人教版九年级下册数学第2课时 平面直角坐标系中的位似(导学案)

27.3 位似
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随风潜入夜，润物细无声。

出自杜甫的《春夜喜雨》
镇海中学陈志海
第2课时平面直角坐标系中的位似
一、新课导入
1.课题导入
我们曾经学习过运用直角坐标系来研究平移、轴对称和旋转（中心对称）等变换，那么，如果运用直角坐标系来研究图形的位似变换，又会有哪些规律呢？本节课就来学习平面直角坐标系中的位似.
2.学习目标
(1)进一步熟悉位似的作图.
(2)会用坐标的变化来表示图形的位似变换.
(3)会根据位似图形上的点的坐标变化的规律，在坐标系中画一个图形以原点为位似中心的位似图形.
3.学习重、难点
重点：位似图形的点的坐标变化规律.
难点：以原点为位似中心的位似作图.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P48~P49例题上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①在图1中，画出线段AB,其中A（6，3），B（6，0）.再以原点为位似中
心，相似比为1
3
，把线段AB缩小.
在图2中，△AOC的三个顶点的坐标分别为A(4，4),O(0,0)，C(5，0).以点
O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大.
②当两图形位于原点同侧时，
图1中,点A(6，3)的对应点A′的坐标为（2,1），点B(6，0)的对应点B′的坐标为（2,0）；
图2中,点A(4，4)的对应点A′的坐标为（8,8），点O(0，0)的对应点O′的坐标为（0,0）,点C(5，0)的对应点C′的坐标为（10,0） .
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点同侧时，与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是（kx,ky） .
③当两图形位于原点异侧时，
图1中，点A(6，3)的对应点A″的坐标为 (-2,-1) ，点B(6，0)的对应点B″的坐标为（-2,0）；
图2中，点A(4，4)的对应点A″的坐标为（-8，-8），点O(0，0)的对应点O″的坐标为（0,0），点C(5，0)的对应点C″的坐标为（-10,0）.
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点异侧时，与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标（-kx,-ky）.
④在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是（kx,ky）或（-kx,-ky）.
2.自学：参考自学指导，体会学习方法，展开自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生探究提纲的完成情况（能否画出相应图形，求出坐标，并找出规律）.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生小组交流协作，共同学习.
4.强化：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).
1.自学指导
（1）自学内容：教材P49~P50例题.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：弄清作图要求，体会解题思路，动手计算和画图.
（4）自学参考提纲：
①在直角坐标系中，作一个形的位似图形的方法有哪些？
②课本例题中确定的对应点坐标是唯一的吗？你还可以得到其他图形吗？请试一试！③你能在课本50图27.3-5中找到哪些变换？（平移、轴对称、旋转、位似）
④如图1，把△AOB缩小后得到△CO,求△COD与△AOB的相似比.（2∶5）
⑤如图2，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4,-5),B(6，0),O(0，0).以原点O为位似中心，把这个三角形放大原来的2倍，得到△AB′O′.写出△A′B′O′三个顶点的坐标.
A′(8,-10)，B′(2,0)，O′(0,)或A′（-8,10），B′（-12,0），O′（0,0）.
2.自学：参考例题的分析，自己探究作图的方法.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否明了作图的关键和方法.
②差异指导：指导学生完成另一个位似作图.
（2）生助生：小组交流协作.
4.化：在平面直角坐标系中，作一个以原点为位似中心的位似图形有两种方法.
三、评价
1.学生学习的我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生动手参与的程度、小组交流协作的状况等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时可类比上一课时的教学方式进行，只不过本课时涉及到了平面直角坐标系，教学时教师应让学生充分参与，体会平面直角坐标系的位似变换，以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律，教师可让学生以小组为单位进行讨论，争取让学生自己发现规律，教师再予以适当点拨，以培养学生的探究能力.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)某学习小组在讨论“变化的鱼”时, 知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示), 则小鱼上的点(a, b)对应大鱼上的点(A)
A.(-2a, -2b)
B.(-a, -2b)
C.(-2b, -2a)
D.(-2a, -b)
第1题图第3题图
2.(10分)△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，-2），B（-4，-2），C（-6，-4），以原点为位似中心，将△ABC放大后得到的△DEF与△ABC的相似比为2∶1，这
时△DEF中点D的坐标是 (-4，-4)或（4,4）.
3.(10分)如图, 正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形, 点F 的坐标为(1,1) , 点C的坐标为(4,2) , 则这两个正方形位似中心的坐标是（-2,0）.
4.(20分)△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点O为位似中心，将△ABC缩小, 使缩小后的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2.求△DEF 各顶点的坐标.
解：如果△DEF与△ABC在原点同侧，则D(1，1),E(2，1),F(3，2)；
如果△DEF与△ABC在原点异侧，则D(-1，-1),E(-2，-1),F(-3，-2).
5.(20分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的
坐标分别为A(-1，1),B(2，3),C(0，3).现要以坐标原点O
为位似中心，相似比为3
2
，在原点同侧作△ABC的位似图形
△A′B′C′，则它的顶点坐标各是多少？
解：
3399
30
2222
,,,,
A B C
⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-'
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，.
二、综合应用（20分）
6.(20分)如图所示, 图中的小方格都是边长为1的正方形, △ABC与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形, 它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出△ABC与△A′B′C′的相似比;
(3)以位似中心O为坐标原点, 以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系, 画出△A′B′C′关于点O 中心对称的△A″B″C″, 并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
解：（1）位似中心点O如图所示.
（2）相似比为2∶1.
（3）A″（6,0），B″（3，-2），C″（4，-4）.
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)如图，画出矩形MNPQ以点Q为位似中心，相
似比为0.75的位似图形．
解：作出矩形M′N′P′Q和
矩形M″N″P″Q如图所示.
【素材积累】
1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。

倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。

求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。

桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。

你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。

２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。

倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。

求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。

桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。

你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。

不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。

大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。

这个世界不符合所有人的梦想、只是有人学会遗忘，有人却一直坚持。

如果你盼望明天，那必须先脚踏现实；如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。