第2章微波技术与天线

第2章 规则金属波导
2. 传输特性 1)
在确定的均匀媒质中, 波数 k 与电磁波的频率成
正比, 相移常数β和 k 的关系式为
k 2 kc2 k 1 kc2 / k 2 (2- 1- 14)
第2章 规则金属波导
2) 相速υp与波导波长λg
电磁波在波导中传播, 其等相位面移动速率称为相速, 于是
, 上式左边每项必须均为常数, 设分别为
k
2 x
和
k
2 y
, 则有
d2 X (x) dx 2
k
2 x
X
(
x)
0
d
2Y ( y) dy 2
k
y2Y
(
y
)
0
(2- 2- 4)
k
2 x
k
2 y
kc2
于是, Hoz(x, y)的通解为
Hoz (x, y) ( A1 cos kx x A2 sin kx x)(B1 cos ky y B2 sin ky y)
(1)TM
将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波, 简称TM波, 由于只 有纵向电场故又称为E波。 此时满足的边界条件应为
Ez |S 0
式中， S表示波导周界。
(2- 1- 20)
第2章 规则金属波导
而由式（2 -1 -18）波阻抗的定义得TM波的波阻抗为
ZTM
Ex Hy
1 kc2 / k 2
k2
m1 n1
c
m
a
Emn
c
os
(m
a
x) sin( n
b
y)e jz
Hz 0
第2章 规则金属波导
式中,
kc
mπ 2 a
nπ
2 。
(2-1-2)
第2章 规则金属波导
式中, az为z向单位矢量, t 表示横向坐标, 可以代表直角坐标中的(x, y); 也可代表圆柱坐标中的(ρ, φ)。为方便起见, 下面以直角坐标为
例讨论, 将式（2 -1 -2）代入式(2 -1 -1), 整理后可得
2 Ez k 2 E z 0 2 Et k 2 Et 0 2 H z k 2 H z 0 2Ht k 2Ht 0
(2- 2- 12) 由式（2 -1 -20）, 应满足的边界条件为
Ez Ez
(0, y) (x,0)
EEzz((xa,,by))00
（2-2-13）
第2章 规则金属波导
用TE波相同的方法可求得TM波的全部场分量
Ex
m1 n1
j
kc2
mπ a
mπ Emn cos( a
x) sin( nπ b
第2章 规则金属波导
2.1导波原理
1. 对由均匀填充介质的金属波导管建立如图2-1 所示坐标系, 设z轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向不 变, 故称为规则金属波导。为了简化起见, 我们作如下假设: ① 波导管内填充的介质是均匀、 线性、 各向同性的; ② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在; ③ 波导管内的场是时谐场。
g
d d
1
d / d
c
r r
1 kc2 / k 2
(2- 1- 17)
第2章 规则金属波导
3) 定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗, 即
Z Et Ht
(2- 1- 18)
第2章 规则金属波导
4) 由玻印亭定理, 波导中某个波型的传输功率为
P 1 Re 2
(E H ) dS
S
第2章 规则金属波导
从以上分析可得以下结论: ① 在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程, 结 合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz, 而场的横向分量即 可由纵向分量求得;
② 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多, 每一个解 对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性;
③ kc是微分方程（2 -1 -11）在特定边界条件下的特征值, 它是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。 由于当相移常数β=0时, 意味着波导系统不再传播, 亦称为截止, 此时kc=k, 故将kc称为截止波数。
(2- 1- 3)
下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式。
设
2 t
为二维拉普拉斯算子,
则有
2
t2
2 z 2
(2- 1- 4)
第2章 规则金属波导
利用分离变量法, 令
Ez (x, y, z) Ez (x, y)Z(z)
(2- 1- 5)
代入式(2 -1 -3), 并整理得
(
2 t
k 2 )Ez (x,
Hz
m0 n0
m
H mn cos( b
x) cos(n
b
y)e jz
(2- 2- 9)
代入式（2 -1 -13）， 则TE波其它场分量的表达式为
第2章 规则金属波导
Ex
m0 n0
j
kc2
n
b
m
H mn cos( a
x) sin( n
b
y)e jz
Ey
m0
n0
j
kc2
m
a
m
H mn sin( a
zTE
Ex Hy
1 1 kc2 / k 2
(2- 1- 23)
无论是TM波还是TE波,其相速 / c
r
均比无界媒质
r
空间中的速度要快, 故称之为快波。
第2章 规则金属波导
3) kc2 0
这时 k 2 kc2 k 而相速vp / c / rr , 即相速
比无界媒质空间中的速度要慢, 故又称之为慢波。
(2- 1- 21)
第2章 规则金属波导
(2)TE
将Ez=0而Hz≠0 的波称为电场纯横向波, 简称TE波, 此时只
有纵向磁场，故又称为H波。 它应满足的边界条件为
H Z 0 n S
式中， S表示波导周界； n为边界法向单位矢量。
(2- 1- 22)
而由式（2 -1 -18）波阻抗的定义得TE波的波阻抗为
A+为待定常数, 对无耗波导γ =jβ, 而β为相移常数。 现设Eoz(x, y) = A+Ez(x, y),
(2- 1- 9)
Ez(x, y, z)=Eoz(x, y)e-jβz 同理, 纵向磁场也可表达为:
(2- 1- 10a)
Hz(x, y, z)=Hoz(x, y)e -jβz
(2- 1- 10b)
y)
d2 dz 2
Z (z)
Ez (x, y)
Z(z)
(2- 1- 6)
上式中左边是横向坐标(x, y)的函数, 与z无关; 而右边是z
的函数, 与(x, y)无关。只有二者均为一常数，上式才能成立,
设该常数为γ2, 则有
t2Ez ( x, y) (k 2 2 )Ez ( x, y) 0
d2 dz2
y)e jz
Ey
j
k2
m1 n1 c
n
b
Emn
sin(
m
a
x) cos(n
b
y)e jz
Ez
m1
n1
Emn
sin( m
a
x) sin( n
b
y)e jz
（2-2-14）
H x
m1 n1
j
kc2
n
b
m
Emn sin( a
x) cos(n
b
y)e jz
H y
j
1 Re 2
S (Et Ht ) azdS
1 2Z
S
Et
2 dS
Z 2
|
S
Ht
|2
dS
式中, Z为该波型的波阻抗。
第2章 规则金属波导
3.
1) kc2 0 即kc=0 这时必有Ez=0和Hz=0, 否则由式（2 -1 -13）知Ex、Ey、Hx、 Hy将出现无穷大, 这在物理上不可能。这样kc=0 意味着该导行 波既无纵向电场又无纵向磁场, 只有横向电场和磁场, 故称为 横电磁波，简称TEM波。
Z(z)
2Z(z)
0
(2- 1- 7)
第2章 规则金属波导
上式中的第二式的形式与传输线方程(1 -1 -5)相同, 其通
解为
Z (z) Aerz Aerz
(2- 1- 8)
由前面假设, 规则金属波导为无限长, 没有反射波, 故A－=0, 即 纵向电场的纵向分量应满足的解的形式为
Z (z) Aerz
g
2
2
k
1 1 kc2 / k 2
(2- 1- 16)
另外, 我们将相移常数β及相速υp随频率ω的变化关系称为 色散关系, 它描述了波导系统的频率特性。当存在色散特性时,
相速υp已不能很好地描述波的传播速度, 这时就要引入“群速”
的概念, 它表征了波能量的传播速度, 当kc为常数时, 导行波的
群速为
kx ky
m
a
n
b
(2- 2- 7)
第2章 规则金属波导
于是矩形波导TE波纵向磁场的基本解为
Hz
m
A1B1 cos( a
x) cos(n
b
y)e jz
H
mn
c
os
(m
a
x) cos(n
b
y)e jz
(2- 2- 8)
m, n 0,1,2
式中, Hmn为模式振幅常数, 故Hz(x, y, z)的通解为
第2章 规则金属波导
2.2
1. 1)TE波 此时Ez=0, Hz=Hoz(x, y)e-jβz ≠0,
2 t
H
oz
(x,
y)
kc2
H oz
(x,
y)
0
(2- 2- 1)
第2章 规则金属波导 图 2 – 2 矩形波导及其坐标
第2章 规则金属波导
t2
2 x 2
2 y 2
,
2 x2
2 y 2
Hoz (x,
y)
kc2Hoz (x,
y)
0
(2- 2- 1)
应用分离变量法, 令
Hoz(x, y)=X(x)Y(y)
(2- 2- 2)
代入式（2 -2 -2）, 并除以X(x)Y(y), 得
1 X (x)
d2 X (x) dx 2
1 Y ( y)
d2Y ( y) dy 2
kc2
(2- 2- 3)
第2章 规则金属波导
显然它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方
向和y方向分布的半波个数, 一组m、n, 对应一种TE波, 称作
TEmn模; 但m和n不能同时为零, 否则场分量全部为零。因此， 矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模; 其中TE10 模是最低次模, 其余称为高次模。
第2章 规则金属波导
而Eoz(x, y), Hoz(x, y)满足以下方程:
t2Eoz (x, y) kc2EOZ (x, y) 0
2 t
H oz
(x,
y)
kc2
H oz
(x,
y)
0
(2- 1- 11)
式中, k2c=k2-β2为传输系统的本征值。 由麦克斯韦方程, 无源区电场和磁场应满足的方程为
x) cos(n
b
y)e jz
EZ 0
(2- 2- 10)
H x
m0 n0
j
kc2
m
a
m
H mn sin( a
x) cos(n
b
y)e jz
H y
m0 n0
j
kc2
n
b
H
mn
cos
(m
a
x) sin( n
b
y)e jz
第2章 规则金属波导
式中,
kc
mπ
2
nπ
2
a b
为矩形波导TE波的截止波数,
(2- 2- 5)
第2章 规则金属波导
其中, A1A2B1B2为待定系数, 由边界条件确定。 由式（2 - 1 - 2）知, Hz
H z
x H z
y
|x0 |y0
H z
x H z
y
|xa |yb
0
0
(2- 2- 6)
将式（2 -2 -5）代入式（2 -2 -6）可得
A2 0 B2 0
有
p
k
1
1 kc2 / k 2
c / rr
1 kc2 / k 2
(2- 1- 15)
式中, c为真空中光速, 对导行波来说k＞kc, 故υp＞c/ rr , 即在 规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播的速度
要快。
第2章 规则金属波导
导行波的波长称为波导波长, 用λg表示, 它与波数的关系式 为
第2章 规则金属波导
2)TM
对TM波, Hz=0, Ez=Eoz(x, y)e-jβz, 此时满足
其通解也可写为
12EOZ KC2 EOZ 0
(2- 2- 11)
Eoz ( x, y) ( A1 coskx x A2 sin kx x)( B1 cosk y y B2 sin k y y)
第2章 规则金属波导 图 2 – 1 金属波导管结构图
第2章 规则金属波导
电磁场理论, 对无源自由空间电场E和磁场H满足以下矢量 亥姆霍茨方程:
2E k2E 0 2H k 2H 0
(2- 1- 1)
式中, k2=ω2με。 现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量, 即
E=Et+azEz H=Ht+azHz
H jE E jH
(2- 1- 12)
将它们用直角坐标展开, 并利用式（2 -1 -10）可得:
第2章 规则金属波导
Ex
j kc2
(
H z y
EZ x
)
Ey
j kc2
(
H z x
Ez y
)
Hx
j kc2
(
H Z x
Ez ) y
Hy
j kc2
(
H Z y
Ez ) x
(2- 1- 13)
对于TEM波, β=k, 故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀 媒质中相同。而且由于截止波数kc=0, 因此理论上任意频率均 能在此类传输线上传输。 此时不能用纵向场分析法, 而可用二 维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析。
第2章 规则金属波导
2) kc2 0
这时β2＞0, 而Ez和Hz不能同时为零, 否则Et和Ht必然全为 零, 系统将不存在任何场。一般情况下, 只要Ez和Hz中有一个 不为零即可满足边界条件, 这时又可分为两种情形: