苏科版九年级下册《5.4二次函数与一元二次方程》强化提优检测

苏科版九年级下《5.4二次函数与一元二次方程》强化提优检测
（时间：90分钟满分：120分）
一．选择题（共10题；共30分）
1．某抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点是A(2，0)和B(－3，0)，则方程ax2＋bx＋c ＝0的两根分别是()
A．x1＝2，x2＝0B．x1＝－3，x2＝0 C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3
2．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2020的值为(D) A．2019B．2020C．2021D．2022
3
可得方程x2＋5x－3＝0一个解x的范围是(C)
A．0＜x＜0.25B．0.25＜x＜0.50 C．0.50＜x＜0.75D．0.75＜x＜1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()
A．m≥－2B．m≥5 C．m≥0D．m>4
第4题图第5题图第6题图第10题图
5.．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c －m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是()
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）
A．x1＝﹣3，x2＝0B．x1＝3，x2＝﹣1C．x＝﹣3D．x1＝﹣3，x2＝1 7．若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（）A．1B．±1C．﹣1D．-1/2
8.．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（）
A．1B．2C．3D．4
9．若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（）A．2个B．1个C．0个D．不能确定
10．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（）
A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6
二、填空题（共10题；共30分）
11．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0
的解为________________.
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA＝OC，则a的取值范围是______________.
13．已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是___________ 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c ＝0的根是．
15．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣3，0），则另一个交点坐标为．16．若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则关于x的一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第象限．
17．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m
与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是．
19．不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总
是正值，则m的取值范围是________，此时关于x的一元二次方程
2x2－6x＋m＝0的解的情况是________(填“有解”或“无解”)．
20．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)
的图象交于点A(－1，4)，B(6，2)(如图所示)，则能使y1＞y2成立的x
的取值范围是________________．
三、解答题（共6题；共60分）
21.已知二次函数y＝x2＋4x，
(1)用配方法把该函数化为顶点式，并画出这个函数的图象；
(2)求函数的图象与x轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，y＞－3?
22.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
23．如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x2﹣x+2＝0的解为；
（2）当y＞0时，x的取值范围是；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是．
24．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．
（1）求a，c的值；
（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
25．已知，抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（﹣1/2＜m≤3/2），直线l的解析式为y＝（k﹣1）x+2m﹣k+2．
（1）若抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，试求抛物线的解析式；
（2）试证明：抛物线与直线l必有两个交点；
（3）若抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x，不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立，当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1，求直线l的解析式．
26..如图所示，足球场上守门员在点O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(点A在y轴上)，运动员乙在距点O 6m的B处发现球在他正上方到达最高点M，距地面约5m高，
球落地后又一次弹起．根据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
(2)足球第一次的落地点C距守门员多少米？
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应从B处再向前跑多少米？
教师样卷
一．选择题（共10题；共30分）
1．某抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点是A(2，0)和B(－3，0)，则方程ax2＋bx＋c ＝0的两根分别是()
A．x1＝2，x2＝0B．x1＝－3，x2＝0 C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3
【答案】D
2．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2020的值为(D
)
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
3
可得方程x2
A．0＜x＜0.25B．0.25＜x＜0.50 C．0.50＜x＜0.75D．0.75＜x＜1
【答案】C
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()
A．m≥－2B．m≥5 C．m≥0D．m>4
【答案】A
第4题图第5题图第6题图第10题图
5.．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c －m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是()
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）
A．x1＝﹣3，x2＝0B．x1＝3，x2＝﹣1C．x＝﹣3D．x1＝﹣3，x2＝1【答案】D 【解析】：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故选：D．
7．若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（）A．1B．±1C．﹣1D．-1/2
【答案】D 【解析】：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故选：D．
8.．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D 【解析】：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线与x 轴的两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0），所以抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离为3﹣（﹣1）＝4．故选：D．
9．若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（）A．2个B．1个C．0个D．不能确定
【答案】C 【解析】：x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴没有交点，故选：C．
10．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（）
A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6
【答案】C 【解析】：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），∴对称轴为x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，∴右侧交点横坐标的取值
范围是4＜x＜5．故选：C
四、填空题（共10题；共30分）
13．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0
的解为________________.
【答案】x1＝﹣1，x2＝3 【解析】：抛物线的对称轴为直线x＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA＝OC，则a的取值范围是______________.
【答案】1/5＜a＜1/4 【解析】：∵OA＝OC，A（m，0），∴C（0，m），即c＝m，则抛物线解析式为y＝ax2+bx+m，根据题意知抛物线对称轴x=-b/2a＝(m+n）/2，可得b＝﹣am
﹣an ①，将点A （m ，0）代入y ＝ax 2+bx +m ，得：am 2+bm +m ＝0，即am +b +1＝0，∴b ＝﹣am ﹣1 ②，
由①、②可得﹣am ﹣1＝﹣am ﹣an ，即an ＝1，a ＝1/n ，∵4＜n ＜5，∴1/5＜a ＜1/4， 13．已知二次函数y ＝mx 2+x ﹣1的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是_____________.
【答案】m ＞﹣1/4且m ≠0 【解析】：解：∵原函数是二次函数，∴m ≠0．
∵二次函数y ＝mx 2+x ﹣1的图象与x 轴有两个交点，则△＝b 2﹣4ac ＞0，
△＝12﹣4m ×（﹣1）＞0，∴m ＞﹣1/4．综上所述，m 的取值范围是：m ＞﹣1/4且m ≠0，
14．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0），则一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根是 ．
【答案】x 1＝﹣1，x 2＝5，【解析】：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0），∴当y ＝0时，0＝ax 2+bx +c 对应的x 的值﹣1或5，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝5，
15．抛物线y ＝x 2﹣2x +m 与x 轴的一个交点为（﹣3，0），则另一个交点坐标为 ．
【答案】（5，0）【解析】：∵抛物线y ＝x 2﹣2x +m 的对称轴是直线x ＝﹣(-2)/2＝1， ∴点（﹣3，0）关于直线x ＝1对称的点的坐标是：（5，0），即另一个交点坐标为（5，0）． 16．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴没有交点，则关于x 的一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象不经过第 象限．
【答案】一．【解析】：∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故答案为：一．
17．已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 与x 轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x 的一元二次方程：a （x ﹣h +6）2+k ＝0的解为 ．
【答案】x 1＝﹣8，x 2＝﹣3 【解析】：将抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 向左平移6个单位长度后的函数解析式为y ＝a （x ﹣h +6）2+k ，∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣2，0），（3，0）两点，∴当a （x ﹣h +6）2+k ＝0向左平移6个单位时，对应的解是x 1＝﹣8，x 2＝﹣3， 18．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y ＝x +m
与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是 ．
【答案】-3＜m ＜-11/4 【解析】：令y ＝﹣x 2+4x ﹣3＝0，即x 2﹣4x +3
＝0，解得x ＝1或3，
则点A （1，0），B （3，0）．由于将C 1向右平移2个长度单位得C 2，
则C 2解析式为y ＝﹣（x ﹣4）2+1，当y ＝x +m 与C 2相切时，令y ＝x +m ＝y
＝﹣（x ﹣4）2+1，即x 2﹣7x +15+m ＝0，△＝72﹣4×（15+m ）＝0，解得
m 1=-11/4 ，
当y ＝x +m 2过点B 时， 即0＝3+m ，m ＝﹣3，当-3＜m ＜-11/4时直线y ＝
x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点．
21．不论自变量x 取什么实数，二次函数y ＝2x 2－6x ＋m 的函数值总是正值，则m 的取值范围是________，此时关于x 的一元二次方程2x 2－6x ＋m ＝0的解的情况是________(填“有解”或“无解”)．
【答案】m ＞92
无解 20．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)
的图象交于点A (－1，4)，B (6，2)(如图所示)，则能使y 1＞y 2成立的x
的取值范围是________________．
【答案】x ＞6或x ＜－1
五、解答题（共6题；共60分）
21.已知二次函数y ＝x 2＋4x ，
(1)用配方法把该函数化为顶点式，并画出这个函数的图象；
(2)求函数的图象与x 轴的交点坐标；
(3)当x 取何值时，y ＞－3?
解：(1)y ＝(x ＋2)2－4，函数图象大致为：
(2)与x 轴交点坐标为(0，0)，(－4，0)； (3)当x>－1或x<－3时，
y>－3.
22.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x (m )，占地面积为y (m 2)．
(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
解：(1)∵y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252
，∴当x ＝25时，占地面积最大，即饲养室长x 为25m 时，占地面积y 最大； (2)∵y ＝x·50－（x －2）2＝－12
(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积最大，即饲养室长x 为26m 时，占地面积y 最大；∵26－25＝1m ≠2m ，∴小敏的说法不正确．
23．如图为二次函数y ＝﹣x 2﹣x +2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x 2﹣x +2＝0的解为 ；
（2）当y ＞0时，x 的取值范围是 ；
（3）当﹣3＜x ＜0时，y 的取值范围是 ．
解：（1）令y ＝﹣x 2﹣x +2＝0，解得x ＝﹣2或1，故答案为x 1＝﹣2，x 2＝1；
（2）从图象看，当y ＞0时，x 的取值范围是﹣2＜x ＜1，故答案为﹣2＜x ＜1；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣1/2，9/4），当x ＝﹣3时，y ＝﹣9+3+2＝﹣4，故当﹣3＜x ＜0时，y 的取值范围是为﹣4＜y ≤9/4．
24．已知二次函数y ＝ax 2+10x +c （a ≠0）的顶点坐标为（5，9）．
（1）求a ，c 的值；
（2）二次函数y ＝ax 2+10x +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．
解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；
（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．
∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，
AB＝8﹣2＝6．∴S
＝1/2AB•OC＝1/2×6×16＝48．
△ABC
25．已知，抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（﹣1/2＜m≤3/2），直线l的解析式为y＝（k﹣1）x+2m﹣k+2．
（1）若抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，试求抛物线的解析式；
（2）试证明：抛物线与直线l必有两个交点；
（3）若抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x，不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立，当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1，求直线l的解析式．
解：（1）抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，即：﹣2m＝﹣3，解得：m＝3/2，
则抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
（2）抛物线：y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，直线：y＝（k﹣1）x+2m﹣k+2，x2+（2m﹣k）x ﹣4m+k﹣2＝0，△＝（2m﹣k）2﹣4（﹣4m+k﹣2）＝（2m﹣k）2+16m﹣4k+8，＝（2m﹣k）2+4（2m﹣k）+8m+4+4，＝（2m﹣k+2）2+8m+4，∵m＞﹣1/2，∴（2m﹣k+2）2+8m+4＞0，∴△＞0，抛物线与直线l必有两个交点；
＝﹣4，即＝﹣4，解得：m＝3/2或m＝﹣（3）依题意可知y
最小值
5/2，∵﹣1/2＜m≤3/2，∴m＝3/2，此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，①当k≤﹣1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小．此时y
＝k2+2k﹣3，
最小值
∴k2+2k﹣3＝2k+1，解得：k1＝2＞﹣1（舍去），k2＝﹣2，
②当k﹣2＜﹣1＜k，即＜﹣1＜k＜1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，y
＝﹣4，∴2k+1＝
最小值
﹣4
∴解得：k＝﹣5/2＜﹣1 （舍去）；③当k﹣2≥﹣1，即k≥1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，
＝（k﹣2）2+2 （k﹣2）﹣3，
图象上升，y随x增大而增大，此时y
最小值
（k﹣2）2+2 （k﹣2）﹣3＝2k+1，解得：k1＝2+2，k2＝2﹣2＜1 （舍去），
综上所述，直线l：y＝﹣3 x+7或y＝（1+2）x+3﹣2．
26..如图所示，足球场上守门员在点O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(点A在y轴上)，运动员乙在距点O 6m的B处发现球在他正上方到达最高点M，距地面约5m高，球落地后又一次弹起．根据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
(2)足球第一次的落地点C距守门员多少米？
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应从B处再向前跑多少米？
解：(1)由题目可知顶点M(6，5)，A(0，1)，设y ＝a(x －6)2＋5，把A(0，1)代入得a ＝－19
.∴y ＝－19(x －6)2＋5； (2)令y ＝0，则－19
(x －6)2＋5＝0，得x 1＝6－35(舍去)，x 2＝6＋3 5.∴足球第一次的落地点C 距守门员(6＋35)m ； (3)设足球弹起后抛物线的顶点为(m ，52
)．形状与第一次相同，则y ＝－19(x －m)2＋52，把C(6＋35，0)代入，得m 1＝6＋35＋32
10，m 2＝6＋35－3210(舍去)，∴对称轴为直线x ＝6＋35＋32
10，∴CD ＝310，∴BD ＝BC ＋CD ＝6＋35－6＋310＝35＋310，即运动员乙要向前再跑(35＋310)米．。