高中数学 1.7定积分的简单应用预学案 新人教A版选修22

高中数学 1.7定积分的简单应用预学案 新人教A 版
选修22
预习案
自学指导
预习课本，完成下列问题：
求曲线2x y =与直线1,0==x y 所围成的区域的面积.
（1）思路：分割-——求各小矩形的面积的和→求极限；
（2）具体做法是：
①将区间]1,0[等分为n 个小区间 ，每个小区间长度为 . ②过各分点做x 轴的垂线，把曲边梯形分为n 个小区边梯形，再分别用小区间的左端点的纵坐标为高，n
1为底做小矩形，于是曲线之下小矩形的面积和为=n S .
③于是得到==→∆n x S S lim 0=--→∆)12)(11(6
1lim 0n n x .
学习案
探究一：定积分的基本概念
定积分：设函数)(x f 定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间],[b a 分为n 个小区间，长度依次为1,,3,2,1,0,1-=-=-n i x x A i i x i ，记λ为这些小区间长度的最大者，在每个小区间内任取一点i ξ，做和式=n I .当0→λ时，把和式n I 的极限叫做函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作 即 其中)(x f 叫做 ，a 叫做 ，b 叫做 ，dx x f )(叫做 .
注：1.对定积分的定义的说明：
（1）定积分dx x f )(是一个常数；
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间],[b a ； ②近似代替：取点],[1i i i x x -∈ξ；
③求和：∑--⋅n i i n a b f 1)(ξ； ④取极限：⎰+∞→=b a n dx x f lim )(∑--⋅n i i n a b f 1
)(ξ （3）定积分就是和的极限：∑-+∞→∆⋅n i i n x f 1)(lim ξ而⎰b
a dx x f )(只是这种极限的一种记号，读作“从a 到
b 函数)(x f 的定积分”.
探究二：定积分的几何意义
2.关于定积分的几何意义：
当函数)(x f 在区间],[b a 上恒为正时，
定积分
⎰b a dx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积.在一般情况下定积分⎰b
a dx x f )(的几何意义是介于x 轴，函数)(x f 的图像以及直线
b x a x ==,之间个部分的
面积的代数和.在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.
二、典例分析
例1：用定义计算
⎰102dx x .
例2：求由2,0,0,3-====x x y x y 所围成区边梯形的面积.
三、当堂检测 1.积分⎰b
a dx 的几何意义是 . 2.把积分区间3等分、5等分，用小矩形面积和求⎰213
dx x 近似值，分别 为 .
3.将由曲线)20(sin π
≤≤=x x y 和直线0,2==y x π
所围成的图形的面积写成用定积分表
示的形式是 .
《区边梯形的面积与定积分》课后巩固案
A 组
1.定积分
c cdx b a (⎰
为常数）的几何意义是 . 2.定积分⎰b a dx x f )(表示 . 3.不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式. （1）
⎰10xdx ⎰102dx x （图1） （2）⎰10xdx ⎰21xdx （图2）
4.用定积分表示下列阴影的面积（不要求计算）. （1）S= ；
（2）S= ；
（3）S= .
B 组
5.设连续函数0)(>x f 则当b a <时，定积分⎰b
a dx x f )(的符号（ ）
A.一定是正的
B. 一定是负的
C. 当b a <<0时是正的，当0<<b a 时是负的；
D.以上结论都不对.
6.直线2,0,0===x y x 与曲线x y )2(=所围成的图形的面积用定积分表示为
.。