江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题4

江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学
校调研测试试题4
一、单选题
1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2
﹣1≤0}，B ＝{x |1x
≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤0} B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |﹣1≤x ≤0}
D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}
2若函数()211
1x x f x lgx x ⎧+≤=⎨>⎩
，则f(f(10)= （ ）
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
3．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ）
A ．2x x a ⎧<⎨⎩
或
}1x > B ．2
|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C ．{1x x <或2x a ⎫>
⎬⎭D ．2|1x x a ⎧
⎫
<<⎨⎬⎩⎭
4．已知tan 2α=，则()()
sin cos sin cos 22
αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．-1
5．函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤
=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值域为（ ） A ．[0，1]
B ．11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C
．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11
,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3
B ．-3
C ．3
2
D ．32
-
7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,
上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0-
B ．(]0,1
C ．(),0-∞
D ．[]1,1-
8．设0x >，0y >，且11
42x y +=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2log 6-
D ．2
32log 8
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A ．当0x >时，2
≥ B ．当2x >时，1
x x
+
的最小值是2 C ．当54x <时，1
4245
y x x =-+-的最小值为5
D ．当0x >，0y >时，
2x y
y x
+≥ 10．下列表述正确的是：（ ）
A ．“7
6x =π”是“1sin 2
x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，0
20x ≤”
11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ） A ．12
CB AB AD =-+ B ．1133
AF AB AD =+ C ．126
3CF AB AD =-
D ．213
3
BF AB AD =-+
12．已知函数()()ππsin 32
2f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π
4x =对称，则（ ）
A ．函数()f x 的图象向右平移π4
个单位长度得到函数cos3y x =-的图象
B ．函数π12f x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭为偶函数 C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π
3
二、填空题
13．化简4
log 32.5log 6.25lg0.0012ln 2e ++-=_____．
14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则1
2b a +的最小值是________
16．函数2
12
log 32y x x =--的值域为____________，单调递增区间为__________．
三、解答题
17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-.
（1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθ
θθ
-+的值；
（2）若
25=
5
a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值 18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2a ＋b ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，－5≤()f x ≤1. （1）求常数a ，b 的值；
（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.
19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.
（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.
20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为
()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x
x -<≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部
销售完时，年利润为704万美元.
（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
21．已知函数2()223f x x mx m =+--.
（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围；
（2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上恒成立，求实数m 的取值范围.
22．已知定义域为R 的函数()1
221
x a
f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；
(2)判断函数()f x 的单调性并证明；
(3)若关于m 的不等式()()22
2420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范
围.
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试4
数学试卷
一、单选题
1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2
﹣1≤0}，B ＝{x |1
x
≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ）
A ．{x |﹣1＜x ≤0}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |﹣1≤x ≤0}
D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}
【答案】C
2若函数()211
1x x f x lgx
x ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)= （ ）
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
3．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ）
A ．2x x a
⎧<⎨⎩
或}1x > B ．2|1x x a
⎧⎫
<<⎨⎬⎩
⎭
C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭
D ．2|1x x a ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭
【答案】A 【分析】
分解因式得()()210ax x -->，由2a >可得21a
<，即可得出解集. 【详解】
不等式2(2)20ax a x -++>化为()()210ax x -->，
2a >，2
1a ∴
<，故不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩
或}1x >. 故选：A.
4．已知tan 2α=，则()()
sin cos sin cos 22
αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．-1
【答案】A 【分析】
根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】
()()sin cos sin cos tan 121
3
cos sin 1tan 12sin cos 22αππααααππααααα-+-------=
===---⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：A
5．函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤
=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值域为（ ） A ．[0，1]
B ．11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C
．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．11
,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
根据自变量x 的范围，得到23
x π
+的范围，进一步得到答案.
【详解】 解：
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2132y x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，. 故选：B.
6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3 B ．-3
C ．32
D ．32
-
【答案】D 【分析】
利用向量的数量积即可求解. 【详解】
解析：311cos12011cos12011cos1202
a b b c c a ︒︒︒
⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-.
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.
7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,
上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0- B ．(]0,1 C ．(),0-∞ D ．[]1,1-
【答案】A 【分析】
根据偶函数的性质将不等式()()11f m f m -<+转化为(|1|)(|1|)f m f m -<+，再根据单调性可解得结果.
因为函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数， 所以()()11f m f m -<+等价于(|1|)(|1|)f m f m -<+， 因为当[0,2]x ∈时，()f x 单调递减， 所以0|1||1|2m m ≤+<-≤，解得10m -≤<. 故选：A 【点睛】
关键点点睛：解题时，注意偶函数性质()()(||)f x f x f x =-=恒成立在解题中的应用，属于中档题.
8．设0x >，0y >，且11
42x y +=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2log 6-
D ．2
3
2log 8
【答案】B 【分析】
利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值. 【详解】
0x ，0y >，且1142x y +=，1142x y ∴=+≥=2， 1
8
xy ∴≥
，当且仅当2x y =时取等号. 422222
1
2log log log log log log 38
z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A ．当0x >时，2
≥ B ．当2x >时，1x x
+的最小值是2 C ．当54x <
时，1
4245
y x x =-+-的最小值为5
D ．当0x >，0y >时， 2x y
y x +≥ 【答案】AD 【分析】
利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可. 【详解】
选项A 中，0x >
≥=1x =时等号成立，故
正确；
选项B
中，2x >时，12x x +
≥=， 当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，
但是2x >，取不到最小值2，故错误； 选项C 中，54
x <时，450x -<，则540x ->，
故1142=5433=14554y x x x x ⎛
⎫=-+
--++≤- ⎪--⎝⎭
，
当且仅当1
5454x x
-=-时，即541x -=时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误；
选项D 中，当0x >，0y >时，
0,0x y y x >>，故 2x y y x +≥=， 当且仅当x
y
y x =时等号成立，故正确. 故选：AD.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．下列表述正确的是：（ ） A ．“76x =
π”是“1
sin 2
x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，0
20x ≤”
【答案】ACD 【分析】
根据三角函数的定义可判断A ；根据向量共线的坐标表示可判断B ；根据向量垂直的坐标表示可判断C ；利用含有一个量词的命题否定变换形式可判断D. 【详解】
对于A ，“76x =
π”可推出“1
sin 2x =-”， 反之，当1sin 2x =-，可得72,6x k k Z ππ=+∈或
112,6
x k k Z π
π=+∈， 故“76x =π”是“1
sin 2
x =-”的充分不必要条件，故A 正确；
对于B ，若//a b ，则40x -=，解得4x =，故B 错误；
对于C ，若a b ⊥，则240x y -+-=，即6x y +=，故C 正确； 对于D ，由特称命题的否定变换形式，
可得“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，0
20x ≤”，故D 正确.
故选：ACD
11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ） A ．12
CB AB AD =-+ B ．1133
AF AB AD =+ C ．12
63CF AB AD =
- D ．21
33
BF AB AD =-
+ 【答案】BD 【分析】
利用向量的线性运算将CB ,,AF CF BF 用基底AB 和AD 表示，与选项比较即可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：1
122
CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；
()
111211221
1222322333
3AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=
=+=-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确； 11112
23363
CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=-
-++=--，故选项C 不正确， 1121
3333
BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；
故选：BD
12．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭
的图象关于直线π
4x =对称，则（ ）
A ．函数()f x 的图象向右平移π4
个单位长度得到函数cos3y x =-的图象
B ．函数π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
为偶函数
C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增
D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π
3
【答案】BCD
【分析】
函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，可得π
4ϕ=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，
对于A ，根据函数()f x 的图象平移可判断；对于B ，求出函数π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式可判断；对于C ，求出π
π
3420,x ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
，根据函数()f x 在区间上单调递增可判断；对于D ，求出()max f x ，
()min f x ，()f x 的周期可判断.
【详解】
函数()()ππsin 32
2f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π
4x =对称， ππ
3π42k ϕ∴⨯-=+，k ∈Z ；
ππ22ϕ-
<<，π4ϕ∴=，()πsin 34f x x ⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭，
对于A ，函数()f x 的图象向右平移π
4
个单位长度得到函数
πππsin 3sin3444f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦的图象，故错误；
对于B ，函数πππsin 3cos312124f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，根据余弦函数的奇偶性，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，故正确；
对于C ，由于ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，函数()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,124⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故
正确；
对于D ，因为()max 1f x =，()min 1f x =-，
又因为()()122f x f x -=，()πsin 34f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
的周期为2π3T =，
所以则12x x -的最小值为π
3
，故正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了()()sin f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 二、填空题
13．化简4
log 32.5log 6.25lg0.0012++=_____．
【答案】【分析】
利用对数的运算性质和换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】
由对数的运算性质得，原式log 23
2.51log 2.5lg1022
2312
-=++⨯-=-+-=
故答案为： 【点睛】
本题考查对数的运算，涉及对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 【答案】12
- 【分析】
运用向量加法公式和向量平行公式即可. 【详解】
向量()1,2a =-，(),1b m = ，所以()1,3a b m +=-，
若向量a b +与a 平行，可得()13210m -⨯--= ，解得12
m =-. 故答案为:12
-
15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则1
2b a +的最小值是________ 【答案】
3+ 【分析】
由题意得出112
21b a
a a
+=+-，令0,10x a y a =>=->，结合基本不等式得出最小值.
【详解】 由题意得1
01b a =
>-，11221b a a a +=+- 令0,10x a y a =>=->，则1x y +=
112122
2()3323y x y b x y a x y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭
当且仅当y =，即1a =时，取等号，则1
2b a
+的最小值是3+
故答案为：3+
16．函数12
log y =的值域为____________，单调递增区间为__________．
【答案】[)1,-+∞ ()1,1- 【分析】
先由题意求出函数的定义域，令()g x = ，确定其单调性和值域，再利用复合函数的单调性判断原函数的单调性即可求解. 【详解】
令2032x x -->，即2230x x +-<，解得：31x -<< 所以函数的定义域为{}|31x x -<<，
12
log y =()12
log y g x =和()g x =
因为()12
log y g x =为减函数，
要求12
log y =()g x =
()g x =()1,1-，
所以12
log y =()1,1-，
因为()02g x <==≤，
所以
112
2
2log log 1y =-=， 所以原函数的值域为[)1,-+∞， 故答案为：[)1,-+∞；()1,1- 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是先求函数的定义域，研究函数的单调性和值域都是在函
数的定义域范围内研究，()02g x <==≤，即可根据对数函数的性质求值域.
三、解答题
17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-. （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθ
θθ
-+的值；
（2）若
25=
5
a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值 （1）//sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-， ()()342
3sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241
θθθθθθ⨯----∴
===++⨯-+ （2）由题可得()2
1cos sin 12cos sin 5
x x x x -=-⋅=， 所以42cos sin 5
x x ⋅=， 所以()
2
9cos sin 12cos sin 5
x x x x +=+⋅=
， ∵x 是第三象限角，
∴cos sin x x +=； 18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin 26x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
＋2a ＋b ，当0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，－5≤()f x ≤1.
（1）求常数a ，b 的值；
（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.
【答案】（1）25a b =⎧⎨=-⎩
；（2）单调增区间2,63k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；对称轴方程,62k x k Z ππ=+∈. 【分析】
（1）首先求sin 26x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
的值域，结合a >0且－5≤()f x ≤1即可求a ，b 的值；
（2）利用三角函数的单调区间，结合复合函数单调性知2
π＋2kπ ≤ 2x ＋6π
≤32
π＋2kπ
为单调增，同时由正弦函数的对称轴方程知2,6
2
x k k Z π
π
π+=
+∈，即可求单调递增区间
及对称轴方程； 【详解】
（1）由x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，知：6π≤ 2x ＋6π
≤
76ππ，
∴－1
2
≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，又a > 0，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时有－5≤()f x ≤1， ∴22521a a b a a b -++=-⎧⎨++=⎩，即2
5a b =⎧⎨
=-⎩
（2）
()f x ＝－4sin 26x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
－1， 由2
π＋2kπ ≤ 2x ＋6π
≤32
π＋2kπ，k ∈Z ，
得6π
＋kπ ≤ x ≤23
π＋kπ，k ∈Z ，
∴
()f x 的单调递增区间为
2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
(k ∈Z )， 令2,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，得：,6
2
k x k Z π
π
=
+
∈， ∴对称轴方程为：,6
2
k x k Z π
π
=+
∈； 【点睛】
本题考查了三角函数，利用三角函数的性质求参数、单调区间、对称轴方程，注意复合函数的单调性判断，属于中档题；
19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.
（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.
【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）1313
-. 【分析】
（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ，AE 与a ，b 的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值. 【详解】 解法一：
（1）由图可知
11
33
AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以1111
2()2
23
2
3
AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝
⎭.
（2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =， 所以13
||||cos 1322
a b a b BAD ⎛⎫
⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，
所以21
2121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 2
221
2124123413||192
343943292AE a b a a b b ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
设AE与AB的夹角为θ
，则
1
cos
||||13
AE AB
AE AB
θ
-
⋅
==
=，
所以在AE与AB夹角的余弦值为
13
-.解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为
x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角
坐标系，
则(0,0)
A，
1
2
⎛
-
⎝⎭
B，
1
2
C
⎛
⎝⎭
，(3,0)
D.
因为E是CD的中点，所以7 4
E
⎛
⎝⎭
，
所以
7
4
AE
⎛
=
⎝⎭
，
1
2
AB
⎛
=-
⎝⎭
，
所以711
42422
AE AB
⎛⎫
⋅=⨯-+⨯=-
⎪
⎝
⎭
，
7
||
42
AE
⎛
==
设AE与AB的夹角为θ，则
1
cos
13
||||13
AE AB
AE AB
θ
-
⋅
===-，
所以AE与AB夹角的余弦值为
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16
万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为
()R x 万美元，且2400,040,()740040000
,40.kx x R x x x
x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.
（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
【答案】（1）2638440,040,
40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩
；（2）32万部，最大值为6104万美元.
【分析】
（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可. （2）当040x
<时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上
对比得到结论. 【详解】
（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=， 解得6k =， 当040x
<时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-，
当40x >时， 40000
()(1640)167360W xR x x x x
=-+=-
-+. 所以2638440,040,
40000
167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪
=⎨--+>⎪⎩
（2）①当040x
<时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==；
②当40x >时， 40000167360x W x -
-=+，由于4000040000
1621600x x x
+=，
当且仅当
40000
16x x
=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 21．已知函数2()223f x x mx m =+--.
（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围；
（2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()1,-+∞；（2）9,2⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦.
【分析】
（1）根据二次函数的性质以及零点存在性定理可得()()
00
10f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解不等式组即可.
（2）将不等式转化为2
2(21)80x m x m -+++≥在1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上恒成立，令21()2(21)82g x x m x m x ⎛
⎫=-+++> ⎪⎝
⎭，讨论二次函数的性质，只需()min 0g x ≥，解不等式即可
求解. 【详解】
（1）由于2()223f x x mx m =+--的图象开口向上， 且在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一零点，故()()00
10f f ⎧<⎪⎨
<⎪⎩
，即23010m m --<⎧⎨--<⎩，
解得1m >-，即实数m 的取值范围为()1,-+∞.
（2）不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上恒成立，
()2222313132(21)801m x mx m m x x m x m +--⇔+--≥⇔-+++≥，
令2
1()2(21)82g x x m x m x ⎛⎫=-+++> ⎪⎝
⎭，其对称轴为214124m m x =++=， 当1
2m ≤时，对称轴11242
m x =
+≤， ∴()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()802g x g ⎛⎫
>=> ⎪⎝⎭
，故12m ≤满足题意.
当12m >时，对称轴11242
m x =
+>， 又()0g x ≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，故2
14463024m g m m ⎛⎫+=-++≥ ⎪⎝⎭
，
解得7922m -≤≤，故1922
m <≤，
综上，实数m 的取值范围为9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 22．已知定义域为R 的函数()1221
x a
f x =-++是奇函数.
(1)求a 的值；
(2)判断函数()f x 的单调性并证明；
(3)若关于m 的不等式()()22
2420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范
围.
【答案】(1)1；(2)()f x 为减函数，证明见解析；(3)3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦. 【分析】
(1)由奇函数的性质可知，()00f =，从而求解a 值，然后检验证即可. (2)根据定义法证明函数()f x 的单调性，即可.
(3)根据函数()f x 为奇偶性，以及单调性，将不等式()()22
2420f m m f m mt -+-+-≤等价
变形为22224m mt m m -≥-+，即，421t m m ≤--+，原问题转化为4
21t m m
≤--+在()1,3m ∈上有解，根据4
1y m m
=--+的单调性，求解最大值，即可. 【详解】
(1)由()f x 为定义在R 上奇函数可知，()00f =，解得1a =. 经检验，此时对任意的x 都有
()1121212222
2x x x
x
x
f x ---=-+=-⨯+++ ()
111121221221121212x
x x x x
=-+=-+=-+-
++++-
()1
1
2122211
1x x f x ⎛⎫
=-=--+= ⎪++⎝⎭
故1a =.
(2)由21x y =+递增可知()11
221x f x =-++在R 上为减函数，证明如下：
对于任意实数1x ，2x ，不妨设12x x <
()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++
∵2x y =递增，且12x x <
∴12022x x <<即21220x x ->，1210x +>，2210x +>
∴()()120f x f x ->,
∴()()12f x f x >
故()f x 在R 上为减函数.
(3)由()f x 为奇函数得：()()222420f m m f m mt -+-+-≤
等价于()()22224f m mt f m m -≤-+.
又由()f x 在R 上为减函数得：22224m mt m m -≥-+
即224mt m m ≤-+-
因为()1,3m ∈，所以4
21t m m ≤--+.
若使得关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解 则需4
21t m m ≤--+在()1,3m ∈上有解
4
1y m
m =--+在区间()1,2上单调递增，在区间[)2,3上单调递减
∴当2m =时，4
1y m m =--+取得最大值3-.
∴23t ≤-，解得3
2t ≤-
∴t 的取值范围是3,2⎛⎤
-∞- ⎥⎝⎦.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的证明及其应用，属于较难的题.。