七年级数学下册培优辅导人教版

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第1 讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC
＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC ＋∠
AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21
×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠
AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A ．20°
B ． 40°
C ．50°
D ．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线.
⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ， PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N
最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.
⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，
也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，
OF ⊥AB ．
【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.
02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系. A B
C D
E F
A B
C D E F P
Q R A B C
E
F E A A
C
D O （第1题图）
1 4 3 2
（第2题图）
A
B
O
l 2
l 1 F B
A O
C D E C D B A
E O B
A
C D O
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03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并
求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5： ∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角
共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠3和∠4是内错角
C ．∠5和∠6是同旁内角
D ．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ；
⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“
”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）
02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF 平分∠DEC （已知）
∴ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
∴AB ∥DE （ ）
03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．
04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠
EFB ，求证：CD ∥EF .
A B A E D
C F E
B A D 1 4 2 3 6 5 A B D
C H
Ｇ
E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2
3 4 5
6 1 2 3 4
甲 1 A B C
2 3 4
5
6 7 A B
C
D
O
A B
E F
C A B
C
D
E
A B
C E
1 2
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那么a 1与a 2010
的位置关系是 .
03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n 表示过这几个
点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ）
A ．α的余角只有∠
B B ．α的邻补
角是∠DAC C ．∠ACF 是α的
余角 D ．α与∠ACF 互补
02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）
A ．∠AMF
B ．∠BMF
C ．∠ENC
D ．∠END 03．下列语句中正确的是（ ）
A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B ．过直线上一点的直线只有一条
C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D ．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）
①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．6
05．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P
到直线l 的距离是（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．小于4cm
D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .
07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .
08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）
09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3
＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？
12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
G H a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
1
2 3 4 5 6 7 8
1
A B C D E F
l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 图⑴ l 1
l 2
l 3
l 4 l 5
l 6 图⑵ A E B C F D A B
C D
F
E
M
N α 第1题图 第2题图
A B D C 第4题图 A
C D
E
B
13．如图，推理填空： ⑴∵∠A ＝ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）
⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．
14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．
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01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）
A ．1，3
B ．0，1，3
C ．0，2，3
D ．0，1，2，3
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.
A ．60
B ． 55
C ．50
D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点.
A ．35
B ． 40
C ．45
D ．55
04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有
__________________交点.
05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）
A ．3
B ．1或3
C ．1或2或3
D ．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简
单说明画法？
08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条
对角线的夹角等于（ ）
A ．60°
B ． 75°
C ．90°
D ．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.
第2讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°
【变式题组】
01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）
A ．155°
B ．50°
C ．45°
D ．25°
A
B C D
E
F
1 2 A
B C D E F
第14题图
a b A
B
C
D A
2
E
1 B C
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A ． 50°
B ． 55°
C ． 60°
D ．65°
03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.
【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45°
又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°
－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________
02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点
O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________
03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．
要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，
即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC
＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）
∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥
AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）
【变式题组】
01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG
02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行
于α，则角θ等于_________.
【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）
∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）
∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．
A
B
C
D
O
E F
A
E
B
C （第1题图）
（第2题图）
E
A F
G D C
B B
A
M
C
D
N P （第3题图） C D A
B
E F
1 3
2
G
B 3
C A 1
D 2
E F （第1题图） 3 1 A
B G D
C E
B F E
A C D α β
P B C D A
∠P ＝α＋β
3
2
1 γ 4 ψ
D
α β E B
C A F
H F
γ D α β
E B
C
A F
D
E
B
C A
B
C
A
A′ l
B′
C′
02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .
3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.
【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180°
(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行
于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360°
即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】
01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个
关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷____________________________
【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ
＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】
01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）
A ． ∠β＝∠α＋∠γ
B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°
D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠AB
E 和∠CDE 的平分线相交于点
F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.
【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /
. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离.
⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /
,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /
.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形
B
A
P
C
A
C C
D
A
A P
C
B
D P
B
P
D B
D ⑴
⑵
⑶
⑷
A D M C
N E B
F E
D 2 1 A B C
D
B
C A
西 B 30°
A 北
东 南 A /
B /
C /
.
【变式题组】
01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.
02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /
的位置，
若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /
的重叠部分的面积.
03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求
阴影部分的面积.（单位：厘米）
演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ）
A ．南偏东30°
B ．南偏东60°
C ．北偏西30°
D ．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直
线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能
是（ ）
A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ． 同位角相等
C ．内错角相等
D ．同旁内角互补
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得
到的[如图⑴—⑷]
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地
要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ） A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38°
07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不
能出格）
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）
10．如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AE ⊥BC ，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离
为线段BC 的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分.
P . P .
P .
P . ⑴
⑵ ⑶
⑷
D
5 3 8 A
F
C
B
E
B B /
A
A /
C C /
150 120
D
B
C
E
湖
4
3
2
1
A
B
E
F
C D
11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等.
13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.
14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、
D成
64°角. 当小船行驶
到河中F点时，看B点和D点的视线FB
、FD恰好有∠
1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点
F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.
培优升级·奥赛检测
01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（）个
02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速
滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的
速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截
住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）
03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AA1＝2cm. 将AC平移
到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.
04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为
b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 [即阴
影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形
A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单
位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.
⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是
1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？
05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）
A．720°B．108°或144°C．144°D．720°或144°
06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段
的交点个数是（）
C
B1
A
A1
C1
D1
B
D
.
B
.
O
. A
F E B
A C G
D A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．2006
07．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .
08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与
AB 平行的直线？为什么？
09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分
∠COF .
⑴求∠EOB 的度数；
⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.
⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角
不超过36°,请说明理由.
11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n
个小正方形的周长之和为多少？
12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？ 第3讲 实 数
考点·方法·破译
1．平方根与立方根： 若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝其中a 的平方根为x 叫做a 的算术平方根．
若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p
q
（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m m 的平方根是____． 03____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．
F
E
B
A
C
G
D 100°
F E B A C O A B
C
D
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足()2242342a b a b a -+++-+=，则a ＋b 等于( )
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ．2 【解法指导】若
()2
3
a b -有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3
∵()2242342a b a b a -+++-+=
∴()2242342a b a b a -+++
-+=，∴()2
230b a b ++-=．
∴(
)2
20
30b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．
【变式题组】
0l ．在实数范围内，等式223a a b ----+＝0成立，则a b ＝____． 02．若()2
930a b -+-=，则
a
b
的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且220x y ++-=，则2009
x y ⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2 04．已知x 是实数，则1
x x x πππ
--+-+
的值是( )
A ．1
1π
-
B ．1
1π
+
C ．
1
1π
- D ．无法确定
【例3】若a 、b 都为有理效，且满足123a b b -+=+．求a ＋b 的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵123a b b -+=+，
∴ 123a b b -=⎧⎪⎨
=⎪⎩即1
12
a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1312a b =⎧⎨=⎩，
a ＋
b ＝12 ＋13＝25．
∴a ＋b 的平方根为：255a b ±+=±=±． 【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m 、n 是有理数，且（5＋2）m ＋(3－25)n ＋7＝0求m 、n ．
02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123
π+）x ＋（132π
+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．
【例4】若a 为17−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17−2 −2＝17−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4
∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】
01．若3＋5的小数部分是a ，3−5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____．
02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )
A ．－2是(－2)2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ． 16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，5
c =-
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A ．－9与81的平方根
B ．4与
3
64- C ．4与364 D ．3与9
04．在实数1.414，2-，0.1•5•
，5−16，π，3.1•4•
，8
3
125
中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个
05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A ．b >a
B ．a b >
C ． －a ＜b
D ．－b >a
06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝
()2
3．则m ，n 的关系是( )
A . m ＝±n
B .m ＝n
C .m ＝－n
D .m n ≠
08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所
表示的数为( )
A ．－23-
B ．－13-
C ．－2 ＋3
D ．l ＋3
09．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、
B 之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，
12，13…，119
，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．
11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝
a b a b +-，如3※2＝32
32
+-＝5．那么12.※4＝____．
12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．
13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()
2
2a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____． 14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，21
3
a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从
左自右的顺序是____．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一
周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．
16．已知整数x 、y 满足x ＋2
y ＝50，求x 、y ．
17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴
上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．
19．若b ＝315a - ＋153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）
(3mn ＋4)的平方根与立方根．
20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2与533x y --互为相反数，求22x y +的值．
培优升级 奥赛检测
01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．0
02．
( ) A．0 B．1
C．1 D．2
03
−2的最小值为____．
04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋
，则a＋b＝____．
05．若a b
-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．
06．已知实数a
满足2009a a
-=，则a− 20092＝_______．
07．m满足关系式
199
y x
=--，试确定m
的值．
08．（全国联赛）若a
、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且
123
303030
a a a
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+++++
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
28
30
a
⎡⎤
+++
⎢⎥
⎣⎦
29
30
a
⎡⎤
++
⎢⎥
⎣⎦
18
=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．
10
．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y2
1a
=-，2
31
x y b
-=--，求22
x y a b
++
+的值．
第 4讲平面直角坐标系（一）
考点．方法．破译
1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．
2．了解点与坐标的对应关系．
3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．
经典．考题．赏析
【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．
A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)
【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】
01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．
A(－3，0)，B(－2，－1
3
)，C(2，
1
2
)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)
【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．
【变式题组】
01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2
02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．
03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．
04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．
【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．
【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．
【变式题组】
01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．
02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．
03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．
04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．
05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．
【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．
【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4
【变式题组】
01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．
02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．
03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．
04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．
(1)它们的坐标分别是___________，___________；
(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；
(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．
【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|
，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】
01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点
的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分
别是_________、_________、____________、____________．
02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根
据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的
吗？
03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．
【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．
【解法指导】(1)三角形的面积＝
1
2
×底×高．
(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补
成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝
1
2
·3·5－
1
2
·3·1＝6．
【变式题组】
01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC 的面积．
02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．。