专题(五)数学抽象与数学运算——活用抛物线焦点弦的四个结论-2021年高考数学核心素养系列专题

核心素养系列（五）
数学抽象与数学运算——活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论有助于数学运算，两者相辅相成，本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.
2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
(1)x 1·x 2＝2
4
p . (2)y 1·y 2＝－p 2.
(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝
22sin p α (α是直线AB 的倾斜角). (4)112||||AF BF p
+=为定值(F 是抛物线的焦点).
【典例1】 (2020·武汉调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA OB ⋅＝－12，则抛物线C 的方程为( )
A.x 2＝8y
B.x 2＝4y
C.y 2＝8x
D.y 2＝4x
【素养指导】设出A ，B 坐标→数量积运算→活用结论→确定p 的值→求抛物线方程
【答案】C
【解析】设抛物线为22y px =，直线AB 2
p x my =+，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，
得OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝24p －p 2＝－34
p 2＝－12，得p ＝4(舍负)， 即抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选C
【素养点评】该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象的素养；代入数值进行计算，体现了数学运算的素养.
【素养专练】（2020·四川泸县五中高三月考（文））抛物线21:4
C x y =的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为45的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，则AB =( )
A ．102
B ．10
C ．9
D ．8 【答案】D
【解析】抛物线21:4
C x y =，即24y x =，2,42=∴=p p ，所以228sin 45==p AB ，故选
D . 类型二 活用|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2α
【典例2】(2020·厦门外国语模拟)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.
334 B.938 C.6332 D.94
【素养指导】抛物线方程求p→活用结论求||AB →原点到AB 的距离→求三角形面积
【答案】C
【解析】由2p ＝3，及|AB |＝22sin p α
， 得|AB |＝22sin p α＝23sin 30︒
＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝
38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94
. 【素养点评】该题通过抛物线弦长公式的结论的拓展，将复杂的面积问题抽象为长度，距离问题，体现了数学抽象的素养；在通过倾斜角斜率、联立方程坐标运算，体现了数学运算的素养.
【素养专练】
（2020·辽宁丹东高三二模（理））经过抛物线()2:20C y px p =＞的焦点F ，倾斜角为30的直线l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为7，那么p =__________．
【答案】2
【解析】,设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点M 的横坐标为7，1214∴+=x x
22142p p p ∴+=∴=， 类型三 活用1|AF |+1|BF |＝2p 为定值
【典例3】过抛物线y ＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )
A ．4 B.92
C ．5
D ．6 【素养指导】活用结论求p →求|BF |，|AF |→|AB |
【答案】B
【解析】因为|AF |＝2|BF |
111132=1||||2||||2||AF BF BF BF BF p +=+==，解得|BF |＝32，|AF |＝3，
故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92
. 【素养点评】该题将求弦长问题，通过焦半径与p 之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象的素养；通过焦半径结论代入计算，体现了数学运算的素养.
【素养专练】 (2020·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )
A.5
B.6
C.163
D. 203 【答案】C 【解析】如图，114,41,2224
p AD AF AC OF p =====⨯=∴=，因为112||||AF BF p +=，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.。