2019版高考数学精选地区10.2 双曲线及其性质

程20为19 x4年2 - y752月=11. 0日
你是我今生最美的相遇遇
2
2.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程 m2x2
n
- 3my2
2

n
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,
则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1, 3 ) C:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,
你是我今生最美的相遇遇
6
所以 b = b2 4c2 6a2 ⇒3b2=4c2-6a2,
c
4bc
则有3(c2-a2)=4c2-6a2,
解得 c = 3 (负值舍去),
a
即e= 3 .故选C.
方法总结 求双曲线的离心率的值(或取值范围) 根据题设条件,得出一个关于a,b,c的等式(或不等式),利用c2=a2+b2消去b,转化为关于a、c的等 式(或不等式),即可求得离心率的值(或取值范围).
12 3
A. x2 - y2 =1 8 10
B. x2 - y2 =1 45
C. x2 - y2 =1 54
D. x2 - y2 =1 43
答案 B 本题考查求解双曲线的方程.
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 x2 - y2 =k(k>0),即 x2 - y2 =1,∵双曲线与椭圆 x2 + y2
则点A与点B到直线 3 x-y=0的距离分别为d1= | 2 3a 3a | = 2 3 3 a,d2= | 2 3a 3a | = 2 3 3 a,又
2
2
2
2
∵d1+d2=6,∴ 2 3 3 a+ 2 3 3 a=6,解得a= 3 ,∴b2=9.∴双曲线的方程为 x2 - y2 =1,故选C.
答案 D 设双曲线E的标准方程为 ax22 - by22 =1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象
限内,则易得M(2a, 3 a),又M点在双曲线E上,于是 (2aa2)2 - (
3a)2 b2
=1,可得b2=a2,∴e=
1
b2 a2
= 2 .
思路分析 设出双曲线方程,依据题意,求出点M的一个坐标,代入双曲线方程,得到关于a、b的 方程,进而可得出双曲线E的离心率.
12
答案 C 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.
∵双曲线 ax22 - by22 =1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+ ba22 =4,
∴
b2 a2
=3,即b2=3a2,
∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵ ba22 =3,∴渐近线方程为y=± 3 x,
与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲
线的方程为 ( )
A. x2 - y2 =1 4 12
C. x2 - y2 =1 39
B. x2 - y2 =1 12 4
D. x2 - y2 =1 93
2019年7月10日
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10
7.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E: ax22 - by22 =1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin
∠MF2F1= 13 ,则E的离心率为 (
)
A. 2
B. 3 C. 3
D.2
2
答案
A
解法一:由MF1⊥x轴,可得M

c,
b2 a

,∴|MF1|= ba2 .由sin∠MF2F1=13 ,可得cos∠MF2F1=
b2
b2
1
1


1 3
2
= 2 2
3
,又tan∠MF2F1= | MF1
| F1F2
| |
=a
2c
,∴ a
2c
=3
22
,∴b2= 2
2
ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-
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5.(2015课标Ⅰ,5,5分,0.576)已知M(x0,y0)是双曲线C: x22 -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若

MF1

· MF2
<0,则y0的取值范围是
(
)

A.

3, 3
3
3

C.


2
2 3
,
2
A. 5 B.2 C. 3 D. 2
答案 C 本题考查双曲线的几何性质.
bc 0
点F2(c,0)到渐近线y= ba x的距离|PF2|=
a
1


b a

2
=b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定
理可得|OP|= c2 b2 =a,所以|PF1|= 6 |OP|= 6 a.
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4.(2014课标Ⅰ,4,5分,0.687)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐 近线的距离为 ( ) A. 3 B.3 C. 3 m D.3m
答案 A 由题意知,双曲线的标准方程为 x2 - y2 =1,其中a2=3m,b2=3,故c= a2 b2 = 3m 3 ,不 3m 3
C
c
由已知得 a
c
5 4
5,
,
解得ca

5, 4,
故b=3,从而所求的双曲线方程为 x2 - y2 =1,故选C. 16 9
45
4k 5k
12 3
=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 x2 - y2 =1.故选B. 45
一题多解 ∵椭圆 x2 + y2 =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2
12 3
12 3
=9①,∵双曲线的一条渐近线为y= 5 x,∴ b = 5 ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方 2 a2
1.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C: x2 -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两 3
条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ( )
A. 3 B.3 C.2 3 D.4
2
答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质.
由双曲线C: x2 -y2=1可知其渐近线方程为y=± 3 x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN
a
∴双曲线的渐近线方程为y=± b x=± 2 x.故选A.
a
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3.(2018课标Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C: ax22 - by22 =1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作
C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|= 6 |OP|,则C的离心率为 ( )
妨取F( 3m 3 ,0),一条渐近线为y= 1 x,化成一般式即为x- m y=0,由点到直线的距离公式可 m
得d= | 3 m 1 | = 3 ,故选A. 1 ( m)2
思路分析 将双曲线的方程化为标准方程,求出一个焦点坐标和一条渐近线方程,再由点到直 线的距离公式计算即可. 知识延伸 任何双曲线的焦点到其渐近线的距离恒为定值b(其中b为虚半轴长).
∵方程 x2 m2
n
- 3my2
2

n
=1表示双曲线,
∴(m2+n)·(3m2-n)>0,
∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故选A.
解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
m2 n 0,
∴ 3m2 n 0,
①
m2 n 3m2 n 4,
m2 n 0,
4
2.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线 ax22 - by22 =1(a>0,b>0)的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 (
)
A.y=± 2 x
B.y=± 3 x
C.y=± 2 x 2
D.y=± 3 x 2
答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质.
∵e= 3 ,∴ b = e2 1 = 3 1 = 2 ,
b2
= 1 ⇒a2=b2⇒a=b,∴e=
3
1


b a
2

=
2.故选A.
a
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B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2018天津,7,5分)已知双曲线 ax22 - by22 =1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线
在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=
| |
PF2 OF2
| |
= b ,
c
在△F1F2P中,
cos∠PF2O= | PF2 |2 | F1F2 |2 | PF1 |2 = b2 4c2 6a2 ,
2 | PF2 | | F1F2 |
2b 2c
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2
2
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解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关键.
方法归纳 求双曲线标准方程的方法
(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程.
(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条
件20构19造年关7于月a,1b的0日方程(组),解得a,你b的是值我,即今可生求得最方美程的. 相遇遇
2 3


B.

3, 6
3
6


D.


2
3 3
,
2
3 3

答案 A 不妨令F1为双曲线的左焦点,则F2为右焦点,由题意可知a2=2,b2=1,∴c2=3.∴F1(- 3 ,


0),F2( 3 ,0),则 MF1 · MF2 =(- 3 -x0)·( 3 -x0)+(-y0)·(-y0)=x 02 +y 02 -3.
3
2 ac=0⇒e2- 2 e-1=0,∴e= 2.故选A.
2
2
解法二:由MF1⊥x轴,得M
c,
b2 a

,∴|MF1|= b2 ,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b 2 ,又
a
a
b2
sin∠MF2F1= | MF1 |
| MF2 |
=a
2a
又知
x02 2
- y02 =1,∴ x02 =2+2 y02

,∴ MF1

· MF2
=3 y02
-1<0.
∴- 33 <y0< 33 ,故选A.


思路分析 由双曲线方程求出F1,F2的坐标,利用数量积的坐标运算表示出 MF1 · MF2 ,利用M在




双曲线上得 x02 =2+2 y02 ,从而将 MF1 · MF2 转化为仅含y0的式子,由 MF1 ·M F2 <0即可解得y0的取值范围.
或 3m2 n 0,
②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
(3m2 n) (m2 n) 4,
知识拓展 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.
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考点二 双曲线的几何性质
高考理数 ( 课标专用)
§10.2 双曲线及其性质
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2017课标Ⅲ,5,5分)已知双曲线C: ax22 - by22 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= 25 x,且与椭圆
x2 + y2 =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
3
3
=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|= 3 ,则在Rt△OMN
中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.
解题关键 利用双曲线的几何性质求出∠MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键.
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解题关键 依据 MF1 · MF2 <0正确构建关于y0的不等式是解题的关键.
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6.(2015课标Ⅱ,11,5分,0.365)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形, 且顶角为120°,则E的离心率为 ( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2
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2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C: ax22 - by22 =1的离心率e= 54 ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方
程为 ( )
A. x2 - y2 =1 43
C. x2 - y2 =1 16 9
B. x2 - y2 =1 9 16
D. x2 - y2 =1 34
答案