2021_2022学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数综合测试含解析新人教A版必修第一册

第四章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·兰州高一检测)下列函数中，随x 的增大，其增大速度最快的是( A ) A ．y ＝0.001e x B ．y ＝1 000ln x C ．y ＝x 1 000
D ．y ＝1 000·2x
[解析] 在对数函数、幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快排除BC ，指数函数中底数越大，增长越快，选A ．
2．(614)－
1
2 ＝( C )
A ．32
B ．23
C ．25
D ．52
[解析] 利用有理数指数幂的运算即可求得．(614)－12 ＝(254)－12 ＝[(52)2] －12 ＝(52)－1＝2
5.
3．设函数f (x )＝log 2x ，若f (a ＋1)<2，则a 的取值范围为( A ) A ．(－1，3) B ．(－∞，3) C ．(－∞，1)
D ．(－1，1)
[解析] ∵函数f (x )＝log 2x 在定义域内单调递增，f (4)＝log 24＝2， ∴不等式f (a ＋1)<2等价于0<a ＋1<4，解得－1<a <3，故选A ．
4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a ＝f (1)，b ＝f (2
－0.3
)，c ＝f (－20.3)，则( A )
A ．b <a <c
B ．c <b <a
C ．b <c <a
D ．a <b <c
[解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以c ＝f (－20.3)＝f (20.3)．
又因为y ＝2x 是R 上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (2－0.3)<f (1)<f (20.3)＝f (－20.3)，即b <a <c .
5．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，
log a x ，x ≥1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( B )
A ．(0，1)
B ．[17，13)
C ．(0，1
3
)
D ．(19，13
)
[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0，0<a <1，
解得17≤a <1
3
，故选B ．
6．(2021·湖南长沙高一联考)函数f (x )与g (x )＝a x 互为反函数，且g (x )过点(－2，4)，则f (1)＋f (2)＝( A )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．1
4
[解析] 由题意指数函数g (x )＝a x 的图象过点(－2，4)，故可得4＝a －2，解得a ＝1
2，故函
数g (x )＝(1
2
)x ，
故其反函数f (x )＝log 12
x ，
故f (1)＋f (2)＝log 121＋log 12
2＝0－1＝－1.
7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近
3361
10 00052
的是(lg 3≈0.477)( C )
A ．10－26
B ．10
－35
C ．10
－36
D ．10
－25
[解析] 所求数字过大，再根据题中lg3的提示联想到先取对数，
对于336110 00052有lg 336110 00052＝361lg3－52×4≈－35.8，则3361
10 00052
≈10－35.8，分析选项中10－
36与其最接近，选
C ．
8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( C )
(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A ．2020
B ．2021
C ．2022
D ．2023
[解析] 该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n ，则150×(1＋8%)n －
2018>200，则
n >2018＋2lg 2－lg 3
lg 1.08
≈2021.8，所以n ＝2022.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( AD ) A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝log 2x C ．y ＝2x 2－3
D ．y ＝x |x |
[解析] A 中，y ＝x 3＋x 为奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符； B 中，y ＝log 2x 为非奇非偶函数，与题意不符； C 中，y ＝2x 2－3为偶函数，与题意不符；
D 中，y ＝x |x |是奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符，故选AD ． 10．下列函数中值域为R 的有( ABD ) A ．f (x )＝3x －1
B ．f (x )＝lg(x 2－2)
C ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，
2x ，x >2
D ．f (x )＝x 3－1
[解析] f (x )＝3x －1为增函数，函数的值域为R ，满足条件．
B ．由x 2－2>0得x >2或x <－2，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件．
C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，
2x ，x >2
当x >2时，f (x )＝2x >4，
当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0，4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件． D ．f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．
11．若a ，b 是实数，其中a >0，且a ≠1，则满足log a (a －b )>1的选项是( BC ) A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，0<b <a D ．0<a <1，b <0
[解析] ∵a >0且a ≠1，
∴⎩⎨⎧a －b >0a >1a －b >a 或⎩⎨⎧a －b >00<a <1a －b <a
∴a >1，b <0或0<a <1，0<b <a ，故选BC ．
12．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1＋lg （x －1），x >1，
3|x |，x ≤1，若f (x )－b ＝0有三个不等实数根，则b 可取的值
有( BC )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg （x －1），x >1，
3|x |，x ≤1
的图象如图：
f (x )－b ＝0有三个不等实数根，
即函数y ＝f (x )的图象与y ＝b 有3个不同交点， 由图可知，b 的取值范围是(1，3]，故b 可取2，3. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数g (x )过点(9，2)，则f (2)＝9．
[解析] 由函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(9，2)，可得：y ＝a x 图象过点(2，9)，
所以a 2＝9，又a >0，所以a ＝3.所以f (2)＝32＝9.
14．已知函数f (x )＝b －2x
2x ＋1为定义在区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＝1，b ＝1．
[解析] 因为f (x )是定义在[－2a ，3a －1]上的奇函数， 所以定义域关于原点对称，即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1， 因为函数f (x )＝b －2x
2x ＋1
为奇函数，
所以f (－x )＝b －2－x 2－x ＋1＝b ·2x －11＋2x ＝－b －2x
1＋2x ，
即b ·2x －1＝－b ＋2x ，所以b ＝1.
15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2，0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2，0.6)至少等分的次数为6．
[解析] 由0.42n <0.01，得2n >0.4
0.01
＝40，故n 的最小值为6.
16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有①②③(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析] ∵其关系为指数函数，图象过点(4，16)， ∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；
根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)计算3log 32＋271
3＋lg 50＋lg 2； (2)已知2a ＝3，4b ＝6，求2b －a 的值．
[解析] (1)3log 32＋271
3
＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.
(2)由2a ＝3，得a ＝log 23，又由4b ＝6，即22b ＝6，得2b ＝log 26， 所以2b －a ＝log 26－log 23＝log 22＝1.
18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a x －
1－5(a >0，且a ≠1)，若y ＝f (x )的图象过点(3，20)． (1)求a 的值及y ＝f (x )的零点； (2)求不等式f (x )≥－2的解集．
[解析] (1)根据题意，函数f (x )＝a x －1－5的图象过点(3，20)，则有20＝a 2－5， 又由a >0，且a ≠1，则a ＝5， f (x )＝5x －1－5，若f (x )＝5x －1－5＝0， 则x ＝2，即函数f (x )的零点为2.
(2)f (x )≥－2即5x －1－5≥－2，变形可得5x ≥15， 解可得x ≥log 515，即不等式的解集为[log 515，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )的定义域为[14，4]．
(1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；
(2)求y ＝f (x )的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x 的值． [解析] (1)∵1
4≤x ≤4，∴－2≤log 2x ≤2，
∴－2≤t ≤2.
∴t 的取值范围是[－2，2]．
(2)y ＝f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )＝(2＋log 2x )(1＋log 2x )， 由(1)知t ＝log 2x ，t ∈[－2，2]， ∴y ＝(t ＋2)(t ＋1)＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14
.
当t ＝－32，即log 2x ＝－32，x ＝24时，y min ＝－1
4，
当t ＝2，即log 2x ＝2，x ＝4时，y max ＝12.
20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：
(1)Q 与上市时间t 的变
化关系．
Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 中的任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2
＋bt ＋c 得到，⎩⎪⎨⎪
⎧150＝2 500a ＋50b ＋c
108＝12 100a ＋110b ＋c 150＝62 500a ＋250b ＋c
，解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200
b ＝－3
2c ＝4252
.
所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝
1200t 2－32t ＋425
2
. (2)当t ＝－－3
22×1200＝150天时，西红柿种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋425
2＝
100 (元/102kg)．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0，3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)． (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值． [解析] (1)∵f (x )＝2x ，
∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝22x －2x ＋2.
因为f (x )的定义域是[0，3]，所以0≤2x ≤3，0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}．
(2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0，1]，∴2x ∈[1，2]，
∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3.
22．(本小题满分12分)(2021·潍坊高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，log 2
（x －1）－1，x ∈（2，5].
(1)在给定的直角坐标系内直接画出f (x )的图象． (2)写出f (x )的单调区间，并指出单调性(不要求证明)． (3)若函数y ＝t －f (x )有两个不同的零点，求实数t 的取值范围．
[解析] (1)由题意知，函数f (x )大致图象如图：
(2)根据(1)中函数f (x )的大致图象，可知函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增．
(3)根据(1)中函数f (x )的大致图象，可知 ①当t <－1时，直线y ＝t 与y ＝f (x )没有交点； ②当t ＝－1时，直线y ＝t 与y ＝f (x )有1个交点； ③当－1<t ≤1时，直线y ＝t 与y ＝f (x )有2个交点； ④当1<t <2时，直线y ＝t 与y ＝f (x )有1个交点； ⑤当2≤t <3时，直线y ＝t 与y ＝f (x )有2个交点； ⑥当t ＝3时，直线y ＝t 与y ＝f (x )有1个交点； ⑦当t >3时，直线y ＝t 与y ＝f (x )没有交点．
综上可知，当y＝t－f(x)有两个不同的零点时，t的取值范围为：(－1，1]∪[2，3)．。