基于matlab的带通带阻滤波器的设计

摘要
模拟滤波器的理论和设计方法以发展的相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器等。

这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。

本次课程设计是利用MATLAB的buttord和butter函数设计巴特沃斯模拟滤波器，得到损耗函数和相频特性函数的图形。

关键字：模拟滤波器MATLAB 损耗函数相频特性
目录
摘要 (1)
目录 (2)
一、MATLAB简介 (3)
1、MATLAB介绍 (3)
2、功能特性 (3)
3、应用 (4)
一、设计原理 (5)
1、带阻滤波器的设计原理 (5)
2、带通滤波器的设计原理 (7)
二、软件实现 (8)
1、带阻滤波器设计 (8)
2、带通滤波器的设计 (9)
三、仿真设计 (12)
1、带阻滤波器仿真设计 (12)
2、带通滤波器的仿真设计 (14)
致谢 (16)
参考文献 (16)
一、MATLAB简介
1、MATLAB介绍
MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。

在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。

可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

2、功能特性
主要功能
1.数值分析
2.数值和符号计算
3.工程与科学绘图
4.控制系统的设计与仿真
5.数字图像处理
6.数字信号处理
7.通讯系统设计与仿真
8.财务与金融工程
3、应用
MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：
1、数值分析
2、数值和符号计算
3、工程与科学绘图
4、控制系统的设计与仿真
5、数字图像处理技术
6、数字信号处理技术
7、通讯系统设计与仿真
8、财务与金融工程
9、管理与调度优化计算（运筹学）
MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。

附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB 函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。

一、设计原理
模拟带通、带阻滤波器的设计过程是：先将希望设计的各种滤波器转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。

1、带阻滤波器的设计原理
本设计中分别用ha(t)、Ha(s)、Ha(jΩ)表示模拟滤波器的单位脉冲相应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下
Ha(s) = LT[ha(t)] =∫ha（t）exp(-st)dt
Ha(jΩ)=FT[ha(t)] =∫ha（t）exp(-jΩt)dt
可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(jΩ)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。

但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频相应函数|Ha(jΩ)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。

工程实际中通常用所谓的损耗函数即衰减函数A（Ω）来描述滤波器的幅频响应特性，对归一化幅频响应函数，A（Ω）定义如下：
A（Ω）=-20lg|Ha(jΩ)|=-10lg|Ha(jΩ)|2 dB
模拟带阻滤波器的设计指标参数有Ω1p、Ω1s、Ω0、Ωsu、Ωpu。

Ωp1和Ωpu分别表示带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率；Ω1s和Ωsu分别表示带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率。

δ1和δ2分别称为通带和阻带波纹幅度
图1 带阻滤波器
带阻滤波器的技术指标要求必须是几何对称的。

如果带阻滤波器不是几何对称的，为了使对称的带阻滤波器满足最小阻带衰减要求，在由非对称的带阻滤波器变换为对称的带阻滤波器时，保留非对称带阻滤波器的阻带截止频率调整两个通带截止频率中的一个，调整过程步骤如下:
（1）计算(Ω0)2=Ω1sΩsu
（2）计算Ωp1 Ω=(Ω0)2/Ωpu ，如果Ωp1 >Ω1p,用Ωp1 代替Ω1p；
（3）如果Ωp1 ≤Ω1p，计算Ωpu=(Ω0)2/Ωpu，并用Ωpu代替Ωpu；
（4）如果A1p≠A2p，选择Ap=min{ A1p, A2p}。

所有类型的变换，包括各自与低通原型的频率变换如表1所示。

用频率变换法设计一个模拟滤波器的步骤如下：
1、确定低通、高通、带通和带阻模拟滤波器的技术要求。

当要求的带通或带阻滤波器是非几何对称时，根据上面描述的过程使这些技术要求成几何对称的；
2、 2、根据表1中的变换关系，确定归一化低通滤波器的技术要求：通带截止频率为λ，阻带截止频率为λs，阻带衰减为Ap(dB)，阻带衰减为As (dB)；
3、根据λp、λs、Ap 和As，用巴特沃斯设计归一化低通滤波器；
4、根据表1最右栏的变换关系，得到要求的非归一化模拟滤波器。

表1 模拟滤波器的频率变换
2、带通滤波器的设计原理
设计巴特沃斯带通滤波器时，首先应根据参数要求设计出相应的模拟滤波器，其步骤如下：
1）由模拟滤波器的设计指标wp ，ws ，Ap ，As 和式（1）确定滤波器阶数N 。

)lg(2)110110lg(1.01.0w w s
p As Ap N --≥
（1） 2）由式（2）确定wc 。

N
As s
c N Ap p
w w w 211.0211.0)110()110(-≤≤- （2）
3）若N 是奇数，则有式（3）和式（4）确定滤波器的系统函数；若N 是偶数，则式（3）和式（5）确定滤波器的系统函数。

然后把设计好的模拟Butterworth 滤波器变换成数字滤波器，常采用的方法有脉冲响应不变法和双线性变换法。

)()(w s H s H c LO = （3）
∏+++=-=2/)1(121
)(sin 21)1(1)(N k k LO s s s s H θ （4） ∏++==2/121
)(sin 21)(N k k LO s s s H θ （5） 巴特沃什滤波器是根据幅频特性在通频内具有最平坦特性而定义的滤波器。

一维巴特沃什滤波器的平方幅频特性函数为
()221
()1N c H j Ω=Ω+Ω （6）
可以看出，滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的增加而变得越来越好。

在截止频率Ωc 处的函数值始终为12
的情况下，在通带内更多的频带区的值接近1；在阻带内函数更迅速的趋近0。

巴特沃什滤波器的主要特征：
（1）对于所有N ，20()1a j H Ω=Ω=
（2）对于所有N ，21
2
()c a j H ΩΩ=Ω= （3）2()a j H Ω是Ω的单调下降函数。

（4）2()a j H Ω随着阶次N 的增大而更加接近于理想滤波器。

二、软件实现
1、带阻滤波器设计
带阻滤波器指标：
阻带上边界频率：5Kz；
阻带下边界频率：7Kz；
通带上边界频率：2Kz；
通带下边界频率：9Kz；
通带最大衰减：1dB；
阻带最小衰减：20dB；
设计程序如下：
wp=2*pi*[2000,9000];
ws=2*pi*[5000,7000];
Rp=1;
As=20;
[Nb,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');
[BSB,ASB]=butter(Nb,wc,'stop','s');
[hk,w]=freqs(BSB,ASB);
subplot(2,2,1)
plot(w,20*log(abs(hk)),'b')
xlabel('频率/Hz')
ylabel('幅度/dB')
title('幅频特性')
subplot(2,2,2)
plot(angle(hk))
xlabel('频率/Hz')
ylabel('相位')
title('相频特性')
程序运行结果：
巴特沃斯模拟带阻滤波器阶数：Nb=4
巴特沃斯模拟带阻滤波器系统函数分子多项式系数向量：
巴特沃斯模拟带阻滤波器系统函数分母多项式系数向量：
图2 带阻滤波器的幅频特性和相频特性2、带通滤波器的设计
带通滤波器指标：
通带上边界频率：4Kz；
通带下边界频率：7Kz；
阻带上边界频率：2Kz；
阻带下边界频率：9Kz；
通带最大衰减：1dB；
阻带最小衰减：20dB；
设计程序如下：
wp=2*pi*[4000,7000];
ws=2*pi*[2000,9000];
Rp=1;
As=20;
[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');
[BB,AB]=butter(N,wc,'s');
[hk,w]=freqs(BB,AB);
subplot(2,2,1)
plot(w,abs(hk),'b')
xlabel('频率/Hz')
ylabel('幅度/dB')
title('幅频特性')
subplot(2,2,2)
plot(angle(hk))
xlabel('频率/Hz')
ylabel('相位')
title('相频特性')
程序运行结果：
巴特沃斯模拟带通滤波器阶数：N=5
巴特沃斯模拟带通滤波器系统函数分子多项式系数向量：
巴特沃斯模拟带通滤波器系统函数分母多项式系数向量：
图4 带通滤波器的幅频特性和相频特性
三、仿真设计
1、带阻滤波器仿真设计
利用matlab中的simulink来进行带阻滤波器的仿真
图4 带阻滤波器的仿真设计图
图5 带阻滤波器参数设计
下图所示为示波器scope输出波形
图6 输入带阻滤波器的波形
下图所示为示波器scope1输出波形，经过带阻滤波器的滤波后只输出不在阻带范围内的波
图7 带阻滤波器输出波形
2、带通滤波器的仿真设计
利用matlab中的simulink来进行带通滤波器的仿真
图8 带通滤波器的仿真设计图
图9 带通滤波器参数设计
下图所示为示波器scope输出波形
图10 输入带通滤波器的波形
下图所示为示波器scope1输出波形，经过带通滤波器的滤波后只输出在通带范围内的波
图11 带通滤波器输出波形
致谢
在做计算机课设的这段时间内，通过查找各种资料和自己的努力终于通过软件将带通和带阻做出来了。

能够把其做出来除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。

非常感谢陈常婷老师在这段时间给自己的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。

为了指导我们的创新实践，她放弃了自己的休息时间，她的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩，在此我向她表示我诚挚的谢意。

同时，感谢所有任课老师和所有同学给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。

正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，桃李满天下！
参考文献
【1】高西全，丁玉美. 数字信号处理（第三版）. 西安：西安电子科技大学出版社，2008【2】王彬. MA TLAB数字信号处理. 北京：机械工业出版社，2010
【3】王亚芳. MATLAB仿真及电子通信应用. 北京：人民邮电出版社，2011。