河北省唐山市开滦第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

河北省唐山市开滦第二中学2023-2024学年高一下学期4月
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z 满足()34i 5i z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．已知向量()()2,1,1,3a b ==-r r ，则()()3a b a b +⋅-=r r r r （ ）
A ．24-
B ．23-
C ．22-
D ．21-
3．在ABC V 中，2,120AB AC C ===o ，则sin A =（ ）
A B C D
4．向量,a b r r 满足1a =r ，b =r ()(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 5．桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O 的同一水平面上的,A B 两点处进行测量，如图2.已知在A 处测得塔顶P 的仰角为
60°，在B 处测得塔顶P 的仰角为45°，25AB =米，30AOB ∠=o ，
则该塔的高度OP =（ ）
A ．
B ．
C ．50米
D ． 6．在ABC V 中，若cos cos a A b B =，则ABC V 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
7．已知ABC V 外接圆圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r AB =u u r u u u r ，则向量
AB u u u r 在向量BC u u u r 上的投影向量为（ ）
A ．34
BC uu u r B ．14
BC u u u r C ．14BC -u u u r D ．34BC -u u u r 8．设O 为ABC V 的外心，若OA OB OC OM ++=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点M 是ABC V 的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．垂心 D ．外心
二、多选题
9．下列命题中错误的是（ ）
A ．已知,a b r r 为平面内两个不共线的向量，则{}
,3a b a b +-+r r r r 可作为平面的一组基底 B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D ．若//a b r r ，则存在唯一实数λ使得a b λ=r r
10．下列命题为真命题的是（ ）
A ．复数2i -在复平面内对应的点在第二象限
B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43i i n +=
C ．若复数i(,R)z a b a b =+∈为纯虚数，则0a =，0b ≠
D ．复数2i --的虚部为1-
11．有下列说法其中正确的说法为（ ）
A ．若,a b b c r r r r ∥∥，则a c r r ∥
B ．设点M 在AB
C V 所在平面内，若AB AC AM AB AC
=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，且()1(01)AM AB AC λλλ=+-<<u u u u r u u u r u u u r ，则BM MC =u u u u r u u u u r
C ．两个非零向量,a b r r ，若a b a b -=+r r r r ，则a r 与b r 共线且反向
D ．若230,,AOC AOB OA OB OC S S ++=u u u r u u u r u u u r r △△分别表示,AOC AOB △△的面积，则
:1:3AOC AOB S S =△△
12．在ABC V 中，角,,A B C 的边分别为,,a b c ，知60B ︒=，4b =，则下列判断中正确的是（ ）
A ．若π
4A =，则a = B ．若92
a =，该三角形只有一解
C ．ABC V 周长的最小值为12
D ．ABC V 面积的最大值
三、填空题
13．化简：()()2114367334a b b a b ⎡⎤-+--=⎢⎥⎣⎦
r r r r r . 14．已知关于x 的方程220x x c -+=的一个虚根为12i +（其中i 为虚数单位），则实数c =. 15．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，有π4
A =，222a b c ab +-=，3c =，则=a .
16．在梯形ABCD 中，//,2,1,120,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=︒、分别为线段BC
和线段CD 上的动点，且1,2BP BC DQ DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则DP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围为．
四、解答题
17．设复数()121i ,34i z a a z =-∈=-R ．
(1)若12z z +是实数，求12z z ⋅；
(2)若
12
z z 是纯虚数，求1z ． 18．已知非零向量1e u r ，2e u u r 不共线． (1)如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228BC e e =+u u u r u r u u r ，()
123CD e e =-u u u r u r u u r ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u r 共线，试确定实数k 的值．
19．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
(1)求C ；
(2)若5c =，ABC V
的面积为ABC V 的周长.
20．如图，在ABC V 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，M ，N 分别为AC ，BC 上的两点12
AN AC =u u u r u u u r ，13BM BC =u u u u r u u u r ，AM ，BN 相交于点P ．
(1)求AM u u u u r 的值；
(2)求证：AM PN ⊥．
21．如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD
，2AB CD ==
tan A ，1cos 3ADB ∠=．
(1)求cos BDC
∠的值；
(2)求BC的长．
22．如图，在四边形ABCD中，
π
2
DAB
∠=，π
6
B=，且ABC
V的外接圆半径为4.
(1)若
BC=AD=ACD
V的面积；
(2)若
2π
3
D=，求BC AD
-的最大值.。