2020年安徽省合肥市城关中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2020年安徽省合肥市城关中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是（）
(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
参考答案：
B
2. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
3. 设S={1，2，3}，M={1，2}，N={1，3}，那么（）∩（）等于
（）
A、 B、{1，3} C、
{1} D、{2，3}参考答案：
A
4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20πB．24πC．28πD．32π
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
5. 设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∪B等于（）
A．[﹣2，1）B．（﹣2，1] C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]
参考答案：
C
【考点】并集及其运算．
【分析】首先求出集合A，然后找出两集合的并集即可．
【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤1}，
因此A∪B=[﹣3，3）．
故选：C．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
6. 从[0,10]上任取一个数x，从[0,6]上任取一个数y,则使得的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
7. 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
参考答案：
B
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
8. 已知函数f（x）满足条件：?x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f（x+t）﹣f（x）＜0（其中t为正数），则函数f（x）的解析式可以是（）
A．y=xsinx+3 B．y=x3 C．y=﹣sinx D．y=﹣3x
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．
【分析】根据条件可判断出f（x）在R上为奇函数，且单调递减，这样看哪个选项函数满足这个条件即可．
【解答】解：f（x）+f（﹣x）=0；
∴f（﹣x）=﹣f（x）；
∴f（x）为奇函数；
f（x+t）﹣f（x）＜0；
∴f（x+t）＜f（x），t＞0；
∴f（x）在R上为减函数；
∴f（x）在R上是奇函数且是减函数；
A．y=xsinx+3为非奇非偶函数，∴该选项错误；
B．y=x3在R上为增函数，∴该选项错误；
C．y=﹣sinx在R上没有单调性，∴该选项错误；
D．一次函数y=﹣3x为奇函数，且在R上为减函数，∴该选项正确．
故选D．
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．
【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为
．
故选D．
10. 在中,若,则的形状一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不含角的等腰三角形
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （几何证明选做题）
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=．
参考答案：
3
略
12. 已知函数
在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．
参考答案：
13. 下列几个命题：
①不等式的解集为；
②已知均为正数，且，则的最小值为9；
③已知，则的最大值为；
④已知均为正数，且，则的最小值为7；
其中正确的有．（以序号作答）
参考答案：
②④
14. 在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____
参考答案：
两式相除得，交点的极坐标为
15. 以等腰直角的两个顶点为焦点，且经过第三个顶点的双曲线的离心率
为．
参考答案：
略
16. 设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足
+≤2，则a+b取值范围为．
参考答案：
[2，+∞）
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由+≤2，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，
|BD|≤2，解出即可．
【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），
当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；
当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，
化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．
由+≤2，即+．
设M（﹣1，0），N（1，0），
则2|PM|≤2，|BD|≤2，
∴，，
解得b≥1，a≥1，
∴a+b≥1+1=2．
∴a+b取值范围为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17. 已知定义在R上的函数f(x)与g(x)，若函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，且，则
．
参考答案：
12
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，点是圆直径延长线上的一点，切圆于点，直线平分，分别交于点．
求证：（1）为等腰三角形；
（2）．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴．
考点：与圆有关的比例线段．
19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
（1）求C1的普通方程和极坐标方程；
（2）若C1与C2相交于A、B两点，且，求p的值.
参考答案：
(1) 的普通方程为.极坐标方程为.
(2)
【分析】
(1)首先可根据参数方程的定义写出曲线的普通方程，再根据极坐标方程的
即可写出曲线的极坐标方程；
(2)本题首先可以设为原点，然后根据写出点的极坐标，将点的极坐标代入的极坐标方程中求出的值，最后将点的极坐标代入的极坐标方程中即可求出的值。

【详解】（1）由曲线的参数方程为可得，
再将其带入中，即可得到曲线的普通方程为，
将代入，
即可得到曲线的极坐标方程为。

（2）由题意可知，显然与有一个公共点为原点，
不妨设点为原点，由可设点的极坐标为.
代入极坐标方程得，即，又，所以，
再把代入的极坐标方程得，解得.
【点睛】本题考查极坐标方程与参数方程的相关性质，主要考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化，考查极坐标方程的性质的应用，考查计算能力，考查方程思想，是中档题。

20. 在直角坐标系xOy中，曲线C1: （为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线l的倾斜角（）
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与x轴的交点为M，与曲线C1的交点分别为A，B，求的值. 参考答案：
（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；
（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，
；
解法2：相交弦定理
21. 某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：
（1）设x=，根据表1的数据，求出y关于x 的回归方程；
（参考公式：；其中，）
（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M 不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M 在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程；
（2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．
【解答】解：（1）=（9+7+3+1）=5， =（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，
则==﹣1.05，
=5﹣（﹣1.05）×5=10.25，
故．
（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为=0.1，
AQI指数在200至400的频率为=0.2，
AQI指数大于400的频率为0.7．
设每月的收入为X，则X的分布列为
即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．
22. （本小题满分12分）
已知数列 {a n}中，a1 = 1, a4 = 7，且 na n+1 = (n +1)a n +λ.
（Ⅰ）求λ值及数列{a n}的通项公式 a n；
参考答案：
解：（Ⅰ）∵na n+1 = (n+1) a n +λ且 a 1 = 1, a 4 = 7
∴a2
= 2+
λ, a3 = 3+2λ, a4 = 4+3λ
∴4+3λ = 7 ∴λ=1 ……………………………………………………3分
∴a n = 2n－1 (n∈N*) ……………………………………………………7分略。