电动力学课件：2-5-格林函数法

（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为 P(x, y, z)
观察点为 P(x, y, z)
R x
x2 y2 z2
R x
x2 y2 z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
PP
r
x
x
R2 R2 2RRcos
（设它假在想O点P电 连荷线在上P， ，题它中的b对坐应标这为里的RR02R2
)
G ( x
,
x)
]
dS
S
n
n
V
G
(
x,
x)
2
(
x
)dV
1
0
G(x, x)(x)dV
V
G(Vx,
(
x
)
2
G(
x) 0
x,
x)dV
1
0
(x) (x x)dV
1
(x)
V
0
S
(x)
V G(x, x)(x)dV 0
(x) G(x, x)dS
S n
2．第二类边值问题解的格林函数方法
ds R
x)
G( x n
x)
ds
V0
2
a
RdR
0
2
d
0
R2
z2
R2
z
2RRcos(
)
3 2
V0z
2
a 0
RdR
2 0
d
(R2
1
z2)
1
R2
2RR c os (
R2 z2
) 32
在很远处，(R2+z2>>a2 )的电势可以展开成幂级数，
三、用格林函数求解一般的边值问题
1. 第一类边值问题求解的格林方法
（1）V内有电荷分布
(x) 。满足 2
(x)
， S 给定，求V内
（真空情况）
0
相边应界格上林函G数(x问, x题) ：V内0 解x为 点上(有x)单位G点(电x,荷x，)
S
（2）二者的联系由格林第二公式给出
(x)
§2.5 格林函数方法
内容提要
一、点电荷密度的 函数表示
二、格林函数 三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
1.
处(于xx)点上(的x单位x点) 电[一荷般的密(度x)
Q
(x
x)
]
V (x)dx V (x x)dV 1 (x V )
2．常用公式
V f (x) (x x)dx f (x) (x V )
（1）V内有电荷分布
(x)
，S上
n
S
给定，
求V内 (x) 相应格林函数问题
G(x, x)
n S
常数（ x
在S上）
（2）(x)
V G(x, x)(x)dV 0
G(x,
x)
( x)dS
S
n
S
只要知道
G(x,
x)
和
，即可马上得到 (x)
n S
3．格林函数方法求解讨论
（1）G(x,
积分的被积函数分母展开
(1)32 1 3 15 2
28
其中
R2
2RR cos (
R2 z2
)
注意到cos(φ-φ')对φ'一个或数个2π周期的积分为零， 故
(
x
)
V0
z
2
a 0
RdR
2 0
d
(R2
1
z
2
)
3 2
1
3 2
R2 2RRcos( )
(R2 z2)
15 R4 4RR3 cos( ) 4R2R2 cos( )
(z z)2 z2 2zz z2
故Green函数为
G(x
x)
1
4
0
R2
z2
R2
z2
1 2zz
2RR c os (
)
1 2
1
R2 z2 R2 z2 2zz 2RRcos( )
1 2
又∵电荷密度 (x) 0 ，还有G 0 故得到 S
(x)
0
S
(
x)
G(x
8
(R2 z2)
V0a2 z 2(R2 z 2 ) 32
1
3 4
a2 R2
z2
15 8
R2a2 (R2 z2)
a） 分离变量法和镜像法能解的情况
1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界 上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷 (泊松方程转变为拉布拉斯方程)+边界条件。
点电荷的泊松方程：设电势为
2
( x )
Q
(x
x )
0
单位点电荷产生的电势
2
(
x)
(x
x )
0
空间区域V上的边界条件
S
0
或
常数
n S
二.
格林函数G(
x,
x)
对于静电场的点电荷问题
(x) G(x, x) 称为静电场的格林函数
2
G
(
x,
x )
(x
x
)
（
G(x,
x)
n
x)ds
因为积分面S是z'=0的无穷大平面，法线沿-z'方向，
而
G(x x) G(x x)
n S
z z0
1
z
2 0
R2
z2
R2
2RR c os (
)
3 2
由于S上只有园内部分电势不为零，因此式子
(
x)
0
S
(
x)
G(x n
x)
ds
中的积分只需对r≤a积分，即可。
(x) V0 .
x)
的求解本身也不是一件很容易的事
情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的
边值问题。由 0
(x) 0
( x)
G(x, x)dS
S
n
—— 第一类边值问题
(x) 0
G(
x,
x)
(x)dS
S
n
—— 第二类边值问题
2G(
x,
x)
G
(
x,
x)
z
0
0
1
0
(
x
x)
相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题
其 Green函数为
G(x
x)
1
(1 1 )
4 0 r r
其中： r 2 (x x)2 ( y y)2 (z z)2
换为柱坐标，且有
(x x)2 (R cos R cos)2 ( y y)2 (R sin Rsin )2
V G(x, x)(x)dV 0
(x) G(x, x)dS
S n
只即要 可知 得道 到相应(x问) 题的
G( x ,
x)
和
(x) S
证明：二者的联系由格林第二公式给出
(2 2 )dV
( )dS
( )dS
V
S
S n n
设 满足泊松方程，为V内电势
2(x) (
为格林函数
x )
0 或
0
G(x, x)
常数）
S
n S
2只对 x 微商。
（1）无界空间中的格林函数 x 上单位点电荷在无穷空间中激发的电势
(x) G(x, x)
1
4 0
x到 x 的距离
1 (x x)2 ( y y)2 (z z)2
r (x x)2 ( y y)2 (z z)2
球坐标中
四、Green函数法的应用举例
[例] 在无穷大导体平面上有半径为a的园，园 内和园外用极狭窄的绝缘环绝缘, 设园内电势 为V0，导体板其余部分电势为零，求上半空间 的电势。
z R P(ρ,φ,z)
P'(ρ',φ',z')
a
V0
y
x
解：
2 0
z0 R0
V0
z0 0
R0
z0
此题Green函数满足的形式为
2 2 0
2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电 荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或 介质界面规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。
b) Green函数法能解的情况
0
G(
（为讨论方便 x, x) 2G
x
与
x
(
互换）
x , x)
0
[G(
x
,
x)
2
(
x
)
(
x
)
2
G(
x
,
x)]dV
V
[G(
x ,
x)
(
x)
(x
)
G ( x ,
x)
]
dS
S
n
n
[G
(
x
,
x
)
2
(
x
)
(
x
)
2G
(
x
,
x
)
]dV
V
[G(
x ,
x)
( x )
(x
x
2 0
）
R
PP r
x
R02
x
R 2 R04 2R R02 cos
R2
R2
R2
∵ Q 1
Q R0Q R0 R R
(b R02 R R02 )
a
R
G(x, x) (x) 1 [
1
40 R2 R2 2RR cos
1
]
(
RR )2 R0
R02
2RR cos
cos cos cos sin sin cos( )
G(x, x)
1
1
4 0 r 4 0 x x
（偶函数）
2
1
4
(x
x )
r
G(x, x)
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
(x) G(x, x) 1 [1 1 ] 40 r r
r (x x)2 ( y y)2 (z z)2 r (x x)2 ( y y)2 (z z)2