0612北京市2011年高级中 等学校招生统一考试答案1

2011年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
13．（本小题满分5分）
解：101
()2cos30(2)2π--︒-
=221-+ …………………………………………………………………4分
=21
=3． ……………………………………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
解：去括号，得 4456x x ->-．…………………………………………………… 1分 移项，得 4546x x ->-． ………………………………………………………2分 合并，得 2x ->-．……………………………………………………………… 3分 解得 2x <．
所以原不等式的解集是 2x <．…………………………………………………… 5分 15．（本小题满分5分）
解： (4)(2)(2)a a b a b a b +-+-
=2224(4)a ab a b +-- ……………………………………………………………2分 =244ab b +． ………………………………………………………………………3分 ∵ 2220a ab b ++=，
∴ 0a b +=． ……………………………………………………………………4分 ∴ 原式=4()b a b +=0．……………………………………………………………5分
16．（本小题满分5分）
证明：∵ BE //DF ，
∴ABE D ∠=∠．…………………………………1分
在△ABE 和△FDC 中，
∴ △ABE ≌△FD C ． …………………………4分 ∴ AE =FC ．……………………………………5分
17．（本小题满分5分）
解：（1）∵ 点A (1,)n -在一次函数2y x =-的图象上，
∴ 2(1)2n =-⨯-=．………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为12-（，）
．……………………2分 ∵ 点A 在反比例函数k
y x
=的图象上， ∴ 2k =-．
∴ 反比例函数的解析式为2
y x
=-
．……… 3分 （2）点P 的坐标为(2,0)(0,4)-或．………………5分
18．（本小题满分5分）
解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x 千米．………………………………1分
依题意，得
18318
297x x
=⨯+． ……………………………………………………2分 解得 27x =． ………………………………………………………………………3分 经检验，27x =是原方程的解，且符合题意．……………………………………4分 答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米． ………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（本小题满分5分）
解：∵ 90ACB ∠=︒，DE BC ⊥，
∴ AC ∥DE ． 又∵ CE ∥AD ，
∴ 四边形ACED 是平行四边形．……………1分 ∴ DE=AC=2．
在Rt △CDE 中，由勾股定理得 CD == ∵ D 是BC 的中点，
∴ 2BC CD == 2分
在Rt △ABC 中，由勾股定理得 AB =． …………………3分 ∵ D 是BC 的中点，DE BC ⊥，
∴ EB=EC=4．……………………………………………………………………4分
∴ 四边形ACEB 的周长10AC CE EB BA =+++=+……………………5分
20．（本小题满分5分） （1）证明：连结AE ．
∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90AEB ∠=︒ ． ∴ 1290∠+∠=︒． ∵ AB=AC ，
∴ 1
12
CAB ∠=∠．
∵ 1
2
CBF CAB ∠=∠，
∴ 1CBF ∠=∠．
∴ 290CBF ∠+∠=︒． 即∠ABF = 90°．
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ 直线BF 是⊙O 的切线．……………………………………………… 2分
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ．
∵
sin CBF ∠=，1CBF ∠=∠， ∴
sin 1∠=
． ∵ 90AEB ∠=︒，AB=5，
∴ BE=sin 1AB ⋅∠
． ∵ AB=AC ，90AEB ∠=︒，
∴
2BC BE ==．…………………………………………………………3分 在Rt △ABE 中，由勾股定理得 AE
=． ∴
sin 2∠=
cos 2∠=．
在Rt △CBG 中，可求得 4GC =，2GB =． ∴ AG=3．
∵ GC ∥BF ，
∴ △AGC ∽△ABF ．
∴
GC AG
BF AB
=
． ∴ 20
3
GC AB BF AG ⋅=
=
．……………………………………………………… 5分 21．（本小题满分5分）
解：（1）146(119%)⨯+…………………………………………………………………1分
=173.74
≈174(万辆)．
所以2008年北京市私人轿车拥
有量约是174万辆．………………2分 （2）如右图． …………………………3分
（3）75276 2.7372.6
150⨯⨯=（万吨）． 估计2010年北京市仅排量为1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6万吨．………………………5分
22．（本小题满分5分）
解：△BDE 的面积等于 1 ． ………………………………1分 （1）如图．………………………………………………2分 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是
CFP ∆．……………………………………………3分
（2）以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于3
4
．………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）
解：（1）∵ 点A 、B 是二次函数 2(3)3y mx m x =+--（0m >）的图象与x 轴的交点，
∴ 令0y =，即 2(3)3mx m x +--=0．
解得 11x =-，
23
x m
=
． 又∵ 点A 在点B 左侧且0m >，
∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………2分 （2）由（1）可知点B 的坐标为（
3
m
，0）． ∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0,3)-． ∵ ∠ABC=45°，
∴
3
m
=3． ∴ m =1． ……………………………………………4分 （3）由（2）得二次函数解析式为223y x x =--．
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的 图象交点的横坐标分别为2-和2， 由此可得交点坐标为(2,5)-和(2,3)-．
将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中， 得 25 2 3.k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
，
解得 2 1k b =-⎧⎨=⎩
，
．
∴ 一次函数的解析式为21y x =-+．…………………………………………7分
24．（本小题满分7分）
（1）证明：如图1．
∵ AF 平分∠BAD ，
∴ ∠BAF=∠DAF ．
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥BC ，AB ∥CD ．
∴ ∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠F ．
∴ ∠CEF=∠F ．
∴ CE=CF ．…………………………………………………………………2分
（2）∠BDG= 45 °．………………………………………………………………………3分 （3）解：分别连结GB 、GE 、GC （如图2）．
∵ AB ∥DC ，∠ABC =120°， ∴ ∠ECF =∠ABC =120°． ∵ FG ∥CE 且FG =CE ，
∴ 四边形CEGF 是平行四边形． 由（1）得 CE=CF ， ∴Y CEGF 是菱形．
∴ EG=EC ，∠GCF =∠GCE =1
2
ECF ∠=60°． ∴ △ECG 是等边三角形． ∴ EG=CG ， ① ∠GEC =∠EGC =60°． ∴ ∠GEC =∠GCF ．
∴BEG DCG ∠=∠． ②
由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得 ∠BAE =∠AEB ． ∴ AB =BE ．
在Y ABCD 中，AB =DC ． ∴ BE =DC ． ③ 由①②③得 △BEG ≌△DCG ． ∴ BG =DG ，∠1=∠2．
∴132360BGD EGC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． ∴ 180602
BGD
BDG ︒-∠∠=
=︒．………………………………………7分
25．（本小题满分8分）
解：（1）分别连结AD 、DB ，则点D 在直线AE 上，
如图1．
∵ 点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴ ∠ADB =90°． ∴ BD ⊥AD ．
在Rt △DOB 中，由勾股定理得
BD ==
∵AE ∥BF ，
∴ 两条射线AE 、BF
．………………………………1分 （2）当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是
11b b =-<<；…………………………………………………………3分
图1
当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，b
的取值范围是
．……………………………………………………………………4分
（3）假设存在满足题意的 Y AMPQ ，根据点M 的位置，分以下四种情况讨论：
① 当点M 在射线AE 上时，如图2．
∵ A 、M 、P 、Q
∴ 直线PQ 必在直线AM 的上方．
∴ P 、Q 两点都在»
AD 上，且不与 点A 、D 重合． ∴ 0PQ <． ∵ AM ∥PQ
且AM =PQ ， ∴ 0AM <<． ∴ 21x -<<-．
② 当点M 在»AD （不包括点D ）上时，如图3．
∵ A 、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列， ∴ 直线PQ 必在直线AM 的下方． 此时，不存在满足题意的平行四边形．
③ 当点M 在»DB
上时， 设»DB
的中点为R ，则OR //BF ． i ）当点M 在»DR
（不包括点R ）上时，如图4．
过点M 作OR 的垂线交»DB
于点Q ， 垂足为点S ，可得S 是MQ 的中点． 连结AS 并延长交直线BF 于点P ． ∵ O 为AB 的中点，可证S 为AP 的中点． ∴ 四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形． ∴ 0≤x ． ii ）当点M 在»RB
上时，如图5． 直线PQ 必在直线AM 的下方． 此时，不存在满足题意的平行四边形．
④ 当点M 在射线BF （不包括点B ）上时，如图6
直线PQ 必在直线AM 的下方．
图2
图3
图5
图6
此时，不存在满足题意的平行四边形．
综上，点M的横坐标x的取值范围是
-<<-或0≤x．………………………8分x
21。