解：（Ⅰ）11
()ax f x a x x
+'=+
=
……………………………………………1分 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，故()f x 的单调增区间为(0,)+∞………………3分
当0a <时，令'()0f x >解得10x a <<-，令'()0f x <解得1
x a
>-，故()f x 的单调增区间为1(0,)a -，()f x 的单调减区间为1
(,)a
-+∞…………………………………5分
（Ⅱ）由（I ）知， ①当1e a -
≥，即1
a e
≥-时，()f x 在(]0,e 上单调递增，∴max ()()10f x f e ae ==+≥舍；
………………………………………………………………………………………………7分
②当10e a <-
<，即1a e
<-时，()f x 在1(0,)a -上递增，在1(,)a e -上递减， 11max ()()1ln()a a f x f =-=-+-，令1
1ln()2a -+-=-，得a e =- ………………9分
（Ⅲ）即要证明ln 1
|()|2
x f x x >
+， (10)
分
由（Ⅰ）知当1a =-时，max ()(1)1f x f ==-，∴|()f x |≥1，……………………11分 又令ln 1()2x x x ϕ=
+，2
1ln ()x
x x
ϕ-'=，………………………………………………12分 故()x ϕ在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，…………………………………13分 故11
()()12
x e e ϕϕ≤=+<…………………………………………………………………14分
即证明ln 1
|()|2
x f x x >+。