淄博市-度高三数学第一次摸底考试卷

淄博市2007—2008学年度高三第一次摸底考试
理 科 数 学 试 题
2007.09.27
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共22小题，第Ⅰ卷第1—2页，第Ⅱ卷第3—9页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束，监考人将第Ⅱ卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)如果} 9 |{的正整数是小于x x U =，=A {1，2，3，4}，=B {3，4，5，6}，那么 =))((B C A C U U
(A ){1，2} (B ){3，4} (C ){5，6} (D ){7，8}
(2)已知}{n a 是等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差=d (A )32- (B )31- (C )31 (D )32
(3)若
22)
4
sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为
(A )27- (B )2
1- (C )21 (D )27
(4)幂函数1-=x y 及直线x y =，1=y ，1=x 将平面
系的第一象限分成八个“卦限”⑧(如图所示)，那么幂函数21x y =的图象经过的“卦限”是
(A )④，⑦ (B )④，⑧ (C )③，⑧ (D )①，⑤ (5)已知函数)3
sin()(πω+=x x f )0(>ω的最小正周期为π，则该函数的图象
(A )关于点)0 ,3(π对称 (B )关于直线4
π=x 对称
(C )关于点)0 ,4
(π对称 (D )关于直线3π=x 对称
(6)若数列}{n a 满足p a a n
n =+22
1
(p 为正常数，*N n ∈)，则称}{n a 为“等方比数列”
．甲：数列}{n a 是等方比数列；乙：数列}{n a 是等比数列，则
(A )甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B )甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C )甲是乙的充要条件
(D )甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
x
题图
第 4
(7)函数=)(x f {,44,442
+--x x x 1
1>≤x x 的图象和函数x x g 2
log )(=的图象的交点个数是
(A )4
(B )3 (C )2 (D )1
(8)给出下列四个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f y x f =+，
)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是 (A )x x f 3)(=
(B )x x f sin )(=
(C )x x f 2log )(=
(D )x x f tan )(=
(9)曲线x e y 21
=在点) ,4(2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (A )22
9e (B )24e (C )22e (D )2e
(10)设)12lg()(a x
x f +-=是奇函数，则使0)(>x f 的x 的取值范围是
(A ))0 ,1(- (B ))1 ,0( (C ))0 ,(-∞ (D )) ,1()0 ,(∞+-∞ (11)若不等式组{
a
y x y y x y x ≤+≥≤+≥-02
20
表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是
(A )34≥a (B )10≤<a (C )341≤≤a (D )10≤<a 或3
4≥a
(12)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(x f '，0)0(>'f ，对于任意实数x ，有0)(≥x f ，则
)
0()
1(f f '-的最小值为 (A )3 (B )2
5 (C )2 (D )0
淄博市2007—2008学年度高三第一次摸底考试
理 科 数 学 试 题
2007.09.27
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． (13)=---⎰dx x x 1
02))1(1( ．
(14)在ABC ∆中，若3
1tan =A ，︒=150C ，1=BC ，则=AB ．
(15)函数x x x f cos 3sin )(-=])0 ,[(π-∈x 的单调递增区间是 ． (16)给出以下命题：
①若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin >x ； ②若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin >x ；
③对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)(>a f ，0)(<b f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点；
④对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)()(<b f a f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点， 其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
已知集合}|2||{a x x A ≤-=，}045|{2≥+-=x x x B ．若∅=B A ，求实数a 的取值范围．
已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且1a 、3a 、2a 成等差数列． (Ⅰ)求q 的值；
(Ⅱ)设}{n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ．当2 n 时，比较n
S 与n b 的大小，并说明理由．
设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A
2
=．
b
a sin (Ⅰ)求B的大小；
(Ⅱ)求C
cos+的取值范围．
A sin
数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n n S a 21=+*)(N n ∈． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项n a ；
(Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n T ．
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(5
≤x)时，一年的销售量为
9≤
≤a)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(11
3≤
2
-万件．
(x
)
12
(Ⅰ)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q．
(a
)
设函数x x f ln )(=，x
b ax x g +=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函数)(x g 的图象
上，且在此点有公切线．
(Ⅰ)求a 、b 的值；
(Ⅱ)对任意0>x ，试比较)(x f 与)(x g 的大小．
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数学试题答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)如果} 9 |{的正整数是小于x x U =，=A {1，2，3，4}，=B {3，4，5，6}，那么 =))((B C A C U U
(A ){1，2} (B ){3，4} (C ){5，6} (D ){7，8}
(2)已知}{n a 是等差数列，1010=a ，其前10项和7010=S ，则其公差=d (A )32- (B )31- (C )31 (D )32
(3)若
22)
4
sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为
(A )27- (B )2
1- (C )21 (D )27
(4)幂函数1-=x y 及直线x y =，1=y ，1=x 将平面
系的第一象限分成八个“卦限”⑧(如图所示)，那么幂函数21x y =的图象经过的“卦限”是
(A )④，⑦ (B )④，⑧ (C )③，⑧ (D )①，⑤ (5)已知函数)3
sin()(πω+=x x f )0(>ω的最小正周期为π，则该函数的图象
(A )关于点)0 ,3(π对称 (B )关于直线4
π=x 对称
(C )关于点)0 ,4
(π对称 (D )关于直线3π=x 对称
(6)若数列}{n a 满足p a a n
n =+22
1
(p 为正常数，*N n ∈)，则称}{n a 为“等方比数列”
．甲：数列}{n a 是等方比数列；乙：数列}{n a 是等比数列，则
(A )甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B )甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C )甲是乙的充要条件
(D )甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(7)函数=)(x f {,44,442
+--x x x 1
1>≤x x 的图象和函数x x g 2
log )(=的图象的交点个数是
(A )4
(B )3 (C )2 (D )1
x
题图
第 4
(8)给出下列四个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f y x f =+，
)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是 (A )x x f 3)(=
(B )x x f sin )(=
(C )x x f 2log )(=
(D )x x f tan )(=
(9)(理)曲线x e y 21
=在点) ,4(2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 (A )229e (B )24e (C )22e (D )2e
(文)曲线x e y =在点) ,2(2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
(A )24
9e (B )22e (C )2
e (D )22
e
(10)设)12lg()(a x
x f +-=是奇函数，则使0)(>x f 的x 的取值范围是
(A ))0 ,1(- (B ))1 ,0( (C ))0 ,(-∞ (D )) ,1()0 ,(∞+-∞ (11)(理)若不等式组{
a
y x y y x y x ≤+≥≤+≥-02
20
表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围
是
(A )3
4≥a
(B )10≤<a
(C )3
41≤≤a
(D )10≤<a 或3
4≥a
(文)已知点)2 ,0(-Q ，如果点P 在平面区域{
20120
22≤-+≤+-≥+-y x y x y x 上，那么||PQ 的最小值为
(A )2 (B )22 (C )54
(12)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(x f '，0)0(>'f ，对于任意实数x ，有
0)(≥x f ，则
)
0()
1(f f '-的最小值为 (A )3 (B )2
5 (C )2 (D )0
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．
(13)(理)=---⎰dx x x 1
02))1(1(2
14-π．
(文)函数)(x f 是定义在)2 ,2(-上的奇函数，当)2 ,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)3
1(log 2f 的
值为 -2 ．
(14)在ABC ∆中，若3
1tan =A ，︒=150C ，1=BC ，则=AB 210．
(15)函数x x x f cos 3sin )(-=])0 ,[(π-∈x 的单调递增区间是]0 ,6
[π-．
(16)给出以下命题：
①若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin >x ； ②若p ：R x ∈∀，1sin ≤x ，则p ⌝：R x ∈∃，1sin >x ；
③对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)(>a f ，0)(<b f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点；
④对于函数n mx x x f ++=3)(，若0)()(<b f a f ，则函数)(x f 在) ,(b a 内至多有一个零点， 其中正确命题的序号是 ①③ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)． 三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
已知集合}|2||{a x x A ≤-=，}045|{2≥+-=x x x B ．若∅=B A ，求实数a 的取值范围．
解：当0<a 时，∅=A ，显然∅=B A ．………………………………………2分 当0≥a 时，∅≠A
}22|{}|2||{a x a x a x x A +≤≤-=≤-=，
}4 ,1|{}045|{2≥≤=≥+-=x x x x x x B 或，…………………………………………7分 由∅=B A ，得{
421
2≥<+>-a a a ，解得10<≤a ．………………………………………11分
综上所述，a 得取值范围为} ,1|{R a a a ∈<．………………………………………12分
(18)(本小题满分12分)
已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且1a 、3a 、2a 成等差数列． (Ⅰ)求q 的值；
(Ⅱ)设}{n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ．当2≥n 时，比较n
S 与n b 的大小，并说明理由．
解：(Ⅰ)由题设2132a a a +=，即q a a q a 11212+=，
因为01≠a ，所以0122=--q q ，所以1=q 或2
1-=q ．……………………………2分
(Ⅱ)若1=q ，则2312)1(22
n n n n n S n +=⋅-+=， 当2≥n 时，02
)
2)(1(1>+-=
=--n n S b S n n n ，…………………………………………6分 故n n b S >．
若2
1-=q ，则49)21(2)
1(22
n n n n n S n +-=-⋅-+=，…………………………………10分 当2≥n 时，2
)
10)(1(1---==--n n S b S n n n ．
故对于*N n ∈，当92≤≤n 时，n n b S >；当10=n 时，n n b S =；当11≥n 时，
n n b S <．……………………………………………………………………………………12分
(19)(本小题满分12分)
(理)设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A b a sin 2=． (Ⅰ)求B 的大小；
(Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围．
解：(Ⅰ)由A b a sin 2=，根据正弦定理得A B A sin sin 2sin =，所以2
1sin =B ，
由ABC ∆为锐角三角形得，6
π=B ．……………………………………………………4分
(Ⅱ))6
sin(cos )6sin(cos sin cos A A A A C A ++=--+=+πππ
)3
sin(3sin 23cos 21cos π+=++=A A A A ．………………………………………8分
由ABC ∆为锐角三角形知，2π<A ，2π>+B A ，3
622ππππ=->->B A ．
∴6
5332πππ<+<A ，∴23)3sin(21<+<πA ．
由此有2
3)3sin(323<+<πA ，
所以，cos sin A C +的取值范围为)23 ,23(．…………………………………………12分
(19)(本小题满分12分)
(文)已知函数x x x x x f 22cos 2cos sin 3sin )(++=，R x ∈． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；
(Ⅱ)函数)(x f 的图像可以由函数x y sin =)(R x ∈的图像经过怎样的变换得到？ 解：(Ⅰ)2
32cos 212sin 23)2cos 1(2sin 2322cos 1)(++=+++-=x x x x x x f
2
3)62sin(++=πx …………………………………………………………………………3分
∴)(x f 的最小正周期ππ==2
2T ………………………………………………………4分
由题意得，当2326222πππππ+≤+≤+k x k ，即3
26ππππ+≤≤+k x k ，Z k ∈时，
函数)(x f 是单调增函数，
∴)(x f 的单调减区间为]3
2,6[ππππ++k k ，Z k ∈……………………………………6分
(Ⅱ)方法一：先把x y sin =图象上所有点的横坐标压缩2
1得到x y 2sin =的图象，再把
x y 2sin =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到)6
2sin(π+=x y 的图象，最后把
)62sin(π+=x y 图象上所有的点向上平移23个单位长度，就得到2
3)62sin(++=πx y 的图
象．……………………………………………………………………………………………12分
方法二：先把x y sin =图象上所有点向左平移6
π个单位长度，得到)6sin(π+=x y 的图
象，再把)6sin(π+=x y 的图象上所有点的横坐标压缩21得到)6
2sin(π+=x y 的图象，最后把
)62sin(π+=x y 图象上所有的点向上平移23个单位长度，就得到2
3)62sin(++=πx y 的图
象．……………………………………………………………………………………………12分
(20)(本小题满分12分)
数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n n S a 21=+*)(N n ∈． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项n a ；
(Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n T ．
解：(Ⅰ)解法一：∵n n S a 21=+，∴n n n S S S 21=-+，∴31=+n
n S S ． 又∵111==a S ，
∴数列}{n S 是首项为1，公比为3的等比数列，
∴13-=n n S *)(N n ∈．…………………………………………………………………4分 当2≥n 时，21322--⋅==n n n S a ，
∴数列}{n a 的通项=
n a {
,32,12-⋅n 2
1≥=n n …………………………………………………6分 解法二：∵n n S a 21=+ ①，12-=n n S a )2(≥n ②
当2≥n 时，②①-得：n n n a a a 21=-+，∴31=+n
n a a
．
又222112===a S a ，
当2≥n 时，232-⋅=n n a ，……………………………………………………………4分
∴数列}{n a 的通项=
n a {
,32,12-⋅n 2
1≥=n n …………………………………………………6分 (Ⅱ)n n na a a a T ++++= 32132，
当1=n 时，11=T ；……………………………………………………………………7分
当2≥n 时，2103236341-⋅++⋅+⋅+=n n n T ，……………………………………① 12132363433-⋅++⋅+⋅+=n n n T ，…………………………………………………②
②①-得：122132)333(2422--⋅-+++++-=-n n n n T
1123)21(1323
1)31(322---⋅-+-=⋅---+=n n n n n ．
∴13)2
1(21-⋅-+=n n n T )2(≥n ．………………………………………………………11分
又∵111==a T 也满足上式，
∴数列}{n na 的前n 项和13)2
1(21-⋅-+=n n n T *)(N n ∈．……………………………12分
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(53≤≤a )的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(119≤≤x )时，一年的销售量为2)12(x -万件．
(Ⅰ)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(a Q ．
解：(Ⅰ)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：
2)12)(3(x a x L ---=，]11 ,9[∈x ．…………………………………………………4分 (Ⅱ))3218)(12()12)(3(2)12()(2x a x x a x x x L -+-=-----='．……………………6分 令0)(='x L 得a x 3
26+=或12=x (不合题意，舍去)．
∵53≤≤a ，∴3
283268≤+≤a ．……………………………………………………7分
在a x 3
26+=两侧)(x L '的值由正变负．所以
(1)当93268<+≤a ，即2
93<≤a 时，
)6(9)912)(39()9(2max a a L L -=---==．……………………………………………9分 (2)当3283269≤+≤a 即52
9≤≤a 时，
32max )313(4))326(12)(3326()326(a a a a a L L -=+---+=+=，……………………11分
所以=
)(a Q {
5
2
9,)313(429
3),6(93
≤≤-<≤-a a a a ． 答：若2
93<≤a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值
)6(9)(a a Q -=(万元)；若529≤≤a ，则当每件售价为)3
26(a +元时，分公司一年的利润L 最
大，最大值3)3
13(4)(a a Q -=(万元)．……………………………………………………12分
设函数x x f ln )(=，x
b ax x g +=)(，函数)(x f 的图象与x 轴的交点也在函数)(x g 的图象
上，且在此点有公切线．
(Ⅰ)求a 、b 的值；
(Ⅱ)(理)对任意0>x ，试比较)(x f 与)(x g 的大小．
(文)证明：当10≤<x 时，即)()(x g x f ≥；当1>x 时，即)()(x g x f <． 解：(Ⅰ)x x f ln )(=的图象与x 轴的交点坐标是)0 ,1(，
依题意，得0)1(=+=b a g ①…………………………………………………………2分 又x x f 1)(='，2)(x
b a x g -='，且)(x f 与)(x g 在点)0 ,1(处有公切线，
∴1)1()1(='='f g 即1=-b a ②………………………………………………………4分 由①、②得21=a ，2
1-=b ……………………………………………………………6分
(Ⅱ)(理)令)()()(x g x f x F -=，则
x
x x x x x x F 2121ln )2121(ln )(+-=--=…………………………………………………8分
∴0)11(2121211)(22≤--=--='x
x x x F …………………………………………………10分
∴)(x F 在) ,0(∞+上为减函数……………………………………………………………11分 当10<<x 时，0)1()(=>F x F ，即)()(x g x f >； 当1=x 时，0)1()(==F x F ，即)()(x g x f =；
当1>x 时，0)1()(=<F x F ，即)()(x g x f <．………………………………………14分 (Ⅱ)(文)令)()()(x g x f x F -=，则
x
x x x x x x F 2121ln )2121(ln )(+-=--=…………………………………………………8分
∴0)11(2121211)(22≤--=--='x
x x x F …………………………………………………10分
∴)(x F 在) ,0(∞+上为减函数……………………………………………………………11分 当10<<x 时，0)1()(=>F x F ，即)()(x g x f >； 当1=x 时，0)1()(==F x F ，即)()(x g x f =； 当1>x 时，0)1()(=<F x F ，即)()(x g x f <．
综上可知，当10≤<x 时，即)()(x g x f ≥；当1>x 时，即)()(x g x f <．…………14分。