白山市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

白山市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
2． 已知平面向量与的夹角为
3
π
，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ．
3． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）
A.()||x f e x =
B.2()x x f e e =
C.2
(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
4． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=
（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
5． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1
的中心，若
+，则x 、y 的值分
别为（ ）
A ．x=1，y=1
B ．x=1，
y= C ．
x=，
y=
D ．
x=，y=1
6． 函数2
(44)x
y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1
7． 设函数()(
)2
1,141
x x f x x ⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）
A ．(][],20,10-∞-
B ．(][],20,1-∞-
C ．(][],21,10-∞-
D ．[][]2,01,10-
8． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）
A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
9． 已知圆C 方程为22
2x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++= 10．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24 11．设集合{}1234U =，，，，{}
2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）
A ．{}12，
B ．{}14，
C ．{}24，
D ．{}134，， 12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则
= ．
14．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 15．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 16．设()x x
f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）已知函数13
1)(2
3+-=ax x x h ，设x a x h x f ln 2)(')(-=，
222ln )(a x x g +=，其中0>x ，R a ∈.
（1）若函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）记)()()(x g x f x F +=，求证：2
1)(≥x F . 18．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：
；
（2
）求数列
的通项公式。

19．已知函数()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；
（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=
，证明121
2
x x +≥．
20．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，侧棱1A A ^底面ABCD ，//AB DC ， AB AD ^，1AD CD ＝＝，12AA AB ＝＝，E 为棱1AA 的中点.
（Ⅰ）证明：11B C ^面1CEC ；
（II ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A
所成角的正弦值为
6
，求线段AM 的长.
1
1
1
21．如图，四边形ABEF 是等腰梯形，,2,AB EF AF BE EF AB ====
ABCD 是矩形，AD ⊥平面ABEF ，其中,Q M 分别是,AC EF 的中点，P 是BM 的中点．
（1）求证:PQ 平面BCE ； （2）AM ⊥平面BCM .
22．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.
（1）求总人数N 和分数在110-115分的人数； （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占
1
3
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分
别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，^^
a v u β=-
.
白山市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B
=⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 2． 【答案】C
考点：平面向量数量积的运算． 3． 【答案】D. 【
解
析
】
4．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．5．【答案】C
【解析】解：如图，
++（）．
故选C．
6．【答案】C
【解析】
考点：指数函数的概念．
7． 【答案】A 【解析】
考
点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 9． 【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系． 10．【答案】B 【解析】
试题分析：由等差数列的性质可知，16a 84102=+=+a a a . 考点：等差数列的性质. 11．【答案】B 【解析】
试题分析：由254014x x x -+<⇒<<，由于N x ∈，所以{}23A =，
，于是{}14U C A =，． 考点：集合基本运算．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是
属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 12．【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），
则
=
sin （﹣）=﹣
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2
=4x ，可得它的焦点为F （1，0）， ∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），
由
，消去x 得
．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，
∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22
=﹣4， 消去y
2得k 2
=3，解之得k=±
．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
15．1.
【解析】∵22
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2123
121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.
16．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）]3
4
,(-∞.（2）证明见解析.
【
解
析
】
试
题解析：解：（1）函数13
1)(23
+-=
ax x x h ，ax x x h 2)('2-=，1111] 所以函数x a ax x x a x h x f ln 22ln 2)(')(2
--=-=，∵函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，
∴0222ln 2)(')('2≥--=-=x a ax x x a x h x f 在区间),2(+∞上恒成立，所以1
2
+≤x x a 在),2(+∞∈x 上恒成
立.
令1)(2+=x x x M ，则2
222)1(2)1()1(2)('++=+-+=x x
x x x x x x M ，当),2(+∞∈x 时，0)('>x M ， ∴3
4
)2(1)(2=>+=
M x x x M ，∴实数的取值范围为]34,(-∞. （2）]2
ln )ln ([22ln ln 22)(222
2
2
2
x
x a x x a a x x a ax x x F ++
+-=++--=，
令2
ln )ln ()(222
x x a x x a a P +++-=，则111] 4
)ln (4)ln ()2ln (2ln )2ln ()2ln ()(2
222222x x x x x x a x x x x x x a a P +≥+-+-=+++-+-=. 令x x x Q ln )(-=，则x
x x x Q 111)('-=-=，显然)(x Q 在区间)1,0(上单调递减，在区间),1[+∞上单调递增，则1)1()(min ==Q x Q ，则41)(≥a P ，故21412)(=⨯≥x F . 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数()x F ,通过观察()x F 的解析式的形式,能够想到解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于
41即可,从而对新函数求导判单调性求出最值证得成立.
18．【答案】 【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线
斜率一定存在。

故有 直线的直线方程为，令，可求得
所以 下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当
时， 19．【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【解析】
试题解析：
（2）当2a =-时，()2
ln ,0f x x x x x =++>， 由()()12120f x f x x x ++=可得22121122ln 0x x x x x x ++++=，
即()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-， 令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()111t t t t
ϕ-'=-=
， 则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()2
12121x x x x +++≥，
又120x x +>，故12x x +≥
， 由120,0x x >>可知120x x +>．1 考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面所成的角、两点之间的距离等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考
点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.
22．【答案】（1）60N =，6n =；（2）815
P =
；（3）115. 【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21600.35N ==， 分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A
A ，24(,)A A ，21(,)A
B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，
21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为815P =
. （3）12171788121001007
x --+-++=+=； 69844161001007
y --+-+++=+=； 由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
^4970.5994
b ==，^1000.510050a =-⨯=， ∴线性回归方程为0.550y x =+，
∴当130x =时，115y =.1
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数
为,b常数项为这与一次函数的习惯表示不同.。