人教版八年级上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 单元测试卷(解析版)

人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解单元测试卷（解析版）
2019年秋八年级上学期 第十四章 整式的乘法与因式分解 单元测试卷
数 学 试 卷
考试时间：120分钟；满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A ．a 3•a 2=a 6
B ．（﹣a ）2•a 3=﹣a 5
C ．﹣（﹣a ）3=﹣a 3
D ．[（﹣a ）3]2=a 6
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A ．（b 2）3=b 5
B ．x 3÷x 3=x
C ．5y 3•3y 2=15y 5
D ．a+a 2=a 3
3．（4分）若x+y+3=0，则x （x+4y ）﹣y （2x ﹣y ）的值为（ ）
A ．3
B ．9
C ．6
D ．﹣9
4．（4分）已知a ＞b ＞c ＞d ，x=（a+b ）（c+d ），y=（a+c ）（b+d ），则x 与y 的大小关系是（ ）
A ．x ＞y
B ．x ＜y
C ．x=y
D ．以上皆有可能
5．（4分）若a ﹣b=3 ，则a 2﹣b （2a ﹣b ）=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
6．（4分）如图①，把一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A ．2m
B ．（m+n ）2
C ．（m ﹣n ）2
D ．m 2﹣n 2
7．（4分）多项式x 2+A+1是个完全平方式，那么代数式A 不可能为（ ）
A ．2x
B ．x
C ．﹣2x
D ．
4
1x 4
8．（4分）若M•（3x ﹣y 2）=y 4﹣9x 2，则多项式M 为（ ）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
19．（10分）有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a 2+ab+ab+
b 2=a 2+2ab+b 2=（a+b ）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
20．（10分）张老师在黑板上布置了一道题：
计算：2（x+1）2﹣（4x ﹣5），求当x=
21和x=﹣2
1
时的值．
小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．
21．（12分）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m ×n ，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn 的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
22．（12分）右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看不清了．
（1）求被墨水污染的一次式；
（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x 的取值范围．
23．（14分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现
指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若a x =N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N ．比如指数式24=16可以转化为4=log 216，对数式2=log 525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M•N）=log a M+log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；理由如下：
设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n
∴M•N=a m •a n =a m+n ，由对数的定义得m+n=log a （M•N）
又∵m+n=log a M+log a N
∴log a （M•N）=log a M+log a N
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明log a
N
M
=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用：计算log 32+log 36﹣log 34= ．
2019年秋八年级上学期第十四章整式的乘法与因式分解
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=a5，故本选项错误；
B、原式=a5，故本选项错误；
C、原式=a3，故本选项错误；
D、原式=a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】考查了同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方，属于基础计算题．
2．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．
【解答】解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；
B、x3÷x3=1，故此选项错误；
C、5y3•3y2=15y5，正确；
D、a+a2，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．
【分析】直接利用单项式乘以多项式的运算法则计算，进而把已知代入求出答案．【解答】解：∵x+y+3=0，
∴x+y=﹣3，
∴x（x+4y）﹣y（2x﹣y）
=x2+4xy﹣2xy+y2
=（x+y）2
=9．
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．
4．
【分析】先求出x﹣y的值，再判断其结果的符号，最后得出选项即可．
【解答】解：∵x=（a+b）（c+d），y=（a+c）（b+d），
∴x﹣y=（ac+ad+bc+bd）﹣（ab+ad+bc+cd）
=ac+ad+bc+bd﹣ab﹣ad﹣bc﹣cd
=ac+bd﹣ab﹣cd
=（ac﹣ab）﹣（cd﹣bd）
=a（c﹣b）﹣d（c﹣b）
=（c﹣b）（a﹣d），
∵a＞b＞c＞d，
∴c﹣b＜0，a﹣d＞0，
∴（c﹣b）（a﹣d）＜0，
∴x﹣y＜0，
∴x＜y，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
5．
【分析】原式整理后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=﹣3，
∴原式=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2=3，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面
积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
故正方形的面积为（m+n）2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，观察图形表示出拼成的正方形的面积是解题的关键．
7．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，是完全平方公式；
B．原式=x2+x+1不是完全平方公式；
C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2，是完全平方公式，
D.
2
2
4
21
2
1
1
4
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
+
+x
x
x，是完全平方公式；
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．
【分析】先分解因式，即可得出答案．
【解答】解：∵y4﹣9x2=（y2+3x）（y2﹣3x）
=（﹣y2﹣3x）（﹣y2+3x），
∴M=﹣y2﹣3x=﹣（y2+3x）．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，注意：平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．9．
【分析】直接将两式合并，利用公式法分解因式，进而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣xy+2=0，y2﹣xy﹣4=0，
∴x2﹣xy+2+y2﹣xy﹣4=0，
∴（x﹣y）2=2，
∴x﹣y的值是：±2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
10．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解，确定出密码信息即可．
【解答】解：原式=2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
则呈现的密码信息可能是我爱济南，
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．
【分析】根据同底数幂的乘法计算即可．
【解答】解：（﹣a2）•a5=﹣a7，
故答案为：﹣a7．
【点评】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．
12．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣4a2b）÷（﹣2b）=2a2．
故答案为：2a2．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
13．
【分析】由于边长为（2m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为m，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
【解答】解：依题意得剩余部分为
（2m+3）2﹣（m+3）2=4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9=3m2+6m，
而拼成的矩形一边长为m，
∴另一边长是（3m2+6m）÷m=3m+6．
故答案为：3m+6．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式．
14．
【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
=x2﹣2x+x﹣2
=x2﹣x﹣2
所以a=﹣1，b=﹣2，
则a+b=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查利用整式的计算方法，计算出的代数式与因式分解前代数式比较，得出结论，进一步解决问题．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．
【分析】（1）先化简二次根式、计算立方根、去绝对值符号，再计算加减可得；（2）先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式=23﹣2+2﹣3=3；
（2）原式=a2﹣2a+3a﹣6﹣a2+a
=2a﹣6．
【点评】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质、立方根的定义及绝对值的性质、多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则．
16．
【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式
相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．17．
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．【解答】解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了平方差公式，二元一次方程的解法，求出x﹣y=4是解本题的关键．
18．
【分析】先计算乘法，然后计算减法．
【解答】解：（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；
（2）原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）
=a2+2ab﹣a2+b2
=2ab+b2．
【点评】考查了平方差公式和实数的运算，去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b ﹣c）=a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
19．
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
20．
【分析】先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解．
【解答】解：2（x+1）2﹣（4x ﹣5）
=2x 2+4x+2﹣4x+5，
=2x 2+7，
当x=21时，原式=21+7=721；
当x=﹣21时，原式=21+7=72
1
．
故小亮说的对．
【点评】本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法．
21．
【分析】【发现】（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；
（2）观察题目给出的等式即可发现a 与b 的数量关系是a+b=50；
【类比】由于m+n=60，将n=60﹣m 代入mn ，得mn=﹣m 2+60m=﹣（m ﹣30）2+900，利用二次函数的性质即可得出m=30时，mn 的最大值为900．
【解答】解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是a+b=50．
故答案为a+b=50；
【类比】由题意，可得m+n=60， 将n=60﹣m 代入mn ，
得mn=﹣m 2+60m=﹣（m ﹣30）2+900，
∴m=30时，mn 的最大值为900．
故答案为900．
【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
22．
【分析】（1）根据“加数=和﹣另一个加数”列出算式，再利用整式的混合运算法则计算可得；
（2）根据题意列出不等式，解不等式即可得．
【解答】解：（1）被墨水污染的一次式为（x ﹣2）（2x+5）﹣（2x 2+3x ﹣6）
=2x 2+5x ﹣4x ﹣10﹣2x 2﹣3x+6
=﹣2x ﹣4；
（2）根据题意，得：﹣2x ﹣4≥2，
解得：x ≤﹣3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算与解不等式的能力，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及解一元一次不等式的能力．
23．
【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设log a M=m ，log a N=n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m ，N=a n ，计算N
M
的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：log a （M•N）=log a M+log a N 和log a N
M
=log a M ﹣log a N 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log 464，
故答案为：3=log 464；
（2）设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n ，
∴N M =n m
a a =a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n=log a N
M ， 又∵m ﹣n=log a M ﹣log a N ， ∴log a
N
M
=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；
（3）log 32+log 36﹣log 34，
=log 3（2×6÷4），
=log 33，
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的
关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．。