广东省清远市2019-2020学年中考数学五月模拟试卷含解析

广东省清远市2019-2020学年中考数学五月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝1
2
，且经过点(2，0)，下列说法：
①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(5
2
，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说
法正确的有( )
A．②③④B．①②③C．①④D．①②④
2．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
3．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米，方差分别是，，则在本次测试中，成绩更稳定的同学是（）
A．甲B．乙C．甲乙同样稳定D．无法确定
4．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
5．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增长到长边相等（长边不变），使扩大后的棣地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加16002
m，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（）
A．x（x-60）=1600
B．x（x+60）=1600
C．60（x+60）=1600
D．60（x-60）=1600
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是()
A．a的相反数大于2 B．a的相反数是2 C．|a|＞2 D．2a＜0
7．将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A ．a 2•a 3=a 6
B ．a 2+a 3=a 5
C ．（a 2）3=a 6
D ．a 12÷
a 6=a 2 10．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
A ．1
B ．23
C ．22
D 5 11．如图，半径为5的A e 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是BAC ∠，EAD ∠，若6D
E =，180BAC EAD ∠+∠=︒，则弦BC 的长等于（ ）
A ．8
B ．10
C ．11
D ．12
12．在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．抛物线y=mx 2+2mx+5的对称轴是直线_____．
14．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
15．如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为__________．
16．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y=﹣4x 图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 17．已知关于x 的方程有解，则k 的取值范围是_____．
18．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，
将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A′的位置，若OB ＝5，tan ∠BOC ＝12
，则点A′的坐标为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，AC ⊥BD ，DE 交AC 于E ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ．求证：AC ＝AE+BC ．
20．（6分）如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC长．
21．（6分）如图，抛物线23
2 2
y ax x
=--（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
22．（8分）如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，
①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．
23．（8分）综合与探究：
如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，点()3,1C -在二次函数21332y x bx =-++的图像上． （1）求二次函数的表达式；
（2）求点 A ，B 的坐标；
（3）把△ABC 沿 x 轴正方向平移， 当点 B 落在抛物线上时， 求△ABC 扫过区域的面积．
24．（10分）解方程组220y x x y =⎧⎨+-=⎩
. 25．（10分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A ，B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A ，B 两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？
26．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆恰好与BC 相切于点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．
（1）若∠B=30°，求证：以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是菱形；
（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD ，则⊙O 的半径为 ，AD 的长为 ．
27．（12分）先化简，再求值：22144(1)1a a a a a
-+-÷--，其中a 是方程a （a+1）＝0的解．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】
根据图象得出a<0, a+b=0,c>0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,根据(－2，y 1)，(52，y 2)到对称轴的距离即可判断④.
【详解】
∵二次函数的图象的开口向下,
∴a<0,
∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上,
∴c>0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x=
12, ∴a=-b,
∴b>0,
∴abc<0,故①正确;
∵a=-b, ∴a+b=0,故②正确;
把x=2代入抛物线的解析式得，
4a+2b+c=0,故③错误; ∵()151-2222
->- , 12,y y <∴
故④正确;
故选D..
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力. 2．D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.
【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数
据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
3．A
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
∵S甲2=1.4，S乙2=2.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是甲；
故选A．
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．A
【解析】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
5．A
【解析】
试题分析：根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为x米和（x－60）米，根据长方形的面积计算法则列出方程．
考点：一元二次方程的应用．
6．B
试题分析：由数轴可知，a＜-2，A、a的相反数＞2，故本选项正确，不符合题意；B、a的相反数≠2，故本选项错误，符合题意；C、a的绝对值＞2，故本选项正确，不符合题意；D、2a＜0，故本选项正确，不符合题意．
故选B．
考点：实数与数轴．
7．C
【解析】
【分析】
严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
【详解】
根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直．
故选C．
【点睛】
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
8．C
【解析】
试题分析：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=1
2
BP•BQ，解y=
1
2
•3x•x=2
3
2
x；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=1
2
BQ•BC，解y=
1
2
•x•3=
3
2
x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=1
2
AP•BQ，解y=
1
2
•（9﹣3x）•x=2
93
22
x x
；
故D选项错误．
故选C．
考点：动点问题的函数图象．
9．C
【解析】
【分析】
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．
A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；
C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；
D、a12÷a6=a12﹣6=a6，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．C
【解析】
分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=
1
2
PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．
详解：如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵
PAH GFH AH FH
AHP FHG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH=1
2 PG，
∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，
则GH=1
2
PG=
1
2
×22
PD DG
+=
2
2
，
故选：C．
点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
11．A
【解析】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF
的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=1
2
BF=1，从而求解．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=120°，而∠BAC+∠BAF=120°，
∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，
∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=1
2
BF=1．
∴2222
534
BH AB AH
-=-=，
∴BC＝2BH＝2．
故选A．
“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
12．A
【解析】
【分析】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过一、二、三象限，据此作答即可．
【详解】∵一次函数y=3x+1的k=3＞0，b=1＞0，
∴图象过第一、二、三象限，
故选A ．
【点睛】一次函数y=kx+b 的图象经过第几象限，取决于x 的系数和常数项.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．x=﹣1
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴公式可直接得出.
【详解】
解：这里a=m ，b=2m
∴对称轴x=2122b m a m
-=-=- 故答案为：x=-1.
【点睛】
解答本题关键是识记抛物线的对称轴公式x=2b a -
. 14．1
【解析】
考点：圆锥的计算．
分析：求得扇形的弧长，除以1π即为圆锥的底面半径．
解：扇形的弧长为：1445180
π⨯=4π； 这个圆锥的底面半径为：4π÷1π=1．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 15．6
【解析】
【分析】
利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E ，易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3，
∴2
∵AE 平分∠CAD ， ∴∠CAE=∠DAE ，
∵AD ∥CE ， ∴∠DAE=∠E ， ∴∠CAE=∠E ， ∴2，
∵FA ⊥AE ，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F ， ∴CF=AC=32， ∴EF=CF+CE=32+32=62
16．y 1＜y 1
【解析】
分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 1与y 1的大小，从而可以解答本题． 详解：∵反比例函数y=-4x
，-4＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵A （-4，y 1），B （-1，y 1）是反比例函数y=-
4x 图象上的两个点，-4＜-1， ∴y 1＜y 1，
故答案为：y 1＜y 1．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．
17．k≠1
【解析】
试题分析：因为，所以1-x+2（x-2）=-k ，所以1-x+2x-4=-k ，所以x=3-k ，所以，因为原方程有解，所以
，解得． 考点：分式方程．
18．34(,)55
-
【解析】
【分析】 如图，作辅助线；根据题意首先求出AB 、BC 的长度；借助面积公式求出A′D 、OD 的长度，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形OABC 是矩形，
∴OA=BC ，AB=OC ，tan ∠BOC=
12=BC OA OC AB
=， ∴AB=2OA ，
∵222OB AB OA =+，5
∴OA=2，AB=2．∵OA′由OA 翻折得到，
∴OA′= OA=2．
如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；
设A′D=a，OD=b；
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；设AB=OC=a，BC=AO=b；
∵OB=5，tan∠BOC=1 2
，
∴
225)2
(
1
2
a b
b
a
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
n
，
解得：
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
由题意得：A′O=AO=2；△ABO≌△A′BO；
由勾股定理得：x2+y2=2①，
由面积公式得：
1
2
xy+2×
1
2
×2×2＝
1
2
(x+2)×(y+2)②；
联立①②并解得：x=
4
5
，y=
3
5
．
故答案为（−
3
5
，
4
5
）
【点睛】
该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．见解析.
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得BC＝CE，即可得结论．
【详解】
证明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴BC ＝CE ，
∵AC ＝AE+CE
∴AC ＝AE+BC
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
20．2.
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理，证△ABD 是直角三角形，得AD ⊥BC ，可证AD 垂直平分BC ，所以AB=AC.
【详解】
解：∵AD 是△ABC 的中线，且BC=10，
∴BD=12
BC=1． ∵12+122=22，即BD 2+AD 2=AB 2，
∴△ABD 是直角三角形，则AD ⊥BC ，
又∵CD=BD ，
∴AC=AB=2．
【点睛】
本题考核知识点：勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点：熟记相关性质，证线段相等. 21．（1）213222y x x =
--；（2）（32，0）；（3）1，M （2，﹣3）． 【解析】
试题分析：方法一：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC 的面积可由S △MBC =12
BC×h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M ．
方法二：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．
（2）通过求出A ，B ，C 三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC ⊥BC ，从而求出圆心坐标．
（3）利用三角形面积公式，过M 点作x 轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC 的面积函数，
从而求出M 点．
试题解析：解：方法一：
（1）将B （1，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a ﹣32×1﹣2，即：a=12，∴抛物线的解析式为：213222
y x x =--． （2）由（1）的函数解析式可求得：A （﹣1，0）、C （0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC 2=OA•OB ，又：OC ⊥AB ，∴△OAC ∽△OCB ，得：∠OCA=∠OBC ； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（32
，0）． （3）已求得：B （1，0）、C （0，﹣2），可得直线BC 的解析式为：y=12
x ﹣2； 设直线l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为：y=12
x+b ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程： 12x+b=213222x x --，即：212202x x b ---=，且△=0； ∴1﹣1×1
2
（﹣2﹣b ）=0，即b=﹣1； ∴直线l ：y=12
x ﹣1． 所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点，有：213222142y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得：23x y =⎧⎨=-⎩ 即 M （2，﹣3）．
过M 点作MN ⊥x 轴于N ，S △BMC =S 梯形OCMN +S △MNB ﹣S △OCB =
12×2×（2+3）+12×2×3﹣12×2×1=1． 方法二：
（1）将B （1，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a ﹣32×1﹣2，即：a=12，∴抛物线的解析式为：213222
y x x =--． （2）∵y=12
（x ﹣1）（x+1），∴A （﹣1，0），B （1，0）．C （0，﹣2），∴K AC =0210+-- =﹣2，K BC =0240+-
=12，∴K AC ×K BC =﹣1，∴AC ⊥BC ，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，△ABC 的外接圆的圆心是AB 的中点，△ABC 的外接圆的圆心坐标为（32，0）． （3）过点M 作x 轴的垂线交BC′于H ，∵B （1，0），C （0，﹣2），∴l BC ：y=12x ﹣2，设H （t ，12t ﹣2），M （t ，213222t t --），∴S △MBC =12×（H Y ﹣M Y ）（B X ﹣C X ）=12×（12
t ﹣2﹣213222t t ++）（1﹣0）=﹣t 2+1t ，∴当t=2时，S 有最大值1，∴M （2，﹣3）．
点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．
22．（1）见解析；（2）①见解析；②.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM=CE ，PN=BD ，进而判断出BD=CE ，即可得出结论PM=PN ； （2）①先证明△ABD ≌△ACE ，得BD=CE ，同理根据三角形中位线定理可得结论；
②如图4，连接AM ，计算AN 和DE 、EM 的长，如图3，证明△ABD ≌△CAE ，得BD=CE ，根据勾股定理计算CM 的长，可得结论
【详解】
（1）如图1，∵点N，P是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（2）①如图2，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∵点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，
∴PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，如图3，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE，
如图4，连接AM，
∵M 是DE 的中点，N 是BC 的中点，AB=AC ，
∴A 、M 、N 共线，且AN ⊥BC ，
由勾股定理得：AN==4，
∵AD=AE=1，AB=AC=6， ∴=，∠DAE=∠BAC ， ∴△ADE ∽△AEC ， ∴
， ∴
， ∴AM=
，DE=， ∴EM=，
如图3，Rt △ACM 中，CM===， ∴BD=CE=CM+EM=
． 【点睛】
此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE ，PN=BD ，解（2）①的关键是判断出△ABD ≌△ACE ，解（2）②的关键是判断出△ADE ∽△AEC
23．（1）2113362
y x x =-
++；（2）(1,0),(0,2)A B -；（3）192． 【解析】
【分析】
（1）将点(3,1)C -代入二次函数解析式即可；
（2）过点C 作CD x ⊥轴，证明BAO ACD ≅V V 即可得到1,2OA CD OB AD ====即可得出点 A ，B
的坐标；
（3）设点E 的坐标为()2(0)E m m ->，，解方程21132362m m
-++=-得出四边形ABEF 为平行四边形，求出AC ，AB 的值，通过ABC V 扫过区域的面积=EFC ABEF S S ∆+四边形代入计算即可．
【详解】
解：(1)∵点(3,1)C -在二次函数的图象上，
21333132
b ∴-⨯++=-． 解方程，得16
b = ∴二次函数的表达式为2113362
y x x =-++． (2)如图1，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ．
90CDA ∴∠=︒
90CAD ACD ∴∠+∠=︒．
90BAC ∠=︒Q ，
90BAO CAD ∴∠+∠=︒
BAO ACD ∴∠=∠．
在Rt BAO V 和Rt ACD △中，
∵90BOA ADC BAO ACD AB CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BAO ACD ∴≅V V ．
∵点C 的坐标为(3)1-，
， 1,312OA CD OB AD ∴====-=．
(1,0),(0,2)A B ∴-．
(3)如图2，把ABC ∆沿x 轴正方向平移，
当点B 落在抛物线上点E 处时，设点E 的坐标为()2(0)E m m ->，
． 解方程21
132362m m -++=-得：3m =-(舍去)或72
m = 由平移的性质知，AB EF =且//AB EF ，
∴四边形ABEF 为平行四边形，
72
AF BE ∴== 2222215AC AB OB AO ==+=+Q
ABC ∴V 扫过区域的面积=EFC ABEF S S ∆+四边形=171255222OB AF AB AC ⋅+
⋅=⨯+192=． 【点睛】
本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是灵活运用二次函数的性质与几何的性质．
24．22x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩
． 【解析】
【分析】
把y=x 代入2
20x y +-=,解得x 的值，然后即可求出y 的值；
【详解】
把(1)代入(2)得：x 2+x ﹣2＝0，
(x+2)(x ﹣1)＝0，
解得：x ＝﹣2或1，
当x ＝﹣2时，y ＝﹣2，
当x ＝1时，y ＝1， ∴原方程组的解是22x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了高次方程的解法，关键是用代入法先求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
25．（1）购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．（2）最多购买B 型学习用品1件
【解析】
【分析】
（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．
（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．
【详解】
解：（1）设购买A 型学习用品x 件，B 型学习用品y 件，由题意，得
x y 100020x 30y 26000+=⎧⎨+=⎩，解得：x 400y 600
=⎧⎨=⎩． 答：购买A 型学习用品400件，B 型学习用品600件．
（2）设最多可以购买B 型产品a 件，则A 型产品（1000﹣a ）件，由题意，得
20（1000﹣a ）+30a≤210，
解得：a≤1．
答：最多购买B 型学习用品1件
26． (1) 见解析；（2）15,354 【解析】
【分析】 (1) 先通过证明△AOE 为等边三角形, 得出AE=OD, 再根据“同位角相等, 两直线平行” 证明AE//OD, 从而证得四边形AODE 是平行四边形, 再根据 “一组邻边相等的平行四边形为菱形” 即可得证．
(2) 利用在Rt △OBD 中，sin ∠B==可得出半径长度，在Rt △ＯＤＢ中BD=，可求得ＢＤ的长，由CD=CB ﹣BD 可得ＣＤ的长，在ＲＴ△ＡＣＤ中，AD=
，即可求出AD 长度．
【详解】 解：（1）证明：
连接OE 、ED 、OD ，
在Rt △ABC 中，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE ，∴△AEO 是等边三角形，
∴AE=OE=AO
∵OD=OA，
∴AE=OD
∵BC是圆O的切线，OD是半径，∴∠ODB=90°，又∵∠C=90°
∴AC∥OD，又∵AE=OD
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OD=OA
∴四边形AODE是菱形．
（2）
在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=10，∴sin∠B==，BC=8
∵BC是圆O的切线，OD是半径，∴∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，sin∠B==，∴OB=OD
∵AO+OB=AB=10，
∴OD+OD=10
∴OD=
∴OB=OD=
∴BD=
=5
∴CD=CB﹣BD=3
∴AD=
=
=3．
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题、菱形以及相似三角形的判定与性质
27．1 3
【解析】
【分析】
根据分式运算性质,先化简,再求出方程的根a=0或-1,分式有意义分母不等于0,所以将a=-1代入即可求解. 【详解】
解：原式=
()
()2
a a1 a11
a1a2
---
⨯
--
=
a a2 -
∵a(a+1)=0,解得：a=0或-1,
由题可知分式有意义,分母不等于0, ∴a=-1,
将a=-1代入
a
a2
-
得,
原式=1 3
【点睛】
本题考查了分式的化简求值,中等难度,根据分式有意义的条件代值计算是解题关键.。